我對數學歸納法的感受

上回講了數學歸納法的神奇，本回講講我對數學歸納法的感受 。

我最近找到一本華羅庚在 1964 年寫的<<數學歸納法>>一書。在這本書中，華羅庚提到他在中學學習數學歸納法時，覺得是學會了，可是後來總覺得還是差了點什麽 (原話引用見“注”）。

數學歸納法在中學裏我們都已學過，中學大綱上要求隻要會用，或是能看懂這種證明方法就行了。數學歸納法證明步驟很簡單，不複雜。一般是先驗證 n=1 時命題是否正確，然後，假設 n=k 時命題正確，在此基礎上去檢驗 n=k+1 時命題是否正確。

然而，這個看上去極其簡單的證明方法，卻蘊藏著極其豐富的內涵和奧妙，要想把其用到如火純青的地步，實非易事。華羅庚在他的這本書裏除了講述對數學歸納法的感受還差了點什麽外，沒講更多的感受，而是通過數學歸納法在各個方麵的應用舉例來講數學歸納法。 這本書可謂是數學歸納法應用的寶典，而非是講述了數學歸納法的深邃內涵。

說實話，數學歸納法的內涵，我在中學的時候就已領悟。當時在學數學歸納法時候，我對數學歸納法也有過疑惑，估計和華羅庚的感受一樣。我給自己提出過一個問題：為什麽 在數學歸納法中，要有個 n=k 的假設。我花了很長時間來思考這個問題，簡直快到了走火入魔的程度。終於有一天，我眼前豁然開朗，悟出了其中的奧秘，如同是看到了那遙遠的宇宙深處。

下麵，我就拿出華羅庚在他的這本書中的一道應用題來指出華羅庚的錯誤，從而說明華羅庚當年心中對數學歸納法那點“還差了點 "的感覺到底是什麽，並給出我自己對這道題的解答，作為對比。

原題是: 有兩堆棋子，數目相等。兩人玩耍，每人可以在一堆裏任意取幾顆，但不能同時在兩堆裏取，規定取得最後一顆棋子者獲勝。求證: 後取者可以必勝。

在這道題中，最先開始取棋子者定義為先取者，隨其後取棋子者定義為後取者。保證後取者必勝的方法就是後取者每次拿出和先取者一樣數目的棋子，而且是和先取者在不同的棋子堆裏拿取。我們要用數學歸納法來證明這個方法是正確的。

原題和華羅庚給出的解見“注”。華羅庚先驗證 n=1 時，結論正確。然後假設 n≤k 時，結論正確，這裏就是華羅庚所犯的錯誤。因為要想讓他的這個假設不等式成立，華羅庚 還必須繼續驗證 n=2 時結論成立，否則，他的假設中就自動已包含了 n=k+1 時也是正確的結論， 然後，再用這個假設去證明 n=k+1 時結論成立，犯了邏輯錯誤。而且是，華羅庚在他的著作中，愛使用“不證自明”的字樣，在本次的證明中，他又使用了“這樣就變成了n=k+1-l 的問題”的說法。他的這些說法都不夠嚴謹，不是數學語言。 華羅庚之所以會出現這些問題，這和他沒有經過正規大學培訓有著直接的聯係。

我對這個題目的解如下：
設 n 為每堆裏的棋子個數。

當 n=1 時，即每堆各有一枚棋子，先取者從一堆裏拿出一枚棋子後，後取者這從 另一堆裏取出最後一枚棋子，而獲勝，所以結論成立。

當 n=2 時，即每堆各兩枚棋子，先取者從一堆裏拿出一枚棋子後，後取者這從另 一堆裏取出一枚棋子，此時兩堆裏各有一枚棋子，所以結論成立，因為 n=1 時， 結論成立；
 
另一種情況，如果先取者從一堆裏拿出兩枚棋子後，後取者這從另一堆裏取出最後 兩枚棋子而獲勝，結論仍成立。
 
假設當 n=k 時， L為各自所拿的棋子數 ， 且有  1≤ L≤k ，結論成立，即，雙方從兩堆棋子中各拿出 L數棋子後，兩堆裏的棋子數均為 k- L ，且0≤k- L≤k-1,也就是，當0≤每堆棋子數≤k-1時，結論成立。

當 n=k+1 時，各自所拿棋子數為 M 。 且有 1≤ M≤k+1，所以有 0≤ M-1≤k。 雙方各拿出 M數棋子後，兩堆裏的所剩棋子數均為 k+1-M=k-(M-1)。

當 M-1=0 時，即，雙方各拿出一個棋子，則 k-(M-1)=k，兩堆裏的所剩棋子數各為 k， 根據假設，結論成立。
當 M-1>0 時，則有 1≤ M-1≤k。 於是，有 0≤ k-(M-1)≤k-1，即，0≤每堆所剩棋子數≤k-1。根據假設，對於在此區間的每堆棋子數，結論成立。所以，當n=k+1時，結論成立。

所以，無論每堆裏的棋子個數有多少，後取者都可以必勝。笑到最後，才會笑得最好，這道題的證明也同時再一次地驗證了這個諺語的真理性。

最後的結論：在華羅庚完成撰寫這本<<數學歸納法>>的時候，他心中那種對數學歸納法感受的欠缺感仍沒有被填補上。


注：

 

[魯迅九]

回複 '北佛風光' 的評論 : 【80年代初本人在中科院數學所跟著華老混過三年， 華老也做很多科普工作。 魯九這種民科也挑華老的毛病， 真是太可笑不自量力了。

懂點小學數學的雲52， 有時倒是比魯九聰明一些， 哈哈。】

回複：由此可以推算出你的年齡都至少67歲了，你怎麽說話還那麽小兒科呢？而且你又拿出了小兒那一套搞挑撥離間，這樣的思維根本不是搞數學的思維。搞數學的人看問題的思維都很犀利， 如果再有很好的文筆，那就是所向披靡，別忘了魯迅就是學理科的出身。北佛，無論怎麽看你，你都是搞文科的，你曾是中科院的小秘書吧？

你若有本事，歡迎你對我的那篇數學歸納法的文章也指指點點。

[魯迅九]

回複 '雲之嵐' 的評論 : 【不求證行不行？不喜歡數學題！後取者確實必勝啊！前麵取棋子的人不管怎麽耍賴，後麵那個都能等到他把棋子拿完，從容不迫的取勝。 】

回複：這個證明就是把前麵取棋子的人不管怎麽耍賴，後麵那個都能等到他把棋子拿完，從容不迫的取勝的過程解析出來，就如同將整個過程拍下視頻一樣。

[雲之嵐]

原題是: 有兩堆棋子，數目相等。兩人玩耍，每人可以在一堆裏任意取幾顆，但不能同時在兩堆裏取，規定取得最後一顆棋子者獲勝。求證: 後取者可以必勝
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不求證行不行？不喜歡數學題！後取者確實必勝啊！前麵取棋子的人不管怎麽耍賴，後麵那個都能等到他把棋子拿完，從容不迫的取勝。

[魯迅九]

回複 '最愛藍色' 的評論 : 好多問題看似簡單，其實紛亂如麻；也有好多問題看似複雜，讓人暈頭，其實也就是捅破窗戶紙的事情。計算機也隻不過是些賦值、定義函數、真偽判定等而已。

下回分解的題目可能是：“結婚賀喜”。

[最愛藍色]

剛開始以為懂了，越開始解釋越有點不懂了，這就是看似簡單，實際想怎麽深奧就可以怎麽深奧的假設麽？
電腦編程是不是用的最多還是這樣的假設定義。給電腦一個指令，編一下，結果讓電腦去計算就好了。編的程序就像一個緊箍咒一樣，把電腦套在這套程序裏了。我又借題發揮來了，其實我的數學水平這樣一看也就小學水平了，要是想快速提高，恐怕還要重新學一遍才有機會可以突飛猛進了。。也許會，也許不會，先假設這兩種可能吧。
還有下回分解麽？洗耳恭聽。