形而上學暢想 - 數學存在

二，數學存在

如前所述，在外部世界存在這一問題上，自然科學的一般態度是不搞爭論，埋頭搞發展，悶聲發大財。數學家最有個性，徑直宣稱能被1和本身整除的數存在，並令R={x∣x∉x}。這個“令”對應於英文裏的Let①，亦即Let there be light裏的Let。那是耶穌的話語，讓有光。耶穌可以說，到我這裏來，我是真理，我是道路。數學家也可以這樣說嗎？你信不信的吧，反正他們說話就那口氣，說完還證明給你看。

在一階謂詞邏輯裏，存在量詞∃x的意思是，存在一個x，至於x是什麽不重要，重要的是它滿足定義。∃應該來自Exist的首字母，至於具體是exist，there is，sein，還是dasein無所謂，隻要不導致自相矛盾就好。也是的，數的存在看不見，摸不著，隻能靠邏輯推導。邏輯思維不到一定高度，哪怕全人類都含笑九泉，也不會有人發現問題。

忽一日，羅素發現，集合(R)的定義導致矛盾。R={x∣x∉x}譯成白話就是，(R)是所有不屬於自身的集合組成的集合，具體推導如下，

假設R∈R: 根據(R)的定義，x∈Rx 意味著 x∉x，故 R∈R 推出 R∉R，此乃矛盾。
假設R∉R：根據(R)的定義，x∉x 意味著 x∈Rx，故 R∉R 推出 R∈R，此亦矛盾。
結論：無論R∈R還是R∉R，皆導致矛盾。

羅素進一步發現，集合論悖論與古希臘的理發師悖論等價。於是，人們頓覺數學大廈將傾，此即所謂第三次數學危機。集合論悖論既涉及無限(infinity)，又涉及自指(self-reference)，多數解決方案都圍繞這兩點發力，很少有人對數學存在產生疑慮。

忽一日，布勞威爾(Luitzen Brouwer，1881/02/27 - 1966/12/02)的注意力落到數學定義的本體論性質上，遂對數學存在產生疑問，於是，直覺主義數學應運而生。直覺主義數學的座右銘是，存在就是被構造(to be is to be constructed)。換言之，數學實體的存在是被構造出來的，數學命題為真當且僅當能被精神過程證明。後者是全體數學家的共識，關於前者，意見出現分歧。

在形式主義和邏輯主義那裏，決定數學存在的是無矛盾性。具體說來，集合R={x∣x∉x}導致矛盾，故不存在。直覺主義認為，無矛盾性隻是數學存在的必要條件，而不是充分條件。充分條件是，這類實體必須能夠被構造出來。換言之，一個集合存在當且僅當能在有限步驟內②構造出來。顯然，在有限步驟內無法構造R={x∣x∉x}這樣的集合，不僅如此，就連“所有集合的集合”也無法構造。於是有，無法構造的數學實體不存在。集合(R)既不存在，集合論悖論也不複存在。這是布勞威爾的直覺主義對集合論悖論的解決方案。

羅素則試圖用類型論(theory of types)來解決集合論悖論。類型論的要點在於，命題符號不能包含於自身之內，換言之，任何命題都不能自指。對此，維特根斯坦認為，羅素的方案行不通，因為類型論在為符號建立規則時必須提及符號的意義。維氏用反證法來說明這一點。如果函項F(fx)可以自指，則可以構造這樣一個命題，F(F(fx))。括號內外共有的F隻是個抽象的符號，不指稱任何實在，因而可以是任何形式。這樣一來，內部的F與外部的F意思必定不同，因為內部F的形式是φ(fx)，外部F的形式是ψ(φ(fx))。如果把F(Fu)的定義改寫為，(∃φ):F(φu).φu == Fu，集合論悖論將消解於無形。

哥德爾(Kurt Gödel 1906/04/28 - 1978/01/14)對這一問題的見解被認為最深刻，因為他給了形式主義致命一擊。其實，哥德爾並沒有直接提出解決悖論的方案，隻是告訴人們，形式化的係統不完備，故在純形式係統裏這個問題無解。這是哥德爾兩個不完備性定理的精神實質。第一不完備性定理說，在一個足夠強的算術係統內，若係統是完備的，則一定存在不可判定的命題，即不相容，反之，若它是相容的，則一定不完備。第二不完備性定理說，任何協調的形式係統，隻要蘊涵皮亞諾算術公理，就不能用於證明它本身的協調性。

第一不完備性定理所謂“足夠強的算術係統”雖未點名，實際劍指羅素和懷海特合著的Principia Mathematica裏的公理係統。那是一個龐大的公理係統，一個宏大的思想體係，難以簡言以蔽之。第二不完備性定理倒是相對具體，特指蘊涵皮亞諾算術公理的形式係統，可以稍作發揮。皮亞諾算術公理③是何方神聖？為什麽好好一個形式係統，一旦蘊涵皮亞諾算術公理，便不能證明自身的協調性？數學家的解釋可能滴水不漏，但肯定抽象枯燥，莫名其妙，影響普羅大眾把握其精神實質。

撇開數學語境，一言以蔽之，根本原因是算術公理係統涉及無限。每個自然數都有後繼，而自然數是一個無窮集合。無窮就是永遠在路上，卻永遠不能到達。對於形式係統來說，其協調性的證明則永遠不能完成，“證明永遠不能完成”與“無法做出證明”，二者等價。在這一意義上，哥德爾與布勞威爾英雄所見略同。

喜歡技術細節的讀者可能對定理的證明感興趣，可惜，那部分內容極其枯燥冗長，30頁的簡化證明都可能讓99.9%的讀者迷失在符號的海洋裏，遑論300頁的正規證明。其實，注釋①便包含其簡化證明裏初始定義的九牛一毛，聊作管中窺豹之用。好在人腦不必與電腦一般見識，電腦要用成千上萬符號來表達的命題，人腦可以一P而過，電腦要累得死機才能生成的證明，人腦可以一喻而明。

近來，AI成為關注熱點，不少人擔憂AI會超越人的智慧。一個個體若為自己擔憂，其憂不無道理，因為AI經過充分訓練，必定集所喂數據之大成，而一個普通人所掌握的數據不會超過AI。換言之，若拚算力，人腦拚不過電腦。然而，若因此而為人類擔心，則肯定是杞人憂天。AI是人造的，攜帶人類的某些局限性，但沒有攜帶人類的主觀能動性。

近百年前，愛因斯坦就指出，理論隻能是發明的，不可能僅由觀察結果編織而成。當年這話的矛頭所向是實證主義，如今放之於AI亦準。AI長於編織數據，即喂給它的觀察結果，數據越龐大，優勢越明顯。但是，AI隻是一部龐大的推理機器，不會創造發明。給定初始公理集合，AI能夠按照推理規則推出所有定理，但不會試圖突破公理集合，自行其事。一旦突破公理，出現悖論，人類會產生思想飛躍，AI隻有死機。人類會自主判定排中律的適用範圍，而AI不會，人類會作形而上學預設，而AI不會，如此等等，不一而足。在這一意義上，弗蘭肯斯坦(Frankenstein)的故事隻能存在於科普小說裏。

讓我們回到哥德爾第二不完備定理。如果用“我”來替換“蘊涵皮亞諾算術公理的形式係統”，那末，該定理可以表述為: 我可以證明別人是協調的，但不能證明自己是協調；如果我可以證明我是協調的，那麽我是不協調的。這就跟現實掛上了鉤，一般讀者都能心領神會。打個通俗的比方，法庭上經常聽到如下對話，

法官: 有人告你殺人。
嫌犯: 我沒殺人。
法官: 你說沒用，有證人嗎？

也就是說，我可以為別人作證，但不能為自己作證。再形象一點，揪住頭發，我可以將別人提離地麵，但無法將自己提離地麵。如果不是自提自，而是李逵提張順，理論上也是可以的。如果擴大範圍，把無窮集合拉進畫麵，那相當於A揪住B，B揪住C，...，x揪住y，...，隻要序列裏有一個人腳踏實地，比如上帝，依然是可以的。怕就怕無人腳踏實地，而此情時有，但被無限掩蓋於無形，如羅素的類型論。問題再次回到數學存在。無限算不算數學實體？無限究竟是完成的實體，還是未完成的虛構？世界究竟是物質的，還是精神的？

現實世界中不會出現的畫卷，抽象思維裏可能出現，而且經常是，悖謬已出，人不自知，非但不知，反用包含悖謬的理論指導實踐。羅素，哥德爾，布勞威爾，愛因斯坦等人的偉大之處在於，世人皆微醺，大師獨清醒。放眼AI世界，遍地良匠下夕煙，不見大師出深山。

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① Let

在數學定義裏，Let的使用比比皆是，司空見慣。比如，
Let ????(x_i) be a wf of ?.
Let g(() = 3,
Let g()) = 5,
Let g(∀) = 13,
Let g(x_k) = 7 + 8k for k = 1, 2,...,
Let p be the Gödel number of wf.
Let s₁, s₂, ..., s_r, be strings of symbols of ?, and define
g(s₁, s₂, ..., s_r) = 2^g(s₁) x 3^g(s₂) x ... x p_r^(s_r).
...
Let R = { x ∣ x ∉ x }.
千百年來，數學家們就是這樣思考，這樣說話，這樣著書立說的。盡管包爾查諾(Bernard Bolzano 1781/10/05 - 1848/12/18)等人有過疑問，終未掀起波瀾。直到羅素將R={x∣x∉x}化歸為說謊者悖論，人們才意識到用Let跑馬圈地的日子結束了。布勞威爾明言，你說那片地是你的，有地契嗎？他所說的地契就是數學構造。

② 在有限步驟內

這一限定與布勞維爾否定傳統邏輯裏的排中律(PEM)的普遍有效性密切相關。他認為，排中律是從有限事物中概括出來的，但是如果人們忘記排中律的有限來源，將其用於無限的場合，就會犯錯誤。詳情容下篇細述。

③ 皮亞諾算術公理

意大利數學家皮亞諾(Giuseppe Peano 1858 - 1932) 提出的關於自然數的公理係統。皮亞諾的公理係統，共包含五條初始公理，可用非形式化的方法敘述如下：

1. 1是自然數；
2. 每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a' ，a' 也是自然數（一個數的後繼數就是緊接在這個數後麵的數，例如，1的後繼數是2，2的後繼數是3等等）；
3. 如果自然數b、c的後繼數都是自然數a，那麽b = c；
4. 1不是任何自然數的後繼數；
5. 任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n' 也真，那麽，命題對所有自然數都真。（這條公理保證了數學歸納法的正確性）

根據這五條公理可以建立起一階算術係統，也稱皮亞諾算術係統。