（一）混沌是什麽？
混沌是一種神秘的現實。它似乎意味著一種完全無序的狀態，意味著天地未開時的朦朧，更述說著宇宙誕生時的空虛。混沌，就是混亂和無序的代名詞。古往今來，無數人嚐試走入混沌的世界，卻沒有人能找到返程的大門，更沒有人能尋覓到混沌的精髓。
（圖片來源：視覺中國）
對混沌本質的認識，從遠古時代對命運的敬畏，伴隨著科學史上一次又一次匪夷所思的發現，終於在1963年振翅一飛，破繭成蝶，以“蝴蝶效應”的美名與混沌翩翩起舞。
混沌理論的誕生，更是被譽為20世紀僅次於廣義相對論和量子力學的第三大自然科學的發現。從此以後，人們終於觸及世界深處的本質。基於對蝴蝶效應的研究，分形理論、混沌理論和非線性動力係統等等複雜理論應運而生。這些理論終於能夠解釋讓世界得以運轉的更深層次的規律，終於能夠為無常的命運把脈，甚至能夠逐步解開生命的密碼。
蝴蝶效應告訴人們：巴西熱帶雨林中的蝴蝶煽動幾下翅膀，可能在美國德克薩斯州引起一場龍卷風。這種效應在今天比比皆是。
一些微不足道的小改變，可能會釀成生活的大災難。一個私密的謠言，可能會讓當事人名譽掃地，而受害人卻要花費遠超過造謠人的成本來彌補這些傷害。一些關於股票的內部消息，可能會引起投資人的恐慌，促使股市災難性地下跌。曆史上，銀行發生的擠兌、對生活物資的瘋搶、一家私人銀行的倒閉引發的金融海嘯，都源於一點點信心的喪失。
然而，蝴蝶效應也有好的一麵。如果能借力打力，更是可以形成四兩撥千斤的神奇效果。互聯網時代，通過網絡的放大效應，草根階層也有了逆襲成為明星的機會。一部小成本的電影，如果得到少數精英的推薦，也能引爆市場，成為經典。投資者如果能善用杠杆，用很少的本金就能撬動大筆的資金創造出驚人的財富。
歸根結底，正如蝴蝶效應所揭示的那樣，初始條件的細微改變會引起事件結果的劇烈波動。一個複雜係統，從誕生起就注定與蝴蝶效應為伴。蝴蝶效應更劍指混沌的特征：在確定性係統中看似隨機的無規律行為；由於確定性的規律，短期內可預測；又因為蝴蝶效應的不可預測性，長期則無法預測。
也因為如此，人們的命運變得撲朔迷離。一些小事都可以在我們的生活中引起巨大的不同，甚至會影響國家的命運。有人曾經不恰當地感歎道：如果維也納藝術學院當初沒有再三拒絕希特勒的申請，世界上是否會減少幾千萬冤死的亡靈。
雖然混沌的表象十分模糊，但它的內心卻異常的溫柔舒緩。如果把混沌的信號通過揚聲器播放，它聽上去就仿佛是幫助失眠者入睡的背景音樂。讓我們一起去欣賞這曲迷人的音樂，一起去聆聽走進這個牽動著古往今來無數人心弦的故事。它的過去和未來，正在向我們展開胸懷。
（二）：分形的奇跡——分數維的曲線
混沌的秘密，不可思議地隱藏在分形的世界裏。
分形（fractal），該術語最早是由美國數學家曼德勃羅（Mandelbrot）於1973年提出。
曼德勃羅（1924-2010）（圖片來源網絡）
在其名著《大自然的分形幾何學》中，曼德勃羅開創了分形幾何學。分形幾何以及與其相關的非線性理論，很快就顯示出強大的生命力，其影響迅速遍及科學和社會的每個角落。許多學科中的難題，因為分形的介入而煥然一新。如夢初醒的科學家才發現，原來分形的身影已經在世界上默默存在了數億年，從地球誕生始就向大自然昭示其深邃的奧秘。
植物的分形（圖片來源：網絡）
生活中常見的花菜、雷雨過後的閃電、凜冬漫天飛舞的雪花、貝殼身上的螺旋圖案，小至各種植物的結構及形態，遍布人體全身縱橫交錯的血管，大到天空中聚散不定的白雲、連綿起伏的群山，它們都或多或少表現出分形的特征。乍看起來雜亂無章的分形，原來是大自然的基本存在形式，無處不在，隨處可見。
圖片來源：視覺中國
（三）：人體竟是分形的傑作？！
分形如此廣泛地分布在自然界中，卻又與千百年來的智者擦肩而過。它的發現，正式揭開了大自然最迷人和動人的奧義之一。
早在兩千多年前的古希臘時代，人們最傑出的成就來自數論與幾何，特別是歐幾裏得幾何的建立，更使得幾何學成為最嚴格和易於把握的公理化體係。
幾何研究的對象是圖形。為了研究不同的幾何對象，人們傾向於把它們進行歸類。從點、線、麵到立體，人們的思維逐漸擴展開來。漸漸地，人們意識到區別幾何圖形的重要分水嶺：維度。直線和曲線是一維的圖形，平麵則是二維的圖形，立體則屬於三維的空間。
圖片來源：視覺中國
一切都是那麽的直觀，曆史在平靜地流淌。直到有一天，一件匪夷所思的事打破了人們對維度的信念。
1890年，意大利數學家皮亞諾（Piano）構造了一種奇怪的曲線，該曲線自身並不相交，但是它卻能通過一個正方形內部所有的點。換句話說，這條曲線就是正方形本身，進而應該擁有和正方形一樣的麵積！這個怪異的結論讓當時的數學家大吃一驚，更讓數學界感到深切的不安：如此一來，我們拿什麽來區分曲線和平麵？這條曲線究竟是一維，還是二維？經典的幾何在它麵前束手無策。這隻被放逐出來的怪獸，正式奏響了分形幾何研究的序曲。
皮亞諾曲線（圖片來源：Wikipedia）
維度概念的擴展，則得益於德國數學家豪斯多夫（Hausdorff）。他在1919年提出了維度的新定義。該定義為人們成功驅散了籠罩在分形曲線身上的迷霧奠定了基礎。
在傳統的觀念下，一個空間的維數等於決定空間中任何一點位置所需要變量的數目。比如我們生活的空間之所以是三維空間，源自我們需要三個數值：經度、緯度和高度來確定物體在空間中的位置。這樣的定義無比符合人們的直觀，也因此在數千年間都被奉為圭臬。但是這種定義維度的方式，排除了分數維的可能。
圖片來源：視覺中國
豪斯多夫另辟蹊徑，從物體的自相似性來定義維度。自相似性，顧名思義，就是“一個圖形的自身可以看成是由許多與自己相似的、大小不一的部分組成的”。比如一條線段是由兩個與原線段相似、長度一半的線段接成。一個立方體，則可以看成是由8個大小為自身八分之一的小立方體組成。
簡而言之，如果一個圖形按照N∶1的比例縮小後。如果原來的圖形可以由M個縮小之後的圖形拚成的話，這個圖形的維數d，就是豪斯多夫維數，定義為 d = ln(M)/ln(N). 在豪斯多夫的定義下，皮亞諾的曲線恰好就是二維！因此它能填滿正方形並不奇怪。
皮亞諾曲線就是一條自相似的曲線。它身上揭示了分形的諸多特征：具有自相似性、具有無窮多的層次和細節，可以被無限放大、永遠都有結構，最令人驚異的是，它還可以是分數維。比如著名的科赫雪花曲線就是1.26維，謝爾賓斯基三角形則是1.58維。
雪花的分形（圖片來源：網絡）
皮亞諾曲線發現後的83年，曼德勃羅首次提出了分形幾何的概念。他在一次公開演講中提出了一個看起來讓眾人乏味的問題：英國海岸線究竟有多長？
人們會輕描淡寫地回答：隻要用儀器去測量就行啊，隻要測量得足夠精確，總能得到想要的結果。然而，出乎所有人的意料，如果用不同大小的度量標準來測量海岸線的長度，每次竟然會得出完全不同的結果。當度量標準的尺度越小，測量出來的海岸線的長度會越來越長！隨著測量精確的提高，英國海岸線的長度也在迅速趨於無窮！多年以後，科學家們才發現，英國海岸線是一個複雜的分形曲線。根據多次測量所得的結果，英國海岸線的分形維數大約等於1.25。
圖片來源：視覺中國
更令眾人吃驚的是，英國海岸線裏隱藏的秘密竟然也和人體的生命構造息息相關。分形的發現，則將人們引向越來越奇異的科學探索之旅。大自然，處處都彰顯出偉大的和諧與統一。
英國的海岸線展示出分形那令人驚異的奇妙性質。海岸線圍成的國土麵積有限，卻擁有近乎無限的長度。然而，更讓人意想不到的是，英國的海岸線和人體的構造息息相關。
分形，在上帝創造生命的過程中扮演著至關重要的角色。可以說，沒有分形，人類這種偉大而聰慧的生靈可能根本就不會出現。
為了維持人體生存的必需，血管肩負起傳遞營養的重責。人的身體各處都布滿血管，從大動脈到微血管，就是為了保證每個細胞都能從血液的流動中交換必要的成分。大動脈負責主要血液的流動，微血管甚至隻能允許單個血細胞通行。考慮到每個細胞都需要直接供血，血液循環係統的總體表麵積會非常巨大。然而出乎意料的是，這樣一個極為複雜細致、遍布全身的血液網絡，其血流量的總體積卻僅占據人體體積的5%。
圖片來源：視覺中國
科學家經過仔細研究發現：原來，血管的分叉就是一種分形結構。經過精密的實驗測定，人體動脈的分形維數大約為2.7。
更進一步，科學家們發現，人體的主要器官和結構都是分形的傑作。
人體的肺部細胞、大腦的表麵、肝膽和小腸的結構、泌尿係統、神經元的分布、雙螺旋的DNA結構甚至蛋白質的分子鏈等等，都有明顯的分形特征：自相似性。甚至生物體中每個單元的形態結構、遺傳特性等，在不同程度上可看作是生物整體的縮影。比如，人耳的形狀，就非常類似母體胚胎中蜷縮的嬰兒。
以肺部器官為例。人體的肺部管道，就遵循著反複的樹形分叉結構。為了能在有限的體積內充分吸收空氣，肺部的表麵積竟然差不多和整個網球場一樣大，這無疑不是仰賴於分形的功勞！實驗揭示，肺泡的分形維數大約為2.97。
人類的大腦更是分形藝術的傑作。大腦表麵的皺紋也呈現出複雜的分形結構，目的就是為了在有限的體積內，能擁有更大的表麵積，從而可能擁有更加複雜的思考能力。科學家估算出大腦的分形維數大致在2.75左右。
生命的傳承主要依靠細胞的繁殖分裂。單個細胞所蘊含的生物的個體信息，能夠全部用於自我複製和重組，成長為一個全新的生命體，這就類似於分形的自相似性。整體的宏觀表象，就是每一個細胞的分形合作。
在人體中，除了各種大小器官等的空間分形結構之外，心髒中輸送的電流脈衝、心跳節律、腦電波等，這些隨時間變動的波形曲線也是分形。不僅如此，人們逐漸認識到，分形甚至是混沌的一種表征結構。事實上，表麵上看起來雜亂無章的混沌在某種程度上就可以視為時間上的分形。一個係統的混沌運動是它的本質，分形是它的表現形式；換句話說，混沌學與分形學具有很深的內在聯係，如果說分形幾何為描寫混沌的內部結構提供了一個很實用的語言，那麽，混沌運動則被認為是產生分形結構的根源。
分形還有更令人匪夷所思的功能。它除了是人體構成的深層次結構，更能提供人們健康生活的保障。普通人的心髒每分鍾都在按照一定頻率有規律的跳動。人們想當然地認為心率正常就是身體健康的標誌。然而通過對人群的持續追蹤則表明：健康人的心率曲線呈現凹凸不平的特征，既有混沌的跳動，又具有分形的自相似性。顛覆人們想法的是，癲癇患者和帕金森病患者的心率曲線反而表現出更多的規則和周期的規律性行為。
所有的一切都在突破人們對生命係統的傳統認知，原來健康的生理特征本質上應該是混沌的。那些在生理上看起來規律的信號，反而可能預示著生命體的異常。
如果考慮到人體的諸多器官和組織都是分形的結構，那麽這樣的結果也許並不出乎意外。這些器官正常工作產生的信號理應是混沌的。混沌的複雜性、搖擺性，在不同狀態隨時切換的可能性，才使得人體具有高度的適應性和靈活性，可以去應付外界各種複雜的環境變化。混沌，表麵上看起來無跡可尋，卻在幫助人體在環境的劇變下生存下來。正如人的大腦也是混沌係統一樣，各種微小的外界輸入和刺激都能幫助大腦做出天壤之別的反應，這也許正是人類創造性的來源。也正因為混沌的不可預測性，人的行為才有可能表現出智慧和反複的一麵。
分形，以及由此產生的混沌，使人類擁有高度的自我進化和調節能力，而一個擁有開放心態和適應能力的生命體，必將能創造更加輝煌的未來。
（四）：分形是天使，混沌是魔鬼？
一旦意識到分形的重大意義，人們才發現，分形在世界上無處不在。
近在眼前的人體，其自身的各種器官就有相應的分形結構。遠在天邊的浮雲，則在一個較大的尺度範圍內有維數為1.35的邊界。英國的海岸線是1.25維的分形，而眾多山川地形的表麵更是2.2維的分形曲麵。
圖片來源：視覺中國
分形理論大大打開了各學科的眼界，逐漸滲透到物理、化學、地質、地理、生物、醫學、冶金等科學領域。科學家們則從這門新興的分形理論中獲得許多前所未有的新認識和新進展：物理中的湍流與相變，化學中的高分子鏈、催化劑表麵、凝膠，天文學中的星團分布、宇宙大尺度結構，地學中的滲流、地貌演化，地理中的河流與水係，醫學中的人體組織結構，材料的損傷斷裂等等。
不僅在自然科學領域大放異彩，分形更是在經濟學和人文科學的領域裏攻城伐地。經濟學家用混沌理論預測經濟的未來和股市的走勢。在人類社會活動和社會現象中，很多地方都呈現出自相似性，這就是社會分形。作家用一部微縮作品反映一個時代的變遷就是一個社會分形元，比如曹雪芹的《紅樓夢》描述了晚清時期的社會分形。
圖片來源：百度百科
從數學上來看，分形大多數是用非線性迭代法產生的。分形幾何的創始人曼德勃羅曾經留下了迄今為止最奇異、魔幻的幾何圖形--曼德勃羅集。曼德勃羅集被稱為“上帝的指紋”和“魔鬼的聚合物”。它就是由簡單的非線性迭代所描述： Z(n+1)=Z(n)^2+C，這裏Z和C都是複數。
曼德勃羅集（圖片來源：百度百科）
由曼德勃羅集出發，分形也為藝術家提供了大量的靈感。基於分形的原理，各種別出心裁的建築設計更是層出不窮。分形幾何理論的建立深深地影響了建築學的發展，拓展了建築形式的可能性。不僅如此，分形也深入到音樂和繪畫中的創作中，極大地豐富了人們的審美空間。
分形，儼然是宇宙中的天使，為萬物奠定秩序和生機；而混沌，猶如黑暗中的魔鬼，為世界帶來混亂和挑戰。是什麽力量，讓世界在永恒的時間裏同時趨於混亂和秩序？是什麽力量，讓魔鬼和天使和諧地相處在一起？原來，混沌呈現出的無規行為或無秩序，隻是一種表麵現象，隻有深入到它的內心，才能發現其深刻的規律性。
圖片來源：視覺中國
混沌一詞在中文裏最早出現於盤古開天劈地的傳說之中，在《聖經》中也是指代天地初開時的空虛模糊。
西方世界自牛頓創立三大定律一來，一度相信世界的本質是確定性的結果。這種機械宇宙論發展到極致，更是被數學家拉普拉斯高傲地宣稱：隻要知道宇宙某一刻全部物質的狀態，我們就能完全知曉宇宙的過去和未來。然而，牛頓的理論雖然取得巨大的成功，但是仍然在計算太陽係所有行星的運動時無能為力，甚至在預測太陽、地球和月亮的命運時都遭遇到巨大的理論挫折。這個困擾牛頓的難題，也被後世稱為三體問題而聲名大噪。
法國大數學家龐加萊曾經為三體問題殫精竭慮。即使對問題做出極大的簡化，三體問題仍然複雜得讓人望而生畏。他曾經失望地表達三體問題的計算難度遠遠超過想象。人們如此關心三體問題的結局，一方麵是出於挑戰難題的興趣，另一方麵也是對人類自身命運的關懷。如果牛頓理論是確定無疑的，那麽三體問題的解答將給出人類所處的這個星球最後的命運歸屬。
龐加萊（圖片來源：百度圖片）
盡管龐加萊未能解決三體問題，但是他卻意外地發現一個驚人的事實：太陽係長期的軌道行為是不可預測的！初始條件非常小的變化，會導致之後的運動產生巨大的改變。
1963年，美國氣象學家洛倫茲也發現了類似的現象。洛倫茲在用計算機求解一個簡化的大氣對流模型時，發現這些解以不規則、甚至是隨機的方式震蕩。初值的極小波動會引起解的劇烈變化。這種奇異的現象後來成了人們耳熟能詳的描述：一隻巴西熱帶雨林中的蝴蝶煽動幾下翅膀，可能在美國德克薩斯州引起一場龍卷風。這就是大名鼎鼎的“蝴蝶效應”。
洛倫茨用三個變量、三個方程描述了係統的運動，用三維空間來畫出三變量係統的軌跡。點的軌跡永遠不相交，它永遠地在打圈子，表現出一種無窮盡的複雜性。圖像一直保持在一定的範圍內，既不重複自己，又不跑到紙外。軌跡形成了一個奇怪而明確的圖案，像三維空間的一對旋渦，又像一對蝴蝶的翅膀。這就是為後人津津樂道的“蝴蝶吸引子”。
圖片來源：百度百科
蝴蝶吸引子是非線性動力係統的神奇現象之一，然而科學家一直沒有找到適當命名這一大類問題的方法。1975年，華人科學家李天岩和其博士生導師約克才在其論文中為這種離散動力係統所呈現出的奇異特性命名為“混沌”。自此，混沌終於現身，它打開了現代動力係統研究的大門。科學家終於淩厲地突破自牛頓時代以來一直統治著科學的線性的、還原論的思維方式。
正是混沌魔鬼的現身，讓長期的天氣預報成為不可能。在現實生活中，天氣的實際測量總是存在誤差，然而哪怕在小數點後麵100位的數字變動了一點，天氣預報的結果都可能會大相徑庭。太陽係也存在類似的問題，這也讓預測人類的終極命運成為永恒的未知。事實上，人們最多隻能預測太陽係未來1000年的動力學行為。
圖片來源： 視覺中國
非線性係統，由於混沌造成了無法跨越的困難，也因此，混沌被視為自然科學中的魔鬼，阻擾著人們對真理的終極認知。
奇妙的是，混沌的魔鬼隻是披著表麵的任性，它的內心同樣遵循著秩序。美妙的蝴蝶吸引子，提供了混沌從無序邁向有序的鐵證。它是鏈接混沌和分形的橋梁。吸引子實際上是一個具有無窮結構的分形。數學家發現洛倫茨吸引子的分形維數，在2.06左右。
天使和魔鬼，原本就是一家人。
（五）：未來，一切皆有可能
混沌的表麵模糊不清，然而其核心卻和分形緊密聯係在一起。
無論是洛倫茲氣象模型還是三體問題，都是一個確定性的微分方程，最終卻產生了混沌的現象。混沌是係統長期演化的結果。因此，研究一個動力學係統的長期行為才有可能揭示混沌的本質。原來，一個係統的狀態會隨著某些參數的變化從平衡走向混沌。這個事實被稱為倍周期分岔現象。
當參數的取值在一定範圍時，係統會長期趨於一個穩定的狀態。這個狀態就是人們期望預知的終極狀態。比如一個在空氣中運動的小球如果沒有其他外力的驅使，最終會靜止下來。這種靜止態就是小球的歸宿。可是當參數的取值發生變化時，係統的終極狀態不再是唯一的，而可能是在兩個狀態之間彼此搖擺。係統在單位時間內從一個狀態跳到另外一個狀態，然後再次經曆單位時間，係統再次從另外一個狀態跳回來。因此，係統回到相同狀態的時間就變成了單個狀態的兩倍。隨著參數值的繼續增加，終極狀態的數目也在迅速增加，每次都會以兩倍的形式遞增。這就是倍周期分岔現象。
倍周期分岔（圖片來源： 網絡）
倍周期分岔現象是係統出現混沌的先兆，最終會導致有序到無序，穩態向混沌的轉變。當參數出現更大的變化時，倍周期分岔現象呈崩潰之勢，平衡點已無法區分，連接成一片連續區域。此時就出現了混沌。而倍周期分岔現象就具有自相似性及普適性等重要的特征。這個與內在隨機性密切相關的幾何性質揭示了倍周期分岔現象與分形、混沌、奇異吸引子等之間的內在聯係，也成為混沌內蘊的秩序象征。
凡事皆有利有弊。混沌的出現帶來了混亂，卻也在某方麵帶來了希望。既然擾動會帶來破壞性的結果，那麽尋找合適的小擾動，就可以起到四兩撥千斤的效果。這就是混沌控製的精髓。
太空旅行中，也許通過混沌控製，使用極少的燃料就能實現星際穿梭。混沌裏的蝴蝶效應更可以在醫學上一展宏圖，諸如控製心律失常、抑製癲癇等等，甚至還能讓湍流過渡為平穩的運動，減少飛機的危險。
圖片來源： 視覺中國
不僅如此，混沌甚至是調節國民經濟、緩衝經濟危機的利器。眾所周知，股市是經濟的晴雨表。傳統經濟學認為，股市是隨機遊走的布朗運動，其波動符合對數正態分布。由於其高度的隨機性，人們無法預測股市的未來，更無法指定合適的政策來維護股市的穩定。
然而，經過多年的實際觀測，股市的表現更多呈現出尖峰肥尾的特征，在一定程度上偏離了隨機遊走的假設。1982年，美國經濟學家德依引入了混沌研究經濟學的表現。隨後，人們開始在各種市場上應用混沌理論尋找其吸引子的特征，並取得非凡的結果。經濟呈現出的混沌現象愈來愈多。
經濟混沌的存在，雖然不能極大改進經濟預測的能力，但是卻可以大幅度改善政府對市場的調控能力。這對經濟周期的波動和股市的災難預警提供了更多的宏觀政策依據。
圖片來源： 視覺中國
混沌的極端不穩定性和對初值的敏感依賴還被用於通信加密。信號一旦被監聽幹擾就會產生不可逆轉的誤差，這為破譯信號帶來極大的的困難，更是開辟了通信技術的新天地。
分形是天使，它呈現出的玄機和美感為人類提供了豐富的靈感源泉。美妙的分形奏響了一曲迷人的音樂篇章，其深刻的本質完全顛覆了人們對傳統事物的認識。
混沌是魔鬼，它成為複雜現象的代名詞，更是牛頓的確定科學論終結的標誌之一。混沌為人們探索真理的疆域劃定了邊界。在混沌的籠罩下，人們無法預知諸多複雜係統的未來。然而，這也激發了人類持續進步、永不枯竭的創造能力。世界的命運就掌握在你我手中，沒有什麽比確定性的結局更讓人沮喪，也沒有什麽比一切皆有可能更加振奮人心。
天使和魔鬼，組成了世界運行的規則。它就是真實世界的兩麵。在魔鬼的內心，隱藏著天使的靈魂。在天使的背後，潛伏著魔鬼的騷動。認識世界的複雜性，摒棄單一的二元對立思維，才能真正走入現代科學的複雜時代，迎接更多可能的未來。
參考文獻：
1.《數學的故事》，伊恩.斯圖爾特著,上海辭書出版社，2013。
2.《從混沌到有序人與自然的新對話》，伊裏亞·普裏戈金、斯唐熱著，上海譯文出版社，1987。
3.《複雜》，米歇爾.沃爾德羅普著，生活·讀書·新知三聯書店，1997。
4.《蝴蝶效應之謎》，張天蓉著，清華大學出版社，2013。
