一畝三分地
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發信人: chamberlain (PKU|PHY01|麵朝大海|春暖花開), 信區: Quant
標 題: 科普一下隨機微積分
發信站: BBS 未名空間站 (Mon May 19 00:42:54 2008)
科普一下隨機微積分
隨便寫了一個關於隨機微積分的科普，如果大家覺得寫的不錯，讀者受益，如果大家覺
得寫的不好，請指出，我受益，總之是件好事，嗬嗬
1. 隨機微積分（Stochastic Calculus）是幹什麽的？
一言以蔽之，給隨機變量建立一套類似於普通微積分的理論，讓我們能夠像對普通的變
量做微積分那樣對隨機變量做微積分。
知道了這一點，我們很多時候都可以把普通微積分的思維方式對應到隨機微積分上。比
如，有些概念，一開始如果我們不理解這個概念起的作用是什麽，就可以想想在普通微
積分裏麵跟這個概念相對應的概念的作用。
2. 隨即微積分的理論框架是怎麽樣建立起來的？
一言以蔽之，依樣畫葫蘆。這裏的“樣”，說的是普通微積分。
在普通微積分裏麵，最基本的理論基礎是“收斂”（convergence）和“極限”（limit
）的概念，所有其他的概念都是基於這兩個基本概念的。對於隨機微積分，在我們建立
了現代的概率論體係（基於實分析和測度論）之後，同樣的我們就像當初發展普通微積
分那樣先建立“收斂”和“極限”這兩個概念。與普通數學分析不同的是，現在我們打
交道的是隨機變量，比以前的普通的變量要複雜得多，相應的建立起來的“收斂”和“
極限”的概念也要複雜得多。事實上，隨機微積分的“收斂”不止一種，相應的“極限
”也就不止一種。用的比較多的收斂概念是 convergence with probability 1 (almost
surely) 和 mean-square convergence。
另一個需要新建立的東西是積分變量。在普通微積分裏麵，積分變量就是一般的實變量
，也就是被積函數（integrand）的因變量，基本上不需要我們做什麽文章。而隨即微
積分的積分變量是布朗運動，在數學上嚴格的定義和構造布朗運動是需要一點功夫的。
這個過程是構建隨機微積分的的過程中的基本的一環。
“收斂”，“極限”和“積分變量”都定義好了之後，我們就可以依樣畫葫蘆，像普通
微積分裏麵的定義那樣去定義接下來的一係列概念。
3. 既然是依樣畫葫蘆，那麽跟普通微積分的區別是什麽？
最基本的區別在於現在的積分變量是布朗運動，它是時間的一個函數，但是卻有一個特
殊的性質：布朗運動處處連續但是處處不可導。正是這個特殊的性質使得隨即微積分跟
普通微積分不同。
在普通微積分裏麵，我們其實已經接觸了用“基本變量的函數”來作為積分變量的情況
，比如g(x)是x的函數，我可以用g作為積分變量進行積分：
int_{g=g(a)}^{g=g(b)} f(g) dg
如果g(x)是一個可導的函數,這就是我們在普通微積分中已經解決了的問題，因為dg =
g'dx，所以上式可以寫成：
int_{x=a}^{x=b} f(g(x)) g'(x) dx
但是對於布朗運動W來說，dW/dt不存在。正因為這個“微分”不存在，導致在普通微積
分裏麵可以直接進行的上述微分運算在隨即微積分裏麵不能直接進行。
比如，在普通微積分裏麵，有基本的微積分公式
(ln x)' = 1/x
因而
dx/x = d(ln x).
但在隨機微積分裏麵則不能對dW/W 進行這樣的計算
dX/X =/= d(ln X)，
因為 ln(X)是不可導的。
這就需要我們建立新的基本運算規則。
４. 隨即微積分的基本運算規則是什麽？
在普通微積分裏麵，首先我們定義了牛頓-萊布尼茲公式
f(b) - f(a) = int_a^b f'(x) dx
然後我們定義了一係列基本的運算法則，比如
d(x+y) = dx + dy;
d(xy) = x*dy + y*dx
和基本微積分公式，比如
(x^2)' = 2x；
int exp(x)dx = exp(x)。
然後我們實際進行微積分運算的時候，主要是把要計算的微分或者積分按照運算法則分
解成這些基本的微積分公式，然後把他們用這些基本的微積分公式套進去進行計算。
在隨機微積分裏麵，我們做相同的事情。
導致隨即微積分和普通微積分在操作上的區別的就是最基本跟牛頓-萊布尼茲公式相對
應的新的微積分公式。
普通微積分的牛頓-萊布尼茲公式是由分區間近似求和，然後取極限得到。在隨即微積
分裏麵，我們可以用相同的方法來定義積分，但是這個近似的取法不同，會導致計算的
結果不同。
目前最有實用意義的近似取法是有日本數學家Ito提出的，那就是，在計算某個小區間
的對整個積分的貢獻的時候，用這個區別的左邊界的函數值來代替整個區間的函數值。
（Note：在定義普通微積分的時候，我們用的是該區間上任意一點。之所以可以使用該
區間上任何一點是因為函數的可導性。而這裏，函數不可導，所以不能像普通微積分那
樣用任意一點的函數值來代替）
用這種近似方法，我們可以得到如下基本公式（跟普通微積分裏麵的牛頓-萊布尼茲公
式相對應），Ito公式：
f(W(t)) - f(W(0)) = int_0^t f'(W(u)) dW(u) + 1/2int_0^t f''(W(u)) du
等式右邊的第二項是讓隨機微積分在實際操作上區別於普通微積分的所謂Ito項。
有了Ito公式之後，就可以計算一些基本的常用的微積分公式，比如對於f(x)=ln(x), f
' = 1/x, f'' = -1/x^2s，所以
ln(W(t)) - ln(W(0)) = int_0^t (1/W(u)) dW(u) + 1/2 int_0^t (-1/W(u)^2) du
接下來的步驟，就跟普通微積分幾乎一模一樣，運用運算法則將複雜的微積分分解成基
本的微積分，然後套用基本公式。
實際的隨機微積分一般都既牽涉到普通變量時間t，又牽涉到隨機變量布朗運動W(t)。
注意碰到跟t有關的部分就用普通微積分的法則，碰到跟W(t)有關的部分就用隨機微積
分的法則。
５. 關於隨機微分方程
如果你學到隨機微分方程了，那麽你會遇上隨機微積分裏麵最大的joke，那就是，雖然
人們經常把隨機“微分”方程掛在嘴上，但實際上人們處理的統統都是隨機積分方程。
比如最著名的描述股票運動的方程（其解是Geometric Brownian Motion），我們通常
看到下麵的形式：
dS = mu S dt + sigma S dW
這個貌似微分方程的東西，其實並不是微分方程，原因很簡單，S是處處不可導的，所
以你不能把dt挪到左邊的分母上得到一個類似於dS/dt的東西。所以這跟本就不是一個
微分方程，實際上，它是如下積分方程的一個簡寫而已：
S(t) - S(0) = int_0^t mu S dt + int_0^t sigma S dW(u)
我們通常談論的隨機“微分”方程的general的形式如下：
dX(t) = mu(t,X(t))dt + sigma(t,X(t))dW(t)
經過剛才的例子，你很容易明白這其實是一個積分方程。
具體解隨機“微分”方程的方法沒有什麽新的東西，做法都跟普通的常微分方程和偏微
分方程一樣，隻不過在所有涉及到以W為變量的微分和積分的時候，都要套用Ito積分的
公式。
正如解析方法在常微分方程和偏微分方程裏麵能解決的問題很有限一樣，解析方法在隨
機“微分”方程裏麵能做的事情也很有限，實際工作中主要用的數值方法。直接解隨機
微分方程的數值方法其實就是模擬。
模擬主要分強近似和弱近似，前者模擬大量的符合該微分方程的過程，然後根據模擬的
這些過程來計算統計值。後者也模擬大量的過程，但這些過程並不嚴格符合方程所描述
的過程的性質，而隻是在某些方麵（比如終點時刻的值的期望和方差）趨近於方程所描
述的過程。
隨機微分方程的數值解基本上就是常/偏微分方程的數值解的拓展，比如Euler's
method，操作起來跟常微分方程的Euler's method幾乎一模一樣。不同之處在於，用
Euler's method解常微分方程，這種逐步往後計算每個點的值的過程隻需要進行一次。
而在解隨機微分方程的時候，每一次隻得到一個sample process，對於解一個方程，這
個過程需要重複很多次。
６. 隨機微分方程跟偏微分方程的關係
再次寫出隨機“微分”方程的general形式
dX(t) = mu(t,X(t))dt + sigma(t,X(t))dW(t)
假設我們關心的是X(T)的某個函數的期望值（在實際工作中，我們幾乎總是隻關心這個
，比如E[X(T)]是X(T)本身的期望，Var[X(T)]是X^2(T)的期望），假設這個函數是h，
現在要根據t時刻的信息來推斷h(X(t))在T時刻的期望。
換句話說，我們要計算h(X(T))在時刻t的條件期望，我們把這個條件期望記做g(t,X(t))
g(t, X(t)) = E[h(X(T))|F(t)].
很顯然這個g也是一個隨機過程。進一步的，可以證明，這個在一定的條件下，g是一個
martingale。既然是martingale，那麽如果計算g的微分，那麽微分中的dt項應該為0，
這是建立隨機微分方程和偏微分方程的最基本出發點。實際上，dg中的dt項為0可以導
致如下結論：
g_t(t,x) + mu(t,x) g_x(t, x) + 1/2 sigma^2(t,x) g_{xx}(t,x) = 0
式中的下標表示偏微分。
這樣我們就由一個隨機微分方程得到了一個偏微分方程。注意這個偏微分方程非常的有
用，因為在實際工作中，我們大多數情況下並不關注X(t)作為一個隨機過程的種種細節
，而更多的隻關注他的某些函數的期望和條件期望，比如E[h(X(T))|F(t)]。而上麵的
這個微分方程，解決的正是這種問題。所以很多時候，麵對著一個隨機微分方程的問題
，我們並不需要真正的去解隨機微分方程，而隻需要解對應的偏微分方程就可以了。
上麵闡述的這層關係叫做Feynman-Kac定理。
順便說一句，在金融中大名鼎鼎的Black-Scholes-Merton微分方程，其實就是Feynman-
Kac定理的一個小小應用而已。
如果我們計算不是h(X(T))的條件期望，而是exp(-r(T-t))h(X(T))的條件期望，基於同
樣的推導，我們可以到類似的偏微分方程：
g_t(t,x) + mu(t,x) g_x(t, x) + 1/2 sigma^2(t,x) g_{xx}(t,x) = rg(t,x)
這就是Black-Scholes-Merton微分方程。
標 題: 科普一下隨機微積分
發信站: BBS 未名空間站 (Mon May 19 00:42:54 2008)
科普一下隨機微積分
隨便寫了一個關於隨機微積分的科普，如果大家覺得寫的不錯，讀者受益，如果大家覺
得寫的不好，請指出，我受益，總之是件好事，嗬嗬
1. 隨機微積分（Stochastic Calculus）是幹什麽的？
一言以蔽之，給隨機變量建立一套類似於普通微積分的理論，讓我們能夠像對普通的變
量做微積分那樣對隨機變量做微積分。
知道了這一點，我們很多時候都可以把普通微積分的思維方式對應到隨機微積分上。比
如，有些概念，一開始如果我們不理解這個概念起的作用是什麽，就可以想想在普通微
積分裏麵跟這個概念相對應的概念的作用。
2. 隨即微積分的理論框架是怎麽樣建立起來的？
一言以蔽之，依樣畫葫蘆。這裏的“樣”，說的是普通微積分。
在普通微積分裏麵，最基本的理論基礎是“收斂”（convergence）和“極限”（limit
）的概念，所有其他的概念都是基於這兩個基本概念的。對於隨機微積分，在我們建立
了現代的概率論體係（基於實分析和測度論）之後，同樣的我們就像當初發展普通微積
分那樣先建立“收斂”和“極限”這兩個概念。與普通數學分析不同的是，現在我們打
交道的是隨機變量，比以前的普通的變量要複雜得多，相應的建立起來的“收斂”和“
極限”的概念也要複雜得多。事實上，隨機微積分的“收斂”不止一種，相應的“極限
”也就不止一種。用的比較多的收斂概念是 convergence with probability 1 (almost
surely) 和 mean-square convergence。
另一個需要新建立的東西是積分變量。在普通微積分裏麵，積分變量就是一般的實變量
，也就是被積函數（integrand）的因變量，基本上不需要我們做什麽文章。而隨即微
積分的積分變量是布朗運動，在數學上嚴格的定義和構造布朗運動是需要一點功夫的。
這個過程是構建隨機微積分的的過程中的基本的一環。
“收斂”，“極限”和“積分變量”都定義好了之後，我們就可以依樣畫葫蘆，像普通
微積分裏麵的定義那樣去定義接下來的一係列概念。
3. 既然是依樣畫葫蘆，那麽跟普通微積分的區別是什麽？
最基本的區別在於現在的積分變量是布朗運動，它是時間的一個函數，但是卻有一個特
殊的性質：布朗運動處處連續但是處處不可導。正是這個特殊的性質使得隨即微積分跟
普通微積分不同。
在普通微積分裏麵，我們其實已經接觸了用“基本變量的函數”來作為積分變量的情況
，比如g(x)是x的函數，我可以用g作為積分變量進行積分：
int_{g=g(a)}^{g=g(b)} f(g) dg
如果g(x)是一個可導的函數,這就是我們在普通微積分中已經解決了的問題，因為dg =
g'dx，所以上式可以寫成：
int_{x=a}^{x=b} f(g(x)) g'(x) dx
但是對於布朗運動W來說，dW/dt不存在。正因為這個“微分”不存在，導致在普通微積
分裏麵可以直接進行的上述微分運算在隨即微積分裏麵不能直接進行。
比如，在普通微積分裏麵，有基本的微積分公式
(ln x)' = 1/x
因而
dx/x = d(ln x).
但在隨機微積分裏麵則不能對dW/W 進行這樣的計算
dX/X =/= d(ln X)，
因為 ln(X)是不可導的。
這就需要我們建立新的基本運算規則。
４. 隨即微積分的基本運算規則是什麽？
在普通微積分裏麵，首先我們定義了牛頓-萊布尼茲公式
f(b) - f(a) = int_a^b f'(x) dx
然後我們定義了一係列基本的運算法則，比如
d(x+y) = dx + dy;
d(xy) = x*dy + y*dx
和基本微積分公式，比如
(x^2)' = 2x；
int exp(x)dx = exp(x)。
然後我們實際進行微積分運算的時候，主要是把要計算的微分或者積分按照運算法則分
解成這些基本的微積分公式，然後把他們用這些基本的微積分公式套進去進行計算。
在隨機微積分裏麵，我們做相同的事情。
導致隨即微積分和普通微積分在操作上的區別的就是最基本跟牛頓-萊布尼茲公式相對
應的新的微積分公式。
普通微積分的牛頓-萊布尼茲公式是由分區間近似求和，然後取極限得到。在隨即微積
分裏麵，我們可以用相同的方法來定義積分，但是這個近似的取法不同，會導致計算的
結果不同。
目前最有實用意義的近似取法是有日本數學家Ito提出的，那就是，在計算某個小區間
的對整個積分的貢獻的時候，用這個區別的左邊界的函數值來代替整個區間的函數值。
（Note：在定義普通微積分的時候，我們用的是該區間上任意一點。之所以可以使用該
區間上任何一點是因為函數的可導性。而這裏，函數不可導，所以不能像普通微積分那
樣用任意一點的函數值來代替）
用這種近似方法，我們可以得到如下基本公式（跟普通微積分裏麵的牛頓-萊布尼茲公
式相對應），Ito公式：
f(W(t)) - f(W(0)) = int_0^t f'(W(u)) dW(u) + 1/2int_0^t f''(W(u)) du
等式右邊的第二項是讓隨機微積分在實際操作上區別於普通微積分的所謂Ito項。
有了Ito公式之後，就可以計算一些基本的常用的微積分公式，比如對於f(x)=ln(x), f
' = 1/x, f'' = -1/x^2s，所以
ln(W(t)) - ln(W(0)) = int_0^t (1/W(u)) dW(u) + 1/2 int_0^t (-1/W(u)^2) du
接下來的步驟，就跟普通微積分幾乎一模一樣，運用運算法則將複雜的微積分分解成基
本的微積分，然後套用基本公式。
實際的隨機微積分一般都既牽涉到普通變量時間t，又牽涉到隨機變量布朗運動W(t)。
注意碰到跟t有關的部分就用普通微積分的法則，碰到跟W(t)有關的部分就用隨機微積
分的法則。
５. 關於隨機微分方程
如果你學到隨機微分方程了，那麽你會遇上隨機微積分裏麵最大的joke，那就是，雖然
人們經常把隨機“微分”方程掛在嘴上，但實際上人們處理的統統都是隨機積分方程。
比如最著名的描述股票運動的方程（其解是Geometric Brownian Motion），我們通常
看到下麵的形式：
dS = mu S dt + sigma S dW
這個貌似微分方程的東西，其實並不是微分方程，原因很簡單，S是處處不可導的，所
以你不能把dt挪到左邊的分母上得到一個類似於dS/dt的東西。所以這跟本就不是一個
微分方程，實際上，它是如下積分方程的一個簡寫而已：
S(t) - S(0) = int_0^t mu S dt + int_0^t sigma S dW(u)
我們通常談論的隨機“微分”方程的general的形式如下：
dX(t) = mu(t,X(t))dt + sigma(t,X(t))dW(t)
經過剛才的例子，你很容易明白這其實是一個積分方程。
具體解隨機“微分”方程的方法沒有什麽新的東西，做法都跟普通的常微分方程和偏微
分方程一樣，隻不過在所有涉及到以W為變量的微分和積分的時候，都要套用Ito積分的
公式。
正如解析方法在常微分方程和偏微分方程裏麵能解決的問題很有限一樣，解析方法在隨
機“微分”方程裏麵能做的事情也很有限，實際工作中主要用的數值方法。直接解隨機
微分方程的數值方法其實就是模擬。
模擬主要分強近似和弱近似，前者模擬大量的符合該微分方程的過程，然後根據模擬的
這些過程來計算統計值。後者也模擬大量的過程，但這些過程並不嚴格符合方程所描述
的過程的性質，而隻是在某些方麵（比如終點時刻的值的期望和方差）趨近於方程所描
述的過程。
隨機微分方程的數值解基本上就是常/偏微分方程的數值解的拓展，比如Euler's
method，操作起來跟常微分方程的Euler's method幾乎一模一樣。不同之處在於，用
Euler's method解常微分方程，這種逐步往後計算每個點的值的過程隻需要進行一次。
而在解隨機微分方程的時候，每一次隻得到一個sample process，對於解一個方程，這
個過程需要重複很多次。
６. 隨機微分方程跟偏微分方程的關係
再次寫出隨機“微分”方程的general形式
dX(t) = mu(t,X(t))dt + sigma(t,X(t))dW(t)
假設我們關心的是X(T)的某個函數的期望值（在實際工作中，我們幾乎總是隻關心這個
，比如E[X(T)]是X(T)本身的期望，Var[X(T)]是X^2(T)的期望），假設這個函數是h，
現在要根據t時刻的信息來推斷h(X(t))在T時刻的期望。
換句話說，我們要計算h(X(T))在時刻t的條件期望，我們把這個條件期望記做g(t,X(t))
g(t, X(t)) = E[h(X(T))|F(t)].
很顯然這個g也是一個隨機過程。進一步的，可以證明，這個在一定的條件下，g是一個
martingale。既然是martingale，那麽如果計算g的微分，那麽微分中的dt項應該為0，
這是建立隨機微分方程和偏微分方程的最基本出發點。實際上，dg中的dt項為0可以導
致如下結論：
g_t(t,x) + mu(t,x) g_x(t, x) + 1/2 sigma^2(t,x) g_{xx}(t,x) = 0
式中的下標表示偏微分。
這樣我們就由一個隨機微分方程得到了一個偏微分方程。注意這個偏微分方程非常的有
用，因為在實際工作中，我們大多數情況下並不關注X(t)作為一個隨機過程的種種細節
，而更多的隻關注他的某些函數的期望和條件期望，比如E[h(X(T))|F(t)]。而上麵的
這個微分方程，解決的正是這種問題。所以很多時候，麵對著一個隨機微分方程的問題
，我們並不需要真正的去解隨機微分方程，而隻需要解對應的偏微分方程就可以了。
上麵闡述的這層關係叫做Feynman-Kac定理。
順便說一句，在金融中大名鼎鼎的Black-Scholes-Merton微分方程，其實就是Feynman-
Kac定理的一個小小應用而已。
如果我們計算不是h(X(T))的條件期望，而是exp(-r(T-t))h(X(T))的條件期望，基於同
樣的推導，我們可以到類似的偏微分方程：
g_t(t,x) + mu(t,x) g_x(t, x) + 1/2 sigma^2(t,x) g_{xx}(t,x) = rg(t,x)
這就是Black-Scholes-Merton微分方程。
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