一畝三分地
文摘
正文
高等隨機過程的理論基礎
by aDdNOX
0. 前言
這篇文章的本意是在Financial Engineering 這門課的基礎上，從理論和直觀兩種角度一些課
上一筆帶過的概念，並且更重要的，告訴讀者為什麽數學家會創造這些抽象的概念。但是
必須說明，這篇文章僅僅適合那些對課堂上的內容（理論部分）疑惑不解的人，那些了解
了數學形式但是不知道為何要進行類似的數學定義的人（這裏將不涉及技術上的數學處理，
比如一些性質的證明），以及在數學和直觀上都能較好的理解課堂內容，但是隱約覺得老
師的陳述並不嚴密的人（對於這些人，你們的敏銳直指Bauer 的軟肋，他的陳述的確遠遠
不夠嚴密）。而對於頭疼考試的同學來說，我可以很負責任的告訴你們，理解不理解這篇
文章，對考試影響不大。
如果閱讀中發現我前言不答後語，那純粹是由於分時段寫作造成的，請務必不要懷疑我的
語言能力……
1.測度論與公理化的概率理論
測度（measure）是對一切測量標準（如長度，重量等）的數學抽象。抽象後，測度的直
觀含義可以理解為，為每一個集合分配一個實數編號，從而這些實數編號之間的大小是有
意義的（可以通過比較實數編號的大小來比較集合的性質（如長度），並且這些實數編號
之間基本代數運算（加法和乘法）結果也具有意義（如兩個東西合起來稱重量，等於兩個
東西分別稱重後相加）。以上的性質，是進行測量所需要的性質，現實中如果兩個長度無
法比較，或者兩個物體的重量之和不是它們的總重量（現實中這一點似乎有些可笑，甚至
可以被認為是文字遊戲，但是數學上，重量之和與合起來的重量是兩個完全不同的定義，
後麵我們將看到類似這樣的定義，因此，二者是否相等，在數學上並無必然結論，希望二
者相等，隻不過是為了讓測度這個數學概念接近現實），那測量結果就毫無意義。
題外話，數學並非科學，而是一個極端隨意的學科，其隨意性表現為：我們可以選擇去相
信任意的公理，而僅僅需要讓這一組公理推導出的任何結論不互相矛盾，並且不與公理矛
盾，這一點要求，被稱為公理係統的自洽性（consistency）。任何自洽的數學體係都是數
學上完全正確的。而實際上，人們由於受到對現實世界感知的影響，對一些公理有著自然
而然的甚至是無意識的偏好，比如歐式幾何的第五公設的一個等價形式是：過直線l 外一
點隻有一條直線與l 平行，千餘年來人們相信它的唯一原因就是，我們無法畫出兩條與l
平行的直線，卻一定可以畫出一條這樣的直線。但是這個公設獨立於歐式幾何的其他所有
公理，無法被證明或證偽，因此，數學上，可以將其換成其他的，同樣不與其他公理矛盾，
並且也不會推導出矛盾結論的公理，並產生出新的幾何學。事實上，兩種非歐幾何就是建
立在這樣的創造上，羅巴切夫斯基假設至少能做出兩條與l 平行的直線，因此創造了雙曲
麵幾何；而黎曼認為一條平行直線也做出不來，因此創造了球麵幾何。而歐式幾何是建立
在平麵和歐空間裏的幾何。那麽，那種幾何是正確的呢？一直以來人們都認為雖然三者都
2
是數學上正確，但是隻有歐式幾何是事實上正確（或說物理上正確）的，因為人們相信，
我們生活的空間是歐空間。但是高斯早就提出，我們生活的宇宙在相當大的外圍內看是一
個球空間，因此黎曼幾何（球麵幾何）也是物理上正確的空間。而相對論也是通過黎曼幾
何確立的，相對論的正確性也可以從一個側麵佐證黎曼空間的物理正確性，以及歐空間的
近似性。
回到我們對測度的討論，我們希望兩個測度之間可比、可加，也希望被測量的集合也有可
加等性質，這個要求是來源於實際，但是在數學上並沒有必要。正如我們可以規定，1 米
比3 米長，2 斤加5 斤等於6 斤一樣。這樣的規定在數學上毫無錯誤，隻不過因為與直覺
不符而容易產生混亂罷了。
在數學上，測度即是，創造出滿足我們要求的（大小可比較，基本運算有意義等）的集函
數，該函數將任一集合映射到一個實數上。
想要測度，就必須有可以被測度的對象，假如我們以所有可能發生的結果組成的集合為全
集，那麽每個結果就是一個元素，而不是一個集合。這樣一來，集函數的自變量就無從說
起了，一個自然的想法是，把全集的所有子集一一列出，構成一個集合，我們將集合的集
合稱為集簇，並且特別的，將這個由全集的全部子集（自然也包括全集本身和空集）構成
的集簇，表示為P??? 。
既然所有的P??? 的元素都要被賦予一個測度，那麽我們自然而然的希望這個集簇有如下
性質：其中所有元素對交、並、補三種集合運算封閉（實際上對交並封閉可推導出對補封
閉）。之所以有這樣的要求，是為了讓我們之後的一切運算以及結論不至於對一些集合失
去意義。比如，我們發現a+b=b+a，即實數域下的交換律，但是如果有一組a 和b，滿足
a+b=c，且c 不屬於我們討論的集合範圍，那麽交換律就失去意義了。更具體的說，如果
我們討論的集簇是（0，1），每個其中的實數是集簇的一個集合，接著，我們定義集合的
交運算即為實數代數下的加法運算，那麽交換律在這個集簇下不成立，因為0.8+0.9 不在
我們的集簇內。我們在這個時候，甚至不能說0.8+0.9=1.7。
當P??? 中的元素個數有限時，上麵的封閉性的要求必然被滿足，也就是說，我們可以將
??,P???,??當作一個測度空間，其中? 為定義在P??? 的測度。
但是，一個問題相應出現：
問題1.1：上述測度空間的定義能否拓展到? 有無限個元素的情況？
現代數學的最大成就之一，就是對無限這個概念進行了嚴格定義，從此以後，所謂的無窮
大、無限或者無窮小，都不再是隻可意會的概念，這一點，我們將在稍後涉及。
但是現在，有一個觀念必須大家必須牢記：有限條件下的數學性質未必能推廣到無限條件
下。既然如此，問題1.1 就不再是一個平凡的問題了。
3
但是在回答這個問題之前，我們必須明確區分兩種無限：可數無限和不可數無限。
數學上的無限和我們日常生活中的無限是有區別的。在數學上，有兩種無限，都是被嚴格
定義的，一種被稱為可數無限（countable)，即這一組無限的元素可以和自然數一一對應，
即可以被自然數編號，比如，偶數就是可數無限（因為偶數自然而然可以排成第一個偶數，
設定為0，第二個偶數，設定為2，第三個偶數，‐2，第四個，4）。我們稱一個無限序列
的“個數”為這個序列的基，雖然所謂“個數”根本不存在。
還有一些無限集合無法完全由自然數標示，比如全體實數，其證明由現代集合論的創始人
Cantor 以對角線法證明。一個題外話是，實數的數量，被稱為連續統(continuum)。根據基
的概念，我們可以得到一個結論：連續統的基要大於可數無限的基。
現在隻需要知道，凡是由1，2，3 到無窮的運算，都是可數無窮運算。可數無窮運算的典
型代表就是數學歸納法。而現實中，人們是如此混淆可數無窮和不可數無窮，以至於出現
了一些幾千年都未能解決的悖論。比如，芝諾的阿基裏斯悖論：奔跑中的阿基裏斯永遠也
不能超過在他前麵慢慢爬行的烏龜，因為他必須首先到達烏龜的出發點，而當他到達那一
點時，烏龜又向前爬了，所以仍在他前麵。重複這個論點，我們很容易看出烏龜總是在前
麵。這個悖論之所以是錯的，因為芝諾的證明是在無限個時間點上使用了數學歸納法，但
是問題在於，時間是連續統，因此是不可數無限。對不可數無限序列采用數學歸納法，其
結論自然是不可信的。
在了解了這兩種無限以後，我們終於可以回答問題1.1 了：
任何一個滿足大小可比較、基本運算有意義的測度，都不可能對一個基數大於等於連續統
的集簇中的每一個元素都有定義。
那麽，一個新的問題是：
問題1.2:我們是要放棄一個良好的測度，從而讓其能測量所有全集的所有子集呢，還是
放棄測量全集的所有子集，但是保證測度有良好性質呢？
現代的分析學家選擇了後者，因為一個性質不好的測度，根本就不能有任何穩定的應用，
這就好比如果一磅蘋果和另一磅蘋果共重兩磅，但是一磅橙子和另一磅橙子卻共重一磅一
樣。
問題1.3:我們應當選擇什麽樣的集簇來代替P??? ？
顯然，這個集簇必須對交並補封閉，但是同時，因為它的元素是無限的，我們必須要求一
些無限下的新性質，我們知道，補運算隻涉及全集和一個集合，但是交和並可以涉及多個
集合。那麽，我們要求封閉性，是不是也應該要求無限個集合的交運算和無限個集合的並
運算都封閉呢？在回答問題1.3 之前，我們不可避免的觸及了一個新的問題：
問題1.3.1：滿足有限交、並封閉，能不能推出滿足無限交、並封閉？
4
這個問題的答案是否定的。我們如果需要一個代替P??? 的新集簇對無限交和無限並封閉，
那必須把這一條加入其定義中。
問題1.3.2：所謂的無限交和無限並，是基於可數無限還是不可數無限？
這個問題是很自然的，但是也是很深刻的。其實，我們基於可數無限定義無限交和無限並，
這是因為前麵已經說過，人類邏輯從有限推理到無限，唯一值得依賴的工具就是數學歸納
法，任何超出數學歸納法的推理範圍的無限問題，都有可能導致悖論。
實際上，作為數學基礎的公理化集合論，其自洽性尚未被證明。因此，在這個尚可能存在
瑕疵的體係中，謹慎的使用公理是明智的。既然可數無限已經讓我們絞盡腦汁，因而必須
為其單獨設立公理，那麽我們還是不要討論不可數無限為好。
於是，公理化集合論中為所有數學家公認的關於極限的公理就隻有“承認數學歸納法”，
或其等價形式“承認自然數的良序性，即一堆自然數中必有最小值”（注意，數學家甚至
不要求其必有最大值，必有最大值這個性質沒有被當作公理，而是被其他公理推導出來的。
但是，為了避免被人抨擊說我不嚴密，我還是要說一句，的確有一個叫做選擇公理的集合
論公理，它提到的無限概念不區分可數或不可數。但是這個公理的使用是備受爭議的，使
用它，是因為一旦有這個公理，很多艱難的數學推理都會變得簡單，甚至有了它，數學歸
納法都不需要作為公理，因為選擇公理可以推出數學歸納法成立。但是選擇公理卻能推導
出明顯與直覺相悖的結論，比如分球悖論：根據選擇公理，一個實心球被拆成有限塊以後，
可以被重組成兩個和原來的實心球一樣大的實心球。
為了直覺而放棄對不可數無限的定義，還是為了良好的數學性質而無視與直覺相悖的結論，
這個直到現在還被數學家爭論著。
需要說明的是，近代數學家極力想找到一個自洽的數學係統，並且證明這個係統是自洽的，
但是哥德爾不完備性定理諷刺的指出：任何自洽的理論體係（不僅限於數學），都不可能
被證明是自洽的。
問題1.3.3：可數無限交和可數無限並這兩個條件，能不能被進一步簡化？
到現在為止，我們終於遇到了一個有肯定答案的問題。我們可以僅僅保留可數無限並封閉，
並且通過它定義出一種新的集簇，即? ‐代數。
? ‐代數是代數(algebra)的一種，有時人們也稱它為? ‐域，但事實上它不能被稱為一個域，
關於域在抽象代數中的概念，有興趣者請自行查閱相關資料。代數的本質是一個集簇，代
數的性質十分重要，但是仍然不能滿足我們的要求。因為我們對無限條件下的運算的性質
仍然一無所知。比如，我們知道一組有限個集合， 1 2 , ,..., k a a a ，（其中k 為任意自然數），
的並運算在代數下封閉，但是一組無限個集合的並運算是否封閉呢？答案並不確定。可是，
無限運算在涉及到連續隨機變量時非常重要，所以我們必須保證無限運算的封閉性。一個
5
辦法是產生一種建立一個新的代數，即? ‐代數，該代數除了滿足一切代數都具有的交並
補封閉性以外，對無限個元素的並運算依舊封閉，即無限個元素的並集仍然屬於該集簇
（也即該? ‐代數）。
於是，一個更廣義的測度空間??,?,??定義完成，它由三個要素組成，即全集? （必須
為開集，這一點現在不需深究），? ‐代數（也被稱為Borel field 或? ‐field，注意與Borel
? ‐algebra 區別，Borel ? ‐algebra 表示由一個拓撲空間內的開集簇產生的最小? ‐algebra，
我們將在之後涉及） ? 以及測度? （即上麵說的集函數）。
而一個可測空間的要求稍微弱一些：不要求知道測量標準，隻需要知道一堆集合能不能具
有良好的可以被測量的性質。也就是說，我隻需要知道麵前的一堆石頭能不能被稱重，而
不管重量的單位是公斤還是磅。因此，可測空間僅僅為??,??。
之前我們說過，希望被測量的事物具有良好的性質，? ‐代數的作用就是把? 的所有子集
構成的集簇（集合之集合）進行縮減，變成一個性質量好的集簇。
需要注意的是，至此，我們的待測集簇已經具備了全部我們希望有的性質（各種封閉性）。
下麵，我們重點討論測度。
測度的本質是集函數，這個函數自然是任意的，但是之前說過，我們還是希望其具有一定
的性質。以下性質都是我們希望的：
1. 對於? ‐代數的任何子集都有定義，其中空集的測度為0
2.不相交集合的並的測度等於各集合測度之和（即我們之前說的，和的重量與重量之和）
該條件不僅對有限個集合有效（有限可加，finite additivity），對可數無限也有效
（countable additivity），不可數無限的性質我們不作要求。
至此，我們規定了測度空間的全部性質：
對於? ‐代數，我們要求（1）包含空集，（2）對補運算封閉，（3）對可數並封閉
注意，對可數並封閉可以推導出對有限並封閉，因為可以從第k 個元素之後，每個元素都
為空集，這樣的無限集其實就是有限集。而有限並和補都封閉，可以推導出交運算封閉。
最後，包含空集並且對補封閉，即可以推出包含全集。因此，以上三個性質滿足了我們對
? ‐代數的全部要求，並且更為簡練。
同樣，對於測度，我們要求（1）測度為正，並且空集的測度為0，（2）不相交可數無限
集合的並的測度=各集合測度之和。
同樣，可數無限成立蘊含著有限成立。
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最後，我們將測度空間的概念照搬到概率空間上。概率空間的作用是，為? ‐algebra 裏的
每一個元素（事件），通過測度，賦予一個實數（概率）。
對於這個空間，我們隻需要改造一下測度的定義，除了要求之前的兩點性質以外，我們還
要求任何測度值在0 到1 之間，並且全集的測度為1。然而，我們需要注意的是， ? ‐
algebra 中的元素個數可以是不可數的，比如股票價格，其定義在正實數集上，因此是不
可數的。
從此以後，我們用??,F,P?表示概率空間。
2. 隨機變量
在對概率空間進行了定義以後，我們仍然希望一個特別的性質，那就是我們希望能用實數
唯一地表示全集? 裏的所有集合，從而讓集合運算轉化成我們熟悉的實數下代數運算。
需要說明的是，要想讓全集內所有集合被實數標識，那就要假設全集內集合的基數不大於
實數的基數（連續統）。但是實際上，根據集合論的假設，在無限集的所有基數中，連續
統是除了自然數集基數以外最小的基數。因此，這種用實數標示不可數無限全集所有元素
的願望，未必能夠成功。不過，我們暫時不考慮這個問題。
如上所述，我們需要一個函數，滿足如下映射關係： ? ? ? ，即將全集映射到一維實空
間上。這個函數就是我們所說的隨機變量。因此，隨機變量無非是一種把非數字化集合元
素進行數字標記的方法而已，比如，把硬幣出現正麵標記為1，背麵標記為0。
除了要求隨機變量的定義域和值域，我們還要求這一映射具有一個性質：該隨機變量存在
累計密度函數cdf。這條性質等價於：對於X : ? ? ? ，我們有：對於一切
x??,??:X????x??F。
即，所有滿足該隨機變量小於一個給定實數的集合都是可測的，注意，既然
??: X ??? ? x?是一個集合，且這個集合可測，那麽集函數（測度）? 必然可以將這個集
合轉化為一個實數（即累計概率）。所以不難看出：
? ? ?? : ? ? ?? X F x ?? ? X ? ?x ，等式左邊即cdf。
因此，一個滿足上述cdf 性質的， ? ? ? 的函數，就是我們所謂的隨機變量。但是，另
一種等價於cdf 性質的表述方式更為基本，雖然更難以理解。這個更難的性質，就是所謂
的一個函數的可測性（measurable）。要解釋函數的可測性，需要一些其他的知識，我試
圖用直觀卻不甚嚴格的語言表述來說明這些性質。
在進行解釋之前，我們先看一下隨機變量的最一般定義：
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X 被稱為隨機變量，當且僅當在概率空間??,F,P? 上定義的函數X : ? ? ? 是對於
F,B(?) 可測的（即對於所有A?B(?)， X ?1 ?A??F），其中F 為概率空間的? ‐
algebra，而B(?)為由一維實空間內包含所有閉集的博雷爾集簇，我們將在之後對其進行
詳細的說明。
這個定義其實說的就是：首先，要給每個全集裏的元素賦予一個實數；其次，不能隨便分
配實數標記，我們還必須要求分配完實數後，這些實數有如下作用，即不僅能標識全集的
元素，並且還能標識全集的任何一個可測的子集（即屬於? ‐代數的任何元素）。簡單的
說，以擲一次硬幣為例，定義X : ? ? ? ，相當於對{正麵}和{反麵}這兩個全集的子集進
行了定義，比如正麵為0，反麵為1。但是，我們沒有定義類似“正麵或反麵”這種事件，
那麽，隨機變量的“0 或1”所代表的事件“正麵或反麵”是不是也有一個概率呢？或者
更數學的說，一旦定義了X :? ? ? 了以後，實數集的任何交集、並集或補集（即實數集
的? ‐algebra，? ‐algebra 中的元素），能不能反過來在事件集（即F ）中找到對應的事
件呢？
注意，上麵這段話在數學上的邏輯容易造成混淆：我們並沒有要求一種映射方法（即用實
數標記集合元素的方法），用它來標記全集的所有元素以及? ‐代數的所有元素。我們是
在要求一個能標記全集所有元素的方法，並且進行標記了以後，不僅每一個實數在全集裏
有對應的元素，每一個實空間的子集，在? ‐代數裏也有對應的元素。前一種標記方法，
是為每個? ‐代數的元素也標記實數，而後一種方法，而後一種方法明確規定用實空間的
? ‐代數的元素，而不是實空間本身的元素，來標記全集的? ‐代數的元素。
以上的這段話或許需要不斷的理解才能體會。可一旦體會了以後，或許還有一個問題會被
提起：既然要求用實數的? ‐代數來表示全集的? ‐代數，那麽為什麽不把定義寫成：
X :? ? ? 滿足對所有A? F ，都有X?A??B(?) 呢？
因為上麵的表述可能會導致一部分實數或實數集的運算找不到與之對應的可測事件（即與
之對應的? ‐代數的元素）。而這樣的問題又會導致定義在概率空間的值域（即X ??? ）
上的實數運算可能不封閉。關於不封閉的可能性，我們仍以上麵的擲硬幣為例，如果一部
分實數沒有被定義，那麽我們隻能知道P?X ? 0? 和P?X ?1? ，卻不能知道P?X ?1?，
因為小於1 的所有實數，除了0，一個都沒有被定義。我們要讓所有不可能取到的實數值
對應的事件的測度為0，但不能不對其進行定義。
因此，必須反過來要求每一個實數或者實數域（即所有A?B(?)），都有意義（即
X ?1 ?A??F）。
在對這個隨機變量的正式定義有所了解後，我們再來解決最後一個問題，即這個定義中的
一個到現在還沒有解釋的符號B(?)。
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要理解B(?)，首先要知道什麽是由一個集簇生成一個代數。我們知道，代數是一類集簇，
隻不過它對於交並補封閉；而? ‐代數又多了一條對可數並（可數並即可數無限並）封閉
的性質。那麽，一個普通的集簇是不是能通過擴充，變成一個封閉性好的集簇，甚至變成
一個? ‐代數呢？而所生成的這些? ‐代數當中，是否一定有一個最小的? ‐代數呢。答案是
肯定的，任意集簇A 存在其的最小? ‐代數，我們稱該最小? ‐algebra 為由A 生成的代數，
記為：? A 。
應當想到，如果對集簇A 施加一定的性質，那麽? A 的性質也應有所變化。Borel ? ‐
algebra（以後成為博雷爾集簇）正是這樣一種對A 進行更嚴格的限製的最小代數，其定義
需要涉及拓撲空間和度量空間的定義和有關性質，不過因為我們僅僅需要討論定義在實空
間內的博雷爾集簇，所以我將盡量省略關於拓撲空間和度量空間的說明，仍然以一種並非
完全嚴格的方法說明博雷爾集簇。
正如剛才我們一步一步的分析指出的，數學上的定義都是來源於某種需求的、我們不能無
緣無故就對一個已經完整的定義繼續增加性質，那麽，最小? ‐algebra 已經是一個很完整
的概念了，我們為何還需要繼續對它進行限製呢？
其原因在於，雖然任意閉集簇（閉集構成的集簇，因為我們隻討論一維實空間，所以現在
可以認為閉集就是實數軸上的閉區間）的交集仍然為閉集，任意有限閉集簇的並仍然為閉
集。但是可數無窮個閉集構成的集簇並不一定是閉集（我們再一次見到了，有限條件下的
性質未必可以直接推廣成無限下的性質）。這一點比較容易看出：將每個有理數作為一個
集合，那麽每個集合都是閉的（每個都是形如[2]或[0.9]這樣的閉集），但是所有這些集合
的並集，即有理數集，卻是開的（即找不到一個有理數大於或小於其他全部有理數）。既
然完全由閉集不可能構成代數（因為其不滿足可數無限並的封閉性）， 那麽我們如果想要
研究包含所有閉集的? ‐algebra，那這個代數裏，必然還包含有開集。
博雷爾集簇就是這樣一種最小? ‐algebra，它包含所有的閉集（因此也不可避免的包含一
些開集）。需要說明的是，博雷爾集簇也可以定義為包含所有開集的最小? ‐algebra，甚
至可以有其他的一些限製條件。但是在概率論的討論中，我們一般使用包含所有閉集的博
雷爾集簇進行分析。
至此，我們知道了，隨機變量是一個全集到實空間的可測函數。而可測性的定義，我們既
可以從存在cdf 來理解，也可以從為了滿足所有實數或實數域都有對應的概率事件來理解。
其實可測性還有第三個理解，這個理解是純數學的。即便我們討論的不是概率空間，可測
性的要求還是重要的。因為就函數的可測性，表示該函數在其可測的空間內性質良好。具
體來說，其實是出於對函數連續性等更特殊性質的要求：不滿足可測性的函數不可能連續。
最後需要說明的，是關於隨機變量的概率的定義。我們已經通過概率空間的測度，定義了
概率事件（即? ‐代數的元素）的概率。但是用來表示概率事件的隨機變量，是否也能有
與概率事件一一對應的概率呢。這個問題也可以表述為：
9
如果我們知道了隨機變量的一個取值範圍A，那麽如何得到隨機變量落在A 之間的概率呢？
我們需要把隨機變量還原為概率空間裏的集合，那麽，實數取值範圍A 對應的概率空間內
的事件無非是X ?1 ? A? ，即用逆映射把A 映成全集的一個子集。根據隨機變量的定義，我
們已經知道，映回的這個全集的子集屬於代數F。既然其屬於F，那麽集函數P 就可以賦
予它一個測度，即概率。
上麵的表述的數學形式無非是： ? ? ? 1 ? ??
X P A ?P X? A ，對於所有A?B(?)
通過上式，我們不難看出，定義X ?1 ?A??F
的重要性，如不定義，那麽其未必有測度，
因而P?X?1 ?A??
未必存在。
3. 隨機過程的定義及其收斂性
在這一部分中，我們定義了隨機過程，並且更重要的，通過研究收斂性，為今後關於隨機
過程的證明注入了嚴密性。
隨機過程無非是一個以t 為標記的隨機變量族，記為? ? t t T X ?
。其中T 可以是全體非負實
數集，也可以是離散的全體非負整數集。一般在金融的應用中，t 代表時間。
這個定義本身是十分簡單的，但是，我們的初衷是為了要概率運算能夠在實數範疇下進行。
一個很自然的類比就是：隨機變量與通常意義的變量相對應，而隨機過程與通常意義的函
數相對應。
因為隨機變量的值域定義在實空間上，因此以隨機變量的值為某一點的函數值的隨機過程，
自然也被定義在了實空間上。但是需要注意的是，作為一個實變函數，隨機過程的自變量
定義在集合T 上，因此，其自變量依舊是實數（或正整數，由於金融研究將股票價格視為
連續時間下的現象，因此我們重點考慮T 為正實數集的情況）。
至此，我們終於把我們要研究的隨機現象完全的定義成了???的實變函數。（其實這
個說法是不準確的，???的函數不可能是隨機過程，而是一個確定性的函數，不過目
前我們可以如此理解。）
處於嚴密性的考慮，我們必須證明如下命題，即研究上述的實變函數，等價於研究在時間
t 下一係列可測集（即隨機變量）的性質。但是由於這一數學工作極其細致，我們將默認
這個命題是成立的，並且以後將所有隨機過程在實變函數範疇內的研究，與真實的集合和
測度聯係起來。
然而，另一個嚴密性的考慮是我們無法回避的，這也是我在前言中所提及的，“課上相當
一部分證明是不嚴密的”的原因。一旦我們進入了隨機的世界，就無法對任何事情給出確
定的證明。
10
比如，課上我們試圖證明： ? ? 1 ? 1 ? sup k n k k W t W t ? ? ? ? ? ? ?
但是，這樣的證明是有意義的麽？當我們以不同的分割方法將[0,T]進行分割，再進行上述
運算時，我們很可能得到不同的結果。而出現什麽樣的? ? ? ? 1 1 sup k n k k f t f t? ? ? ? ? ，也就
自然而然是隨機的。那麽，如何判斷這個新的隨機變量等於無窮的？是要求它每次都等於
無窮，要求它在極個別情況下（這些情況的概率為0）可以不等於無窮，還是要求它不趨
近於無窮的可能性接近0，或者是要求它的期望值（或者更高階矩）趨近於無窮呢？上麵
的三種說明? ? ? ? 1 1 sup k n k k f t f t? ? ? ? ? 趨近於無窮的方法，各自似乎都有道理，但是三者
其實並不等價。
上麵討論的是如何定義一個隨機過程趨近於一個給定的數，或者另一個趨近於另一個隨機
變量。但有時候，我們還希望知道一個隨機變量的分布，是否與另一個相同，這時候，我
們還需要分布趨近分布的定義。
如何定義趨近，在隨機過程中是十分重要的。同時，我們還將發現，重新定義極限和積分
等實變函數下的分析性質時，我們都無法回避隨機性的問題，因此原本可以使用確定的等
號的地方，我們都必須以一種趨近方式來代替。
下麵，我們就將上述的幾種趨近方式一一數學化，而所謂趨近，在數學上的正式稱謂即是
收斂：
首先，是絕對收斂，也就是我們在實變函數中最常用到的收斂概念，這裏不再進行細致的
說明。其大概含義就是，隨機變量的每一種取值情況都收斂於同一個值。
其次，是almost sure （a.s.）convergence。用測度論的語言表述，就是一件所有不滿足給
定性質的元素構成的集合測度為0（在概率論中，是幾乎必然收斂，在測度論中，是幾乎
處處收斂。那麽，其對應的概率語言無非是：
對於一個隨機過程? ? n X ? ，我們有? : lim ? ? ? ?? 1 n n
P? X ? X ?
??
?? ? ?
這種收斂是性質最強的收斂，被稱為幾乎必然收斂，或者依概率1 收斂。記為：
. . n X ?X as或者. .1 n X ?X wp
了解了幾乎必然收斂的含義，我們就能理解為什麽“以概率1 發生的事情，不是一定發生
的事情”了。
第三，是convergence in probability，即依概率收斂。它的含義比依概率1 收斂稍弱，意為：
如果不能保證n X 不趨向於X 的測度為0，那就要求二者之間有差別的概率隨著n 的增大
而趨近於0。其定義為： lim ? ? 0 n n
P X X ?
??
? ? ? ，對於任意? ? 0 。
11
記為，
p
n X X ? 。
注意，依概率收斂是要求P 收斂，而不是要求n X 收斂。
第四，是Convergence in r‐th moment，即r 階平均收斂。定義為r 階中心矩收斂於0:
lim ? ? 0 r
n n
E X X
??
? ? ，特別的，當r=2 時，該收斂為均方收斂，convergence in mean
square。
最後，是Convergence in distribution，依分布收斂。定義很簡單，即：
lim ? ? ? ? n n
F t F t
??
? ，其中? ? n F t 為n X 的分布函數，F?t? 為X 的分布函數。
以上四種收斂方式的強弱關係如下：幾乎必然收斂? 依概率收斂? 依分布收斂。並且
高階平均收斂? 低階平均收斂? 1 階平均收斂? 依概率收斂。
如果細心的話，或許會發現上麵的結論與課堂上的內容似乎有些矛盾：如果高階平均收斂
能推出一階平均收斂，那麽為什麽布朗運動滿足bounded quadratic variation，卻又有
unbounded variation 的性質呢？
這是因為上麵的兩個性質，即前者收斂於無窮，後者收斂於T，都是在證明幾乎一定收斂。
雖然二者有類似一階和二階平均收斂的形式。
更詳細的：
前者在證明： ? ? ? ? ? ? 1 1 sup 0 k n k k P Wt W t ? ? ? ? ? ? ? ?
而後者在證明： ? ? ? ? ? 2 ?
1 1 1 k n k k P Wt Wt T ? ? ? ? ? ? ?
此後，我們必須注意，任何涉及“趨近”（即有?符號）或者“在極限下”（即有lim 符
號）的性質，都必須通過一種收斂方式加以證明，但是，不涉及此兩者的性質，如期望，
一般來說不需要強調使用收斂方式。
4. 隨機過程的抽象理論
在這部分中，我們試圖了解什麽是Filtration 以及adapted to filtration。
之前我們說過，把隨機過程當作???是錯誤的。隨過程本身，是一個事件和時間兩個
變量映射到一維實空間的函數。即，F: ??T?? 。記為W?t,? ?。
12
但是我們會發現，我們之前一直使用的的概率空間中因為缺少時間這一要素，所以沒有一
個事件可以表示一個完整的，時間從0 取到無窮的（或者次數從1 取到n 的）隨機過程。
仍以擲硬幣為例，兩次投擲的結果可以看作一個簡單的隨機過程，但是我們的概率空間是
定義在一次投擲結果上的，顯然它無法對兩次的結果加以表述。
那麽一個比較自然的想法就是，對原本的概率空間進行擴充。
最簡單的情況是，T 隻取1 和2，即隻有兩個前後發生的事件。那麽全集就變成了?2 ，即
兩個空間的直積（可以想象成x 軸和y 軸的的點分別由? 構成的一個平麵，也即2 維? 空
間）。這樣一來，全集不再是一個個可能發生的事件，而是一組類似 <事件1，事件2> 這
樣的有序事件對。
而? ? 代數就被替換成了?2 的全部子集構成的集合。這裏需要說明的是，之前，我們曾
經因為無法給全部子集構成的集合一一分配測度，而不得已使用了? ? 代數，但是，當全
集為有限或可數的時候，全部子集構成的集合是可以一一分配測度的。所以在討論隻有兩
個先後發生的事件的概率空間時，我們不需要使用? ? 代數的概念。注意，此時該集合裏
不再存在諸如{第一次硬幣出現正麵}這樣的事件，其中的元素除了空集和全集以外，必須
是有序事件對。那麽，{第一次硬幣出現正麵}這樣的事件該如何測量概率呢？這個事件無
非是{第一次硬幣出現正麵，第二次結果任意}這個集合的測度，可見，{第一次硬幣出現正
麵}在新的2 維? 空間裏，有一個類似直線的結構存在。換句話說，低維空間裏的隨機變
量，在高維空間內仍然是隨機變量。這就好比低維空間的向量也是高維空間的向量一樣。
上麵的話可以概括為，“先發生的事件”和“一係列後發生的事件的集合”之間可以建立
一一對應。我們將稍後擴充這句話的含義。
最後，測度仍然是為全部子集構成的集合分配一個實數（而不是兩個實數）。正如，硬幣
先出現正麵，再出現反麵的測度，必然是一個實數。
這樣一來，我們就可以用一個擴充的概率空間來定義出一個極其簡單的“隨機過程”，對
於有限個n，這樣的概率空間無非是? N, , ?
N N ? B P 。但是，當n 趨近於無窮時，甚至我們
麵對的不是可數無限的n，而是不可數的連續時間T 時，類似的定義便未必生效了。但是，
我們仍然不加證明的認為存在適當的? ? 代數和測度，使此二者與?T 能構成概率空間。
關於不可數無線維概率空間的? ? 代數的一個特別之處在於：既然“先發生的事件”（一
組集合，我們稱之為集簇A）和“一係列後發生的事件的集合”（一組人為選定的集合，
我們稱之為集簇B）之間可以建立一一對應（即同構，我們可以簡單的把兩個同構的空間
認為是數學上性質完全相同的空間），那麽前者生成的? ? 代數自然也要和後者生成的
? ? 代數一致，否則，{第一次正麵}和{第一次正麵，第二次為正麵或反麵}的概率就可能不
相等。然而，“一係列後發生的事件的集合”的選定方法還有很多，比如除了{第一次正
麵，第二次為正麵或反麵}以及{第一次反麵，第二次為正麵或反麵}，我們還可以選擇{第一
13
次正麵，第二次為正麵}等四個集合。也就是說，集簇B 包含於?2 可以產生的所有子集構
成的集合（表示為P??2 ? ），而A 和B 同構，則說明，A 也包含於P??2 ? 。
如果將這個性質加以推廣（需要更嚴密的證明），我們就得到了分層代數(filtration)的概念：
如果nF?F，且? ? 0 1 2 , n F? ? ? ?F? F ??? F ??? F ，則稱? ? n F 為filtration。
Filtration 的定義，讓我們能夠說明一個隨機過程是不是“可測的”，如果一個隨機過程在
任何一個給定時點t，都有1
t t X? ?F，那麽我們也就知道了，每個隨機變量對應的事件都
是可測的，這被稱為adapted。
5. 經典積分理論及其麵臨隨機性時的局限
積分論本身，就是定義積分，並且研究該定義下的積分是否存在的數學，經典的積分形式
包括黎曼積分和R‐S 積分，我們將會說明，隨機過程的積分在這兩種積分定義下都不存在。
這一節的目標，是要找到一種定義形如?, ? ?, ?
b
a
?W t? dB t ? 的積分，其中被積函數和微分算
子後的函數都為隨機過程，特別的， B?t,? ? 為布朗運動。我們的要求不算苛刻，我們可
以讓這被積函數是連續的（實際上隨機過程不需要連續），但是其必須都是處處不可導的。
下麵，我們就來尋找一種積分定義，能夠讓上麵的隨機積分有意義。
但是被積函數W 如果是隨機過程，將會涉及一個新的問題，即不同的隨機過程的路徑，
很可能產生不同的積分值，我們還必須保證這些積分值收斂於同一個值。這一點經典積分
理論是無法定義的。因此不試圖定義?, ? ?, ?
b
a
?W t? dB t ? ，而是去定義? ? ? , ?
b
a
?W t dB t ? ，其
中W?t? 不再是隨機過程，而是一個我們很熟悉的確定的實變函數，但是B 仍是布朗運動，
那麽我們能不能給其一個定義呢？為了區別隨機過程與一般函數，我們將上述需要定義的
積分記為： ? ? ? , ?
b
a
? f t dB t ?
首先，我們來回顧一下我們在實變函數微積分下一直使用的黎曼積分的嚴格定義，我相信，
很多人對於黎曼積分是有誤解的。我將用附注的形式說明這個定義的含義。
令f 為定義在閉區間[a,b]的有界實值函數，且令0 1 n a?? ?? ???? ?b為[a,b]的一個
劃分（這樣的劃分方式可以有很多種，記住這一點，對理解後麵的內容很有幫助）。
對每個劃分我們定義和式，並滿足? ? 1 max i i ? ? ? ? ? ? ，? 為任意大於0 的實數，之後我們
將這一性質稱為0 n ? ? ：
14
? ? ? ?
? ? ? ?
1
1
1 1
1 1
sup
inf
i i
i i
n
i i i
x
n
i x i i
S fx
s fx
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ??? ??? ?
? ??? ??? ?
?
?
（比較? ?? ? 1 1
n
i i i f x ? ? ? ? ? ? ，可見S 即把函數換成了每一小段的函數值的上確界（即最小
的上界），而s 是將其換成了下確界，因此必然有s?S）
接著定義黎曼上積分與下積分分別為：
? ?
? ?
inf
sup
f x dx S
f x dx s
?
?
?
?
?
?
（注意，S 與s 仍然是兩個變量，二者都隨著劃分的不同而不停變化，因為s?S，所以上
積分依然不小於下積分）
當上下積分相等時，則稱f 黎曼可積。
我們應當注意，當我們理解積分時，往往認為積分是將一個區間劃成無數個小段，但是實
際上，這種說法是不準確的。這種說法的數學表示是n ? ?，而我們要求的是
? ?1 max 0 i i ? ? ? ? ? 。這二者有一些微妙的區別，即後者並沒有要求閉區間[a,b]要被無限
細分。那麽為什麽我們不假設n ? ?呢？這是因為要求n 趨近於無窮，就要討論由有限到
可數無限時，S 和s 有沒有性質的變化。但是，采用黎曼的定義，我們就避免了這樣的討
論。注意， ? ?1 max 0 i i ? ? ? ? ? 是否一定意味著n ? ?，是需要證明的，而不能根據直觀
的感覺判斷。
實際上，黎曼積分回避了的可數無限求和的問題，但是有限段的x 不可能表示變化極其複
雜的函數，這個問題在勒貝格積分中才得到解決。（黎曼積分的直觀做法是選一段x 的取
值範圍，乘以函數值f 構成一個小豎條，並將很多類似的小豎條加總，用來估計函數下麵
積；而勒貝格積分另辟蹊徑，它是取一段函數值f 的範圍，然後看哪幾段x 能產生滿足條
件函數值，將二者相乘，變成一個個小橫條，並將之加總。這一點，涉及求一係列很可能
是無窮多段x 的總長度，這在測度論之前是無法做到的，但是有了測度論這一工具，這些
總長度無非是滿足給定函數值範圍的所有x 的測度。）但是，Ito 積分並沒有定義在測度
論的基礎上，而是改造了R‐S 積分，這就導致我們後麵將會看到的一個現象：Ito 積分依然
無法對一些極其詭異的隨機過程的積分進行定義。
15
我們之所以要在討論Ito 積分之前討論黎曼積分，主要是為了說明，積分不僅僅是簡單的
求和，因為求和的結果? ?1 ? 1?
n
i i i f x ? ? ? ? ? ? 依然是隨機的，但是，一旦積分存在，它就是
確定的。討論積分，不可避免的要討論可積性，即積分的存在性。
比如黎曼積分不能解決不可數無限的分段求和問題，但有的時候，我們的確會遇到類似問
題，比如函數在x 為有理數時取1，無理數時取0，這種函數的積分。不過好在，在金融
學的應用中，這樣的積分暫時看來還沒有意義。
那麽，什麽樣的函數是黎曼可積的呢？首先，我們在黎曼積分的定義中，已經要求其具有
有界性，簡單的說，就是函數的最大值小於正無窮，最小值大於負無窮。其次，我們根據
以往微積分的經驗，也知道f 連續則必然可積。
最後，也是最重要的一個條件： f 幾乎處處連續，是其黎曼可積的充分必要條件。所以
處處連續，正如我們之前所描述的，即所有不連續點組成的集合的測度為0，當我們提到
測度時，一定要知道使用的是何種定義下的測度。這裏，我們使用勒貝格測度，至於它是
如何定義的，我們不需要了解，隻需要知道它是定義實變函數各種性質的最常用測度即可。
最後，為了表述方便，我們將黎曼可積的條件重新寫為：
? ? ? ?? ? 0 1 1
lim
n
b
n
i i i i
a
f t dt f ? t t ? ? ? ?
? ? ? ? ，其中i
? 為? ? 1 , i i t t? 上的任意一點。
為什麽之前不用這個定義呢，這樣我們就不用討論上確界和下確界的問題了。但是，這個
定義掩蓋了? ?? ? 0 1 1
lim
n
n
i i i i f ? t t? ? ? ?
? ? 的隨機性：我們不能保證隨意的改變a 到b 的劃分，
並且隨意的取i
? ，仍然讓上式收斂於固定的一個點。而且事實上，保證上式收斂的充要條
件，就是上極限和下極限相等，所以事實上，我們看似逃過了上下確界，卻依舊要麵對上
下極限，而上下極限的嚴格定義仍然需要附加定義一種收斂的方式，所以基本上，用上述
定義取巧，隻會得不償失。
不過，當我們能夠理解了最初的那個黎曼積分的嚴格定義以後，再使用這個簡單的定義，
就很方便了。
黎曼積分的一個重要問題在於，在定義類似? ? ? ?
b
a
? f t dg t 這樣的積分時，會存在問題。我
們已經知道，黎曼可積的充要條件是，被積函數幾乎處處連續。那麽，如果上麵的積分等
價於黎曼積分的話，它一定可以寫成： ? ? ? ?
b
a
? f t g? t dt ，這就說明， f ?t?g??t? 幾乎處處連
續，並且g?t? 必須在[a,b]之間必須處處可導，幾乎處處連續（注意，不是絕對連續）並不
算是特別苛刻的條件，畢竟，如果一個函數性質差到連幾乎處處連續都做不到，它在金融
16
學中的應用就相當有限了。但是g?t? 處處可導是一個非常強的性質，事實上我們知道，
我們要研究的布朗運動是處處不可導的，因此，黎曼積分顯然不符合我們定義隨機積分的
要求。
那麽，Riemann–Stieltjes 積分，以後簡稱R‐S 積分，是用來定義? ? ? ?
b
a
? f t dg t 的，我們能不
能通過R‐S 積分來定義隨機積分的？Bauer 課上似乎說了隨機積分是R‐S 積分，其實這種
說法是錯誤的。R‐S 積分依舊不能定義隨機積分，我們將立即證明這一點。
R‐S 積分的簡單定義如下：
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 0 1 1
lim
n
b
n
i i i i
a
f t dg t f ? g t g t? ? ? ?
? ? ? ? ，基本設定與黎曼積分的簡單定義完全一
致。
那麽，R‐S 積分有什麽良好的性質呢？一個R‐S 可積的充分條件是， f ?t ? 連續，g?t? 單調
遞增。看似與黎曼積分類似的定義，卻有比黎曼積分寬泛的多的充分條件，這一點再一次
說明簡單定義不能完全體現積分存在性的信息，因為它沒有依托最基本的公理和定義。這
裏再次插一句題外話，所謂依托最基本的公理和定義，在現代數學中可以很安全的理解為：
我們所涉及的幾乎所有定義中的要素，都必須是集合論的語言（比如上確界，映射等等）
或者滿足實數係三大公理係統的語言（如求和，乘積等等），任何超出上出語言的定義要
素，都可以被認為是不根本的（比如簡單定義中，我們使用的極限，趨近這樣的描述）。
書歸正傳，R‐S 可積的這個充分條件似乎給了我們一個希望：我們不要求任何可導性，隻
要求f ?t ? 絕對連續，它雖然比幾乎處處連續更強，但也不是什麽特別苛刻的條件。而對
於g?t? ，我們甚至不要求連續性。但是問題在於，單調遞增這個要求在金融含義下很不
現實，畢竟我們不可能要求股票價格或者利率變化的百分比隻上升不下降。那麽，一個很
正常的想法就是，能不能用連續性替換掉單調遞增的性質，從而讓上式仍然R‐S 可積呢？
我們不加任何證明地聲稱，二者隻滿足連續性，不是R‐S 可積的充分條件。
所以事實上，R‐S 積分無法定義隨機積分。
6. Wiener 積分與Ito 積分
這一部分裏，我們不討論任何關於隨機積分的定義、性質和應用，僅僅討論可積性的問題，
具體來說，什麽樣的隨機過程可以被積分。
，
17
關於定義? ? ? , ?
b
a
? f t dB t ?
事實上，如果f ?t ? 是連續的並且有bounded variation，那麽上式是一個完全有效的R‐S 積
分。但是，實際上，我們可以將f ?t ? 的限製條件再拓寬一下：隻要其在勒貝格積分的概
念下是2 次可積的，即? ?2 f t 可積（不是對於V?t? 可積，而是對於t 積分）
這樣的積分定義就是Wiener 積分。
Wiener 積分有一個很好的性質： ? ? ? , ?
T
a
? f t dB t ? 可以視為一個以T 為其中一個自變量，以
無法被積分運算消除的? 為另一個自變量的函數，那麽顯然它也是一個隨機過程，並且，
這個隨機過程具有鞅性質（martingale），即一個鞅過程。
雖然，我們不能像Bauer 課上所講的一樣，將W?t,? ?視為一個deterministic function，而
是要將其視為一個事先並不可知的隨機過程。但是我們在重新定義一個類似
?, ? ?, ?
b
a
?W t? dB t ? 這樣更廣義的積分時，自然而然的希望這個積分能保留它的特殊情況，
即? ? ? , ?
b
a
? f t dB t ? 的一切性質，不然，積分的含義在不同的被積方程下，就會出現跳躍。
所以，我們希望?, ? ?, ?
T
a
?W t? dB t ? 也是一個鞅過程。
如果我們給上述積分一個類似R‐S 積分的定義，那麽其應該被寫成
? ?? ? ? ? ?? 0 1 1
lim
n
n
i i i i W? Bt Bt? ? ? ?
? ? ，但是? ? i W ? 應該選擇什麽值，或者說i
? 應該選擇哪一
點呢？
實際上，選擇左端點和選擇右端點的和式不相等，也就是說R‐S 積分不存在。但是，隻有
選擇左端點，即? ? i 1 W t? ， ?, ? ?, ?
T
a
?W t? dB t ? 才是鞅過程。這就是為什麽Ito 選擇左端點進
行積分的原因——為了保持廣義和狹義的積分定義之間的連貫性。
到了這裏，大家應該應明白，為什麽課上要證明看似沒有任何應用的，關於布朗運動的
unbounded variation 和bounded square variation 的性質了。 因為如果這兩個variation 都無
界，那麽布朗運動就無法作為被積函數。那麽我們的積分，就隻能在被積函數不是隨機過
程時才可能有意義。
18
但是，我們可能會討論以更一般的隨機過程作為被積函數的情況，它幾乎處處有bounded
square variation，但是仍然有一些點不具備這樣的性質，而這些點的集合測度為0。現實
中，這樣的情形可以與以極小概率出現的極端值進行對應。這些極端值測度為0，即幾乎
不會發生，但是一旦發生，卻足以影響期望值的大小。
既然這樣的值會改變期望，那麽可想而知，積分的鞅性質就無法保持。但是，Ito 積分仍
然有local martingale 的性質，我們對此不作論述。
至於更一般的，將B?t,? ? 替換為性質比布朗運動更弱的鞅過程，也可以定義出Ito 積分，
但是這就要求W?t,? ?是可預測的，即其必須是adapted to filtration 的。而Ito 積分本身可
以被看作一個新的隨機過程，它的一係列線性性質可以通過討論泛函空間Hilbert 空間進
行討論，大家如果有興趣請自行查閱資料，不過這些內容與課堂內容已經相距甚遠。
7. 結語
至此，這篇文章完全結束，最後一部分實在倉促，因為寫一個普及型的文章的確是勞神，
所以我以後也沒有根據新內容續寫的打算，相信能讀懂這篇文章的話，對測度論和隨機過
程的公理化體係，就會有一個比較好的了解，以此為基礎自行閱讀，應該會有新的收獲。
文章裏出現任何錯誤都是可能的，對於錯誤我不負任何責任。誰發現了錯誤，可以默默的
通過修正錯誤來增進知識，可以告訴其它人來避免我誤人子弟，可以聯合群眾鄙視我封殺
我來發泄不滿（反正我不準備再寫了……封殺我吧），但是不要拿任何疑問來和我討
論……因為我很長一段時間內想盡量避免和測度論，特別是積分論的接觸。
對於不能完全理解這篇文章的人，我覺得這沒什麽不好的，從戰略的角度來講，單憑興趣
就花時間在研究這些抽象理論是極其無效率的，因為它對考試或工作沒有絲毫幫助，隻對
想讀phd 的人才有用。但是興趣這個東西就像胎兒一樣，一旦成型，再扼殺掉實在是傷身
體。況且，高深的數學可以用來迅速有效的中斷你不想繼續的對話，試想，當你實在受不
了眼前的人的時候，你說一句“說到不可思議，我覺得Ito 積分在Hilbert 空間下具有線性
函數的性質，才是真的不可思議。”，將會起到什麽樣的作用。同樣，透徹的理解本文
（或者選擇性地背誦本文的相關段落）也有助於大家平時發泄對Bauer 的不滿，比如“他
怎麽連依概率收斂和絕對收斂都不加以區分，這樣實在是太不嚴密了！”（好吧，我在文
中幾次表現出了這種情緒……那實在是因為我被他弄鬱悶了。）
無論如何，我一直認為數學是鍛煉邏輯的工具，也是強化邏輯的工具，但是，數學好實在
沒什麽值得誇耀的。對於我個人來說，對曆史、政治、軍事這樣無章可循的學科有獨到的
見解，才是值得誇耀的。不過如果一個人了解數學，卻時時刻刻明白數學無法解決涉及到
人類行為的絕大部分問題，但又懂得用數學結果作為標尺，用自身的經驗和直覺對數學結
果進行符合現實的調整，那麽這樣的人也是值得尊敬的。
最後，感謝閱讀。
by aDdNOX
0. 前言
這篇文章的本意是在Financial Engineering 這門課的基礎上，從理論和直觀兩種角度一些課
上一筆帶過的概念，並且更重要的，告訴讀者為什麽數學家會創造這些抽象的概念。但是
必須說明，這篇文章僅僅適合那些對課堂上的內容（理論部分）疑惑不解的人，那些了解
了數學形式但是不知道為何要進行類似的數學定義的人（這裏將不涉及技術上的數學處理，
比如一些性質的證明），以及在數學和直觀上都能較好的理解課堂內容，但是隱約覺得老
師的陳述並不嚴密的人（對於這些人，你們的敏銳直指Bauer 的軟肋，他的陳述的確遠遠
不夠嚴密）。而對於頭疼考試的同學來說，我可以很負責任的告訴你們，理解不理解這篇
文章，對考試影響不大。
如果閱讀中發現我前言不答後語，那純粹是由於分時段寫作造成的，請務必不要懷疑我的
語言能力……
1.測度論與公理化的概率理論
測度（measure）是對一切測量標準（如長度，重量等）的數學抽象。抽象後，測度的直
觀含義可以理解為，為每一個集合分配一個實數編號，從而這些實數編號之間的大小是有
意義的（可以通過比較實數編號的大小來比較集合的性質（如長度），並且這些實數編號
之間基本代數運算（加法和乘法）結果也具有意義（如兩個東西合起來稱重量，等於兩個
東西分別稱重後相加）。以上的性質，是進行測量所需要的性質，現實中如果兩個長度無
法比較，或者兩個物體的重量之和不是它們的總重量（現實中這一點似乎有些可笑，甚至
可以被認為是文字遊戲，但是數學上，重量之和與合起來的重量是兩個完全不同的定義，
後麵我們將看到類似這樣的定義，因此，二者是否相等，在數學上並無必然結論，希望二
者相等，隻不過是為了讓測度這個數學概念接近現實），那測量結果就毫無意義。
題外話，數學並非科學，而是一個極端隨意的學科，其隨意性表現為：我們可以選擇去相
信任意的公理，而僅僅需要讓這一組公理推導出的任何結論不互相矛盾，並且不與公理矛
盾，這一點要求，被稱為公理係統的自洽性（consistency）。任何自洽的數學體係都是數
學上完全正確的。而實際上，人們由於受到對現實世界感知的影響，對一些公理有著自然
而然的甚至是無意識的偏好，比如歐式幾何的第五公設的一個等價形式是：過直線l 外一
點隻有一條直線與l 平行，千餘年來人們相信它的唯一原因就是，我們無法畫出兩條與l
平行的直線，卻一定可以畫出一條這樣的直線。但是這個公設獨立於歐式幾何的其他所有
公理，無法被證明或證偽，因此，數學上，可以將其換成其他的，同樣不與其他公理矛盾，
並且也不會推導出矛盾結論的公理，並產生出新的幾何學。事實上，兩種非歐幾何就是建
立在這樣的創造上，羅巴切夫斯基假設至少能做出兩條與l 平行的直線，因此創造了雙曲
麵幾何；而黎曼認為一條平行直線也做出不來，因此創造了球麵幾何。而歐式幾何是建立
在平麵和歐空間裏的幾何。那麽，那種幾何是正確的呢？一直以來人們都認為雖然三者都
2
是數學上正確，但是隻有歐式幾何是事實上正確（或說物理上正確）的，因為人們相信，
我們生活的空間是歐空間。但是高斯早就提出，我們生活的宇宙在相當大的外圍內看是一
個球空間，因此黎曼幾何（球麵幾何）也是物理上正確的空間。而相對論也是通過黎曼幾
何確立的，相對論的正確性也可以從一個側麵佐證黎曼空間的物理正確性，以及歐空間的
近似性。
回到我們對測度的討論，我們希望兩個測度之間可比、可加，也希望被測量的集合也有可
加等性質，這個要求是來源於實際，但是在數學上並沒有必要。正如我們可以規定，1 米
比3 米長，2 斤加5 斤等於6 斤一樣。這樣的規定在數學上毫無錯誤，隻不過因為與直覺
不符而容易產生混亂罷了。
在數學上，測度即是，創造出滿足我們要求的（大小可比較，基本運算有意義等）的集函
數，該函數將任一集合映射到一個實數上。
想要測度，就必須有可以被測度的對象，假如我們以所有可能發生的結果組成的集合為全
集，那麽每個結果就是一個元素，而不是一個集合。這樣一來，集函數的自變量就無從說
起了，一個自然的想法是，把全集的所有子集一一列出，構成一個集合，我們將集合的集
合稱為集簇，並且特別的，將這個由全集的全部子集（自然也包括全集本身和空集）構成
的集簇，表示為P??? 。
既然所有的P??? 的元素都要被賦予一個測度，那麽我們自然而然的希望這個集簇有如下
性質：其中所有元素對交、並、補三種集合運算封閉（實際上對交並封閉可推導出對補封
閉）。之所以有這樣的要求，是為了讓我們之後的一切運算以及結論不至於對一些集合失
去意義。比如，我們發現a+b=b+a，即實數域下的交換律，但是如果有一組a 和b，滿足
a+b=c，且c 不屬於我們討論的集合範圍，那麽交換律就失去意義了。更具體的說，如果
我們討論的集簇是（0，1），每個其中的實數是集簇的一個集合，接著，我們定義集合的
交運算即為實數代數下的加法運算，那麽交換律在這個集簇下不成立，因為0.8+0.9 不在
我們的集簇內。我們在這個時候，甚至不能說0.8+0.9=1.7。
當P??? 中的元素個數有限時，上麵的封閉性的要求必然被滿足，也就是說，我們可以將
??,P???,??當作一個測度空間，其中? 為定義在P??? 的測度。
但是，一個問題相應出現：
問題1.1：上述測度空間的定義能否拓展到? 有無限個元素的情況？
現代數學的最大成就之一，就是對無限這個概念進行了嚴格定義，從此以後，所謂的無窮
大、無限或者無窮小，都不再是隻可意會的概念，這一點，我們將在稍後涉及。
但是現在，有一個觀念必須大家必須牢記：有限條件下的數學性質未必能推廣到無限條件
下。既然如此，問題1.1 就不再是一個平凡的問題了。
3
但是在回答這個問題之前，我們必須明確區分兩種無限：可數無限和不可數無限。
數學上的無限和我們日常生活中的無限是有區別的。在數學上，有兩種無限，都是被嚴格
定義的，一種被稱為可數無限（countable)，即這一組無限的元素可以和自然數一一對應，
即可以被自然數編號，比如，偶數就是可數無限（因為偶數自然而然可以排成第一個偶數，
設定為0，第二個偶數，設定為2，第三個偶數，‐2，第四個，4）。我們稱一個無限序列
的“個數”為這個序列的基，雖然所謂“個數”根本不存在。
還有一些無限集合無法完全由自然數標示，比如全體實數，其證明由現代集合論的創始人
Cantor 以對角線法證明。一個題外話是，實數的數量，被稱為連續統(continuum)。根據基
的概念，我們可以得到一個結論：連續統的基要大於可數無限的基。
現在隻需要知道，凡是由1，2，3 到無窮的運算，都是可數無窮運算。可數無窮運算的典
型代表就是數學歸納法。而現實中，人們是如此混淆可數無窮和不可數無窮，以至於出現
了一些幾千年都未能解決的悖論。比如，芝諾的阿基裏斯悖論：奔跑中的阿基裏斯永遠也
不能超過在他前麵慢慢爬行的烏龜，因為他必須首先到達烏龜的出發點，而當他到達那一
點時，烏龜又向前爬了，所以仍在他前麵。重複這個論點，我們很容易看出烏龜總是在前
麵。這個悖論之所以是錯的，因為芝諾的證明是在無限個時間點上使用了數學歸納法，但
是問題在於，時間是連續統，因此是不可數無限。對不可數無限序列采用數學歸納法，其
結論自然是不可信的。
在了解了這兩種無限以後，我們終於可以回答問題1.1 了：
任何一個滿足大小可比較、基本運算有意義的測度，都不可能對一個基數大於等於連續統
的集簇中的每一個元素都有定義。
那麽，一個新的問題是：
問題1.2:我們是要放棄一個良好的測度，從而讓其能測量所有全集的所有子集呢，還是
放棄測量全集的所有子集，但是保證測度有良好性質呢？
現代的分析學家選擇了後者，因為一個性質不好的測度，根本就不能有任何穩定的應用，
這就好比如果一磅蘋果和另一磅蘋果共重兩磅，但是一磅橙子和另一磅橙子卻共重一磅一
樣。
問題1.3:我們應當選擇什麽樣的集簇來代替P??? ？
顯然，這個集簇必須對交並補封閉，但是同時，因為它的元素是無限的，我們必須要求一
些無限下的新性質，我們知道，補運算隻涉及全集和一個集合，但是交和並可以涉及多個
集合。那麽，我們要求封閉性，是不是也應該要求無限個集合的交運算和無限個集合的並
運算都封閉呢？在回答問題1.3 之前，我們不可避免的觸及了一個新的問題：
問題1.3.1：滿足有限交、並封閉，能不能推出滿足無限交、並封閉？
4
這個問題的答案是否定的。我們如果需要一個代替P??? 的新集簇對無限交和無限並封閉，
那必須把這一條加入其定義中。
問題1.3.2：所謂的無限交和無限並，是基於可數無限還是不可數無限？
這個問題是很自然的，但是也是很深刻的。其實，我們基於可數無限定義無限交和無限並，
這是因為前麵已經說過，人類邏輯從有限推理到無限，唯一值得依賴的工具就是數學歸納
法，任何超出數學歸納法的推理範圍的無限問題，都有可能導致悖論。
實際上，作為數學基礎的公理化集合論，其自洽性尚未被證明。因此，在這個尚可能存在
瑕疵的體係中，謹慎的使用公理是明智的。既然可數無限已經讓我們絞盡腦汁，因而必須
為其單獨設立公理，那麽我們還是不要討論不可數無限為好。
於是，公理化集合論中為所有數學家公認的關於極限的公理就隻有“承認數學歸納法”，
或其等價形式“承認自然數的良序性，即一堆自然數中必有最小值”（注意，數學家甚至
不要求其必有最大值，必有最大值這個性質沒有被當作公理，而是被其他公理推導出來的。
但是，為了避免被人抨擊說我不嚴密，我還是要說一句，的確有一個叫做選擇公理的集合
論公理，它提到的無限概念不區分可數或不可數。但是這個公理的使用是備受爭議的，使
用它，是因為一旦有這個公理，很多艱難的數學推理都會變得簡單，甚至有了它，數學歸
納法都不需要作為公理，因為選擇公理可以推出數學歸納法成立。但是選擇公理卻能推導
出明顯與直覺相悖的結論，比如分球悖論：根據選擇公理，一個實心球被拆成有限塊以後，
可以被重組成兩個和原來的實心球一樣大的實心球。
為了直覺而放棄對不可數無限的定義，還是為了良好的數學性質而無視與直覺相悖的結論，
這個直到現在還被數學家爭論著。
需要說明的是，近代數學家極力想找到一個自洽的數學係統，並且證明這個係統是自洽的，
但是哥德爾不完備性定理諷刺的指出：任何自洽的理論體係（不僅限於數學），都不可能
被證明是自洽的。
問題1.3.3：可數無限交和可數無限並這兩個條件，能不能被進一步簡化？
到現在為止，我們終於遇到了一個有肯定答案的問題。我們可以僅僅保留可數無限並封閉，
並且通過它定義出一種新的集簇，即? ‐代數。
? ‐代數是代數(algebra)的一種，有時人們也稱它為? ‐域，但事實上它不能被稱為一個域，
關於域在抽象代數中的概念，有興趣者請自行查閱相關資料。代數的本質是一個集簇，代
數的性質十分重要，但是仍然不能滿足我們的要求。因為我們對無限條件下的運算的性質
仍然一無所知。比如，我們知道一組有限個集合， 1 2 , ,..., k a a a ，（其中k 為任意自然數），
的並運算在代數下封閉，但是一組無限個集合的並運算是否封閉呢？答案並不確定。可是，
無限運算在涉及到連續隨機變量時非常重要，所以我們必須保證無限運算的封閉性。一個
5
辦法是產生一種建立一個新的代數，即? ‐代數，該代數除了滿足一切代數都具有的交並
補封閉性以外，對無限個元素的並運算依舊封閉，即無限個元素的並集仍然屬於該集簇
（也即該? ‐代數）。
於是，一個更廣義的測度空間??,?,??定義完成，它由三個要素組成，即全集? （必須
為開集，這一點現在不需深究），? ‐代數（也被稱為Borel field 或? ‐field，注意與Borel
? ‐algebra 區別，Borel ? ‐algebra 表示由一個拓撲空間內的開集簇產生的最小? ‐algebra，
我們將在之後涉及） ? 以及測度? （即上麵說的集函數）。
而一個可測空間的要求稍微弱一些：不要求知道測量標準，隻需要知道一堆集合能不能具
有良好的可以被測量的性質。也就是說，我隻需要知道麵前的一堆石頭能不能被稱重，而
不管重量的單位是公斤還是磅。因此，可測空間僅僅為??,??。
之前我們說過，希望被測量的事物具有良好的性質，? ‐代數的作用就是把? 的所有子集
構成的集簇（集合之集合）進行縮減，變成一個性質量好的集簇。
需要注意的是，至此，我們的待測集簇已經具備了全部我們希望有的性質（各種封閉性）。
下麵，我們重點討論測度。
測度的本質是集函數，這個函數自然是任意的，但是之前說過，我們還是希望其具有一定
的性質。以下性質都是我們希望的：
1. 對於? ‐代數的任何子集都有定義，其中空集的測度為0
2.不相交集合的並的測度等於各集合測度之和（即我們之前說的，和的重量與重量之和）
該條件不僅對有限個集合有效（有限可加，finite additivity），對可數無限也有效
（countable additivity），不可數無限的性質我們不作要求。
至此，我們規定了測度空間的全部性質：
對於? ‐代數，我們要求（1）包含空集，（2）對補運算封閉，（3）對可數並封閉
注意，對可數並封閉可以推導出對有限並封閉，因為可以從第k 個元素之後，每個元素都
為空集，這樣的無限集其實就是有限集。而有限並和補都封閉，可以推導出交運算封閉。
最後，包含空集並且對補封閉，即可以推出包含全集。因此，以上三個性質滿足了我們對
? ‐代數的全部要求，並且更為簡練。
同樣，對於測度，我們要求（1）測度為正，並且空集的測度為0，（2）不相交可數無限
集合的並的測度=各集合測度之和。
同樣，可數無限成立蘊含著有限成立。
6
最後，我們將測度空間的概念照搬到概率空間上。概率空間的作用是，為? ‐algebra 裏的
每一個元素（事件），通過測度，賦予一個實數（概率）。
對於這個空間，我們隻需要改造一下測度的定義，除了要求之前的兩點性質以外，我們還
要求任何測度值在0 到1 之間，並且全集的測度為1。然而，我們需要注意的是， ? ‐
algebra 中的元素個數可以是不可數的，比如股票價格，其定義在正實數集上，因此是不
可數的。
從此以後，我們用??,F,P?表示概率空間。
2. 隨機變量
在對概率空間進行了定義以後，我們仍然希望一個特別的性質，那就是我們希望能用實數
唯一地表示全集? 裏的所有集合，從而讓集合運算轉化成我們熟悉的實數下代數運算。
需要說明的是，要想讓全集內所有集合被實數標識，那就要假設全集內集合的基數不大於
實數的基數（連續統）。但是實際上，根據集合論的假設，在無限集的所有基數中，連續
統是除了自然數集基數以外最小的基數。因此，這種用實數標示不可數無限全集所有元素
的願望，未必能夠成功。不過，我們暫時不考慮這個問題。
如上所述，我們需要一個函數，滿足如下映射關係： ? ? ? ，即將全集映射到一維實空
間上。這個函數就是我們所說的隨機變量。因此，隨機變量無非是一種把非數字化集合元
素進行數字標記的方法而已，比如，把硬幣出現正麵標記為1，背麵標記為0。
除了要求隨機變量的定義域和值域，我們還要求這一映射具有一個性質：該隨機變量存在
累計密度函數cdf。這條性質等價於：對於X : ? ? ? ，我們有：對於一切
x??,??:X????x??F。
即，所有滿足該隨機變量小於一個給定實數的集合都是可測的，注意，既然
??: X ??? ? x?是一個集合，且這個集合可測，那麽集函數（測度）? 必然可以將這個集
合轉化為一個實數（即累計概率）。所以不難看出：
? ? ?? : ? ? ?? X F x ?? ? X ? ?x ，等式左邊即cdf。
因此，一個滿足上述cdf 性質的， ? ? ? 的函數，就是我們所謂的隨機變量。但是，另
一種等價於cdf 性質的表述方式更為基本，雖然更難以理解。這個更難的性質，就是所謂
的一個函數的可測性（measurable）。要解釋函數的可測性，需要一些其他的知識，我試
圖用直觀卻不甚嚴格的語言表述來說明這些性質。
在進行解釋之前，我們先看一下隨機變量的最一般定義：
7
X 被稱為隨機變量，當且僅當在概率空間??,F,P? 上定義的函數X : ? ? ? 是對於
F,B(?) 可測的（即對於所有A?B(?)， X ?1 ?A??F），其中F 為概率空間的? ‐
algebra，而B(?)為由一維實空間內包含所有閉集的博雷爾集簇，我們將在之後對其進行
詳細的說明。
這個定義其實說的就是：首先，要給每個全集裏的元素賦予一個實數；其次，不能隨便分
配實數標記，我們還必須要求分配完實數後，這些實數有如下作用，即不僅能標識全集的
元素，並且還能標識全集的任何一個可測的子集（即屬於? ‐代數的任何元素）。簡單的
說，以擲一次硬幣為例，定義X : ? ? ? ，相當於對{正麵}和{反麵}這兩個全集的子集進
行了定義，比如正麵為0，反麵為1。但是，我們沒有定義類似“正麵或反麵”這種事件，
那麽，隨機變量的“0 或1”所代表的事件“正麵或反麵”是不是也有一個概率呢？或者
更數學的說，一旦定義了X :? ? ? 了以後，實數集的任何交集、並集或補集（即實數集
的? ‐algebra，? ‐algebra 中的元素），能不能反過來在事件集（即F ）中找到對應的事
件呢？
注意，上麵這段話在數學上的邏輯容易造成混淆：我們並沒有要求一種映射方法（即用實
數標記集合元素的方法），用它來標記全集的所有元素以及? ‐代數的所有元素。我們是
在要求一個能標記全集所有元素的方法，並且進行標記了以後，不僅每一個實數在全集裏
有對應的元素，每一個實空間的子集，在? ‐代數裏也有對應的元素。前一種標記方法，
是為每個? ‐代數的元素也標記實數，而後一種方法，而後一種方法明確規定用實空間的
? ‐代數的元素，而不是實空間本身的元素，來標記全集的? ‐代數的元素。
以上的這段話或許需要不斷的理解才能體會。可一旦體會了以後，或許還有一個問題會被
提起：既然要求用實數的? ‐代數來表示全集的? ‐代數，那麽為什麽不把定義寫成：
X :? ? ? 滿足對所有A? F ，都有X?A??B(?) 呢？
因為上麵的表述可能會導致一部分實數或實數集的運算找不到與之對應的可測事件（即與
之對應的? ‐代數的元素）。而這樣的問題又會導致定義在概率空間的值域（即X ??? ）
上的實數運算可能不封閉。關於不封閉的可能性，我們仍以上麵的擲硬幣為例，如果一部
分實數沒有被定義，那麽我們隻能知道P?X ? 0? 和P?X ?1? ，卻不能知道P?X ?1?，
因為小於1 的所有實數，除了0，一個都沒有被定義。我們要讓所有不可能取到的實數值
對應的事件的測度為0，但不能不對其進行定義。
因此，必須反過來要求每一個實數或者實數域（即所有A?B(?)），都有意義（即
X ?1 ?A??F）。
在對這個隨機變量的正式定義有所了解後，我們再來解決最後一個問題，即這個定義中的
一個到現在還沒有解釋的符號B(?)。
8
要理解B(?)，首先要知道什麽是由一個集簇生成一個代數。我們知道，代數是一類集簇，
隻不過它對於交並補封閉；而? ‐代數又多了一條對可數並（可數並即可數無限並）封閉
的性質。那麽，一個普通的集簇是不是能通過擴充，變成一個封閉性好的集簇，甚至變成
一個? ‐代數呢？而所生成的這些? ‐代數當中，是否一定有一個最小的? ‐代數呢。答案是
肯定的，任意集簇A 存在其的最小? ‐代數，我們稱該最小? ‐algebra 為由A 生成的代數，
記為：? A 。
應當想到，如果對集簇A 施加一定的性質，那麽? A 的性質也應有所變化。Borel ? ‐
algebra（以後成為博雷爾集簇）正是這樣一種對A 進行更嚴格的限製的最小代數，其定義
需要涉及拓撲空間和度量空間的定義和有關性質，不過因為我們僅僅需要討論定義在實空
間內的博雷爾集簇，所以我將盡量省略關於拓撲空間和度量空間的說明，仍然以一種並非
完全嚴格的方法說明博雷爾集簇。
正如剛才我們一步一步的分析指出的，數學上的定義都是來源於某種需求的、我們不能無
緣無故就對一個已經完整的定義繼續增加性質，那麽，最小? ‐algebra 已經是一個很完整
的概念了，我們為何還需要繼續對它進行限製呢？
其原因在於，雖然任意閉集簇（閉集構成的集簇，因為我們隻討論一維實空間，所以現在
可以認為閉集就是實數軸上的閉區間）的交集仍然為閉集，任意有限閉集簇的並仍然為閉
集。但是可數無窮個閉集構成的集簇並不一定是閉集（我們再一次見到了，有限條件下的
性質未必可以直接推廣成無限下的性質）。這一點比較容易看出：將每個有理數作為一個
集合，那麽每個集合都是閉的（每個都是形如[2]或[0.9]這樣的閉集），但是所有這些集合
的並集，即有理數集，卻是開的（即找不到一個有理數大於或小於其他全部有理數）。既
然完全由閉集不可能構成代數（因為其不滿足可數無限並的封閉性）， 那麽我們如果想要
研究包含所有閉集的? ‐algebra，那這個代數裏，必然還包含有開集。
博雷爾集簇就是這樣一種最小? ‐algebra，它包含所有的閉集（因此也不可避免的包含一
些開集）。需要說明的是，博雷爾集簇也可以定義為包含所有開集的最小? ‐algebra，甚
至可以有其他的一些限製條件。但是在概率論的討論中，我們一般使用包含所有閉集的博
雷爾集簇進行分析。
至此，我們知道了，隨機變量是一個全集到實空間的可測函數。而可測性的定義，我們既
可以從存在cdf 來理解，也可以從為了滿足所有實數或實數域都有對應的概率事件來理解。
其實可測性還有第三個理解，這個理解是純數學的。即便我們討論的不是概率空間，可測
性的要求還是重要的。因為就函數的可測性，表示該函數在其可測的空間內性質良好。具
體來說，其實是出於對函數連續性等更特殊性質的要求：不滿足可測性的函數不可能連續。
最後需要說明的，是關於隨機變量的概率的定義。我們已經通過概率空間的測度，定義了
概率事件（即? ‐代數的元素）的概率。但是用來表示概率事件的隨機變量，是否也能有
與概率事件一一對應的概率呢。這個問題也可以表述為：
9
如果我們知道了隨機變量的一個取值範圍A，那麽如何得到隨機變量落在A 之間的概率呢？
我們需要把隨機變量還原為概率空間裏的集合，那麽，實數取值範圍A 對應的概率空間內
的事件無非是X ?1 ? A? ，即用逆映射把A 映成全集的一個子集。根據隨機變量的定義，我
們已經知道，映回的這個全集的子集屬於代數F。既然其屬於F，那麽集函數P 就可以賦
予它一個測度，即概率。
上麵的表述的數學形式無非是： ? ? ? 1 ? ??
X P A ?P X? A ，對於所有A?B(?)
通過上式，我們不難看出，定義X ?1 ?A??F
的重要性，如不定義，那麽其未必有測度，
因而P?X?1 ?A??
未必存在。
3. 隨機過程的定義及其收斂性
在這一部分中，我們定義了隨機過程，並且更重要的，通過研究收斂性，為今後關於隨機
過程的證明注入了嚴密性。
隨機過程無非是一個以t 為標記的隨機變量族，記為? ? t t T X ?
。其中T 可以是全體非負實
數集，也可以是離散的全體非負整數集。一般在金融的應用中，t 代表時間。
這個定義本身是十分簡單的，但是，我們的初衷是為了要概率運算能夠在實數範疇下進行。
一個很自然的類比就是：隨機變量與通常意義的變量相對應，而隨機過程與通常意義的函
數相對應。
因為隨機變量的值域定義在實空間上，因此以隨機變量的值為某一點的函數值的隨機過程，
自然也被定義在了實空間上。但是需要注意的是，作為一個實變函數，隨機過程的自變量
定義在集合T 上，因此，其自變量依舊是實數（或正整數，由於金融研究將股票價格視為
連續時間下的現象，因此我們重點考慮T 為正實數集的情況）。
至此，我們終於把我們要研究的隨機現象完全的定義成了???的實變函數。（其實這
個說法是不準確的，???的函數不可能是隨機過程，而是一個確定性的函數，不過目
前我們可以如此理解。）
處於嚴密性的考慮，我們必須證明如下命題，即研究上述的實變函數，等價於研究在時間
t 下一係列可測集（即隨機變量）的性質。但是由於這一數學工作極其細致，我們將默認
這個命題是成立的，並且以後將所有隨機過程在實變函數範疇內的研究，與真實的集合和
測度聯係起來。
然而，另一個嚴密性的考慮是我們無法回避的，這也是我在前言中所提及的，“課上相當
一部分證明是不嚴密的”的原因。一旦我們進入了隨機的世界，就無法對任何事情給出確
定的證明。
10
比如，課上我們試圖證明： ? ? 1 ? 1 ? sup k n k k W t W t ? ? ? ? ? ? ?
但是，這樣的證明是有意義的麽？當我們以不同的分割方法將[0,T]進行分割，再進行上述
運算時，我們很可能得到不同的結果。而出現什麽樣的? ? ? ? 1 1 sup k n k k f t f t? ? ? ? ? ，也就
自然而然是隨機的。那麽，如何判斷這個新的隨機變量等於無窮的？是要求它每次都等於
無窮，要求它在極個別情況下（這些情況的概率為0）可以不等於無窮，還是要求它不趨
近於無窮的可能性接近0，或者是要求它的期望值（或者更高階矩）趨近於無窮呢？上麵
的三種說明? ? ? ? 1 1 sup k n k k f t f t? ? ? ? ? 趨近於無窮的方法，各自似乎都有道理，但是三者
其實並不等價。
上麵討論的是如何定義一個隨機過程趨近於一個給定的數，或者另一個趨近於另一個隨機
變量。但有時候，我們還希望知道一個隨機變量的分布，是否與另一個相同，這時候，我
們還需要分布趨近分布的定義。
如何定義趨近，在隨機過程中是十分重要的。同時，我們還將發現，重新定義極限和積分
等實變函數下的分析性質時，我們都無法回避隨機性的問題，因此原本可以使用確定的等
號的地方，我們都必須以一種趨近方式來代替。
下麵，我們就將上述的幾種趨近方式一一數學化，而所謂趨近，在數學上的正式稱謂即是
收斂：
首先，是絕對收斂，也就是我們在實變函數中最常用到的收斂概念，這裏不再進行細致的
說明。其大概含義就是，隨機變量的每一種取值情況都收斂於同一個值。
其次，是almost sure （a.s.）convergence。用測度論的語言表述，就是一件所有不滿足給
定性質的元素構成的集合測度為0（在概率論中，是幾乎必然收斂，在測度論中，是幾乎
處處收斂。那麽，其對應的概率語言無非是：
對於一個隨機過程? ? n X ? ，我們有? : lim ? ? ? ?? 1 n n
P? X ? X ?
??
?? ? ?
這種收斂是性質最強的收斂，被稱為幾乎必然收斂，或者依概率1 收斂。記為：
. . n X ?X as或者. .1 n X ?X wp
了解了幾乎必然收斂的含義，我們就能理解為什麽“以概率1 發生的事情，不是一定發生
的事情”了。
第三，是convergence in probability，即依概率收斂。它的含義比依概率1 收斂稍弱，意為：
如果不能保證n X 不趨向於X 的測度為0，那就要求二者之間有差別的概率隨著n 的增大
而趨近於0。其定義為： lim ? ? 0 n n
P X X ?
??
? ? ? ，對於任意? ? 0 。
11
記為，
p
n X X ? 。
注意，依概率收斂是要求P 收斂，而不是要求n X 收斂。
第四，是Convergence in r‐th moment，即r 階平均收斂。定義為r 階中心矩收斂於0:
lim ? ? 0 r
n n
E X X
??
? ? ，特別的，當r=2 時，該收斂為均方收斂，convergence in mean
square。
最後，是Convergence in distribution，依分布收斂。定義很簡單，即：
lim ? ? ? ? n n
F t F t
??
? ，其中? ? n F t 為n X 的分布函數，F?t? 為X 的分布函數。
以上四種收斂方式的強弱關係如下：幾乎必然收斂? 依概率收斂? 依分布收斂。並且
高階平均收斂? 低階平均收斂? 1 階平均收斂? 依概率收斂。
如果細心的話，或許會發現上麵的結論與課堂上的內容似乎有些矛盾：如果高階平均收斂
能推出一階平均收斂，那麽為什麽布朗運動滿足bounded quadratic variation，卻又有
unbounded variation 的性質呢？
這是因為上麵的兩個性質，即前者收斂於無窮，後者收斂於T，都是在證明幾乎一定收斂。
雖然二者有類似一階和二階平均收斂的形式。
更詳細的：
前者在證明： ? ? ? ? ? ? 1 1 sup 0 k n k k P Wt W t ? ? ? ? ? ? ? ?
而後者在證明： ? ? ? ? ? 2 ?
1 1 1 k n k k P Wt Wt T ? ? ? ? ? ? ?
此後，我們必須注意，任何涉及“趨近”（即有?符號）或者“在極限下”（即有lim 符
號）的性質，都必須通過一種收斂方式加以證明，但是，不涉及此兩者的性質，如期望，
一般來說不需要強調使用收斂方式。
4. 隨機過程的抽象理論
在這部分中，我們試圖了解什麽是Filtration 以及adapted to filtration。
之前我們說過，把隨機過程當作???是錯誤的。隨過程本身，是一個事件和時間兩個
變量映射到一維實空間的函數。即，F: ??T?? 。記為W?t,? ?。
12
但是我們會發現，我們之前一直使用的的概率空間中因為缺少時間這一要素，所以沒有一
個事件可以表示一個完整的，時間從0 取到無窮的（或者次數從1 取到n 的）隨機過程。
仍以擲硬幣為例，兩次投擲的結果可以看作一個簡單的隨機過程，但是我們的概率空間是
定義在一次投擲結果上的，顯然它無法對兩次的結果加以表述。
那麽一個比較自然的想法就是，對原本的概率空間進行擴充。
最簡單的情況是，T 隻取1 和2，即隻有兩個前後發生的事件。那麽全集就變成了?2 ，即
兩個空間的直積（可以想象成x 軸和y 軸的的點分別由? 構成的一個平麵，也即2 維? 空
間）。這樣一來，全集不再是一個個可能發生的事件，而是一組類似 <事件1，事件2> 這
樣的有序事件對。
而? ? 代數就被替換成了?2 的全部子集構成的集合。這裏需要說明的是，之前，我們曾
經因為無法給全部子集構成的集合一一分配測度，而不得已使用了? ? 代數，但是，當全
集為有限或可數的時候，全部子集構成的集合是可以一一分配測度的。所以在討論隻有兩
個先後發生的事件的概率空間時，我們不需要使用? ? 代數的概念。注意，此時該集合裏
不再存在諸如{第一次硬幣出現正麵}這樣的事件，其中的元素除了空集和全集以外，必須
是有序事件對。那麽，{第一次硬幣出現正麵}這樣的事件該如何測量概率呢？這個事件無
非是{第一次硬幣出現正麵，第二次結果任意}這個集合的測度，可見，{第一次硬幣出現正
麵}在新的2 維? 空間裏，有一個類似直線的結構存在。換句話說，低維空間裏的隨機變
量，在高維空間內仍然是隨機變量。這就好比低維空間的向量也是高維空間的向量一樣。
上麵的話可以概括為，“先發生的事件”和“一係列後發生的事件的集合”之間可以建立
一一對應。我們將稍後擴充這句話的含義。
最後，測度仍然是為全部子集構成的集合分配一個實數（而不是兩個實數）。正如，硬幣
先出現正麵，再出現反麵的測度，必然是一個實數。
這樣一來，我們就可以用一個擴充的概率空間來定義出一個極其簡單的“隨機過程”，對
於有限個n，這樣的概率空間無非是? N, , ?
N N ? B P 。但是，當n 趨近於無窮時，甚至我們
麵對的不是可數無限的n，而是不可數的連續時間T 時，類似的定義便未必生效了。但是，
我們仍然不加證明的認為存在適當的? ? 代數和測度，使此二者與?T 能構成概率空間。
關於不可數無線維概率空間的? ? 代數的一個特別之處在於：既然“先發生的事件”（一
組集合，我們稱之為集簇A）和“一係列後發生的事件的集合”（一組人為選定的集合，
我們稱之為集簇B）之間可以建立一一對應（即同構，我們可以簡單的把兩個同構的空間
認為是數學上性質完全相同的空間），那麽前者生成的? ? 代數自然也要和後者生成的
? ? 代數一致，否則，{第一次正麵}和{第一次正麵，第二次為正麵或反麵}的概率就可能不
相等。然而，“一係列後發生的事件的集合”的選定方法還有很多，比如除了{第一次正
麵，第二次為正麵或反麵}以及{第一次反麵，第二次為正麵或反麵}，我們還可以選擇{第一
13
次正麵，第二次為正麵}等四個集合。也就是說，集簇B 包含於?2 可以產生的所有子集構
成的集合（表示為P??2 ? ），而A 和B 同構，則說明，A 也包含於P??2 ? 。
如果將這個性質加以推廣（需要更嚴密的證明），我們就得到了分層代數(filtration)的概念：
如果nF?F，且? ? 0 1 2 , n F? ? ? ?F? F ??? F ??? F ，則稱? ? n F 為filtration。
Filtration 的定義，讓我們能夠說明一個隨機過程是不是“可測的”，如果一個隨機過程在
任何一個給定時點t，都有1
t t X? ?F，那麽我們也就知道了，每個隨機變量對應的事件都
是可測的，這被稱為adapted。
5. 經典積分理論及其麵臨隨機性時的局限
積分論本身，就是定義積分，並且研究該定義下的積分是否存在的數學，經典的積分形式
包括黎曼積分和R‐S 積分，我們將會說明，隨機過程的積分在這兩種積分定義下都不存在。
這一節的目標，是要找到一種定義形如?, ? ?, ?
b
a
?W t? dB t ? 的積分，其中被積函數和微分算
子後的函數都為隨機過程，特別的， B?t,? ? 為布朗運動。我們的要求不算苛刻，我們可
以讓這被積函數是連續的（實際上隨機過程不需要連續），但是其必須都是處處不可導的。
下麵，我們就來尋找一種積分定義，能夠讓上麵的隨機積分有意義。
但是被積函數W 如果是隨機過程，將會涉及一個新的問題，即不同的隨機過程的路徑，
很可能產生不同的積分值，我們還必須保證這些積分值收斂於同一個值。這一點經典積分
理論是無法定義的。因此不試圖定義?, ? ?, ?
b
a
?W t? dB t ? ，而是去定義? ? ? , ?
b
a
?W t dB t ? ，其
中W?t? 不再是隨機過程，而是一個我們很熟悉的確定的實變函數，但是B 仍是布朗運動，
那麽我們能不能給其一個定義呢？為了區別隨機過程與一般函數，我們將上述需要定義的
積分記為： ? ? ? , ?
b
a
? f t dB t ?
首先，我們來回顧一下我們在實變函數微積分下一直使用的黎曼積分的嚴格定義，我相信，
很多人對於黎曼積分是有誤解的。我將用附注的形式說明這個定義的含義。
令f 為定義在閉區間[a,b]的有界實值函數，且令0 1 n a?? ?? ???? ?b為[a,b]的一個
劃分（這樣的劃分方式可以有很多種，記住這一點，對理解後麵的內容很有幫助）。
對每個劃分我們定義和式，並滿足? ? 1 max i i ? ? ? ? ? ? ，? 為任意大於0 的實數，之後我們
將這一性質稱為0 n ? ? ：
14
? ? ? ?
? ? ? ?
1
1
1 1
1 1
sup
inf
i i
i i
n
i i i
x
n
i x i i
S fx
s fx
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ??? ??? ?
? ??? ??? ?
?
?
（比較? ?? ? 1 1
n
i i i f x ? ? ? ? ? ? ，可見S 即把函數換成了每一小段的函數值的上確界（即最小
的上界），而s 是將其換成了下確界，因此必然有s?S）
接著定義黎曼上積分與下積分分別為：
? ?
? ?
inf
sup
f x dx S
f x dx s
?
?
?
?
?
?
（注意，S 與s 仍然是兩個變量，二者都隨著劃分的不同而不停變化，因為s?S，所以上
積分依然不小於下積分）
當上下積分相等時，則稱f 黎曼可積。
我們應當注意，當我們理解積分時，往往認為積分是將一個區間劃成無數個小段，但是實
際上，這種說法是不準確的。這種說法的數學表示是n ? ?，而我們要求的是
? ?1 max 0 i i ? ? ? ? ? 。這二者有一些微妙的區別，即後者並沒有要求閉區間[a,b]要被無限
細分。那麽為什麽我們不假設n ? ?呢？這是因為要求n 趨近於無窮，就要討論由有限到
可數無限時，S 和s 有沒有性質的變化。但是，采用黎曼的定義，我們就避免了這樣的討
論。注意， ? ?1 max 0 i i ? ? ? ? ? 是否一定意味著n ? ?，是需要證明的，而不能根據直觀
的感覺判斷。
實際上，黎曼積分回避了的可數無限求和的問題，但是有限段的x 不可能表示變化極其複
雜的函數，這個問題在勒貝格積分中才得到解決。（黎曼積分的直觀做法是選一段x 的取
值範圍，乘以函數值f 構成一個小豎條，並將很多類似的小豎條加總，用來估計函數下麵
積；而勒貝格積分另辟蹊徑，它是取一段函數值f 的範圍，然後看哪幾段x 能產生滿足條
件函數值，將二者相乘，變成一個個小橫條，並將之加總。這一點，涉及求一係列很可能
是無窮多段x 的總長度，這在測度論之前是無法做到的，但是有了測度論這一工具，這些
總長度無非是滿足給定函數值範圍的所有x 的測度。）但是，Ito 積分並沒有定義在測度
論的基礎上，而是改造了R‐S 積分，這就導致我們後麵將會看到的一個現象：Ito 積分依然
無法對一些極其詭異的隨機過程的積分進行定義。
15
我們之所以要在討論Ito 積分之前討論黎曼積分，主要是為了說明，積分不僅僅是簡單的
求和，因為求和的結果? ?1 ? 1?
n
i i i f x ? ? ? ? ? ? 依然是隨機的，但是，一旦積分存在，它就是
確定的。討論積分，不可避免的要討論可積性，即積分的存在性。
比如黎曼積分不能解決不可數無限的分段求和問題，但有的時候，我們的確會遇到類似問
題，比如函數在x 為有理數時取1，無理數時取0，這種函數的積分。不過好在，在金融
學的應用中，這樣的積分暫時看來還沒有意義。
那麽，什麽樣的函數是黎曼可積的呢？首先，我們在黎曼積分的定義中，已經要求其具有
有界性，簡單的說，就是函數的最大值小於正無窮，最小值大於負無窮。其次，我們根據
以往微積分的經驗，也知道f 連續則必然可積。
最後，也是最重要的一個條件： f 幾乎處處連續，是其黎曼可積的充分必要條件。所以
處處連續，正如我們之前所描述的，即所有不連續點組成的集合的測度為0，當我們提到
測度時，一定要知道使用的是何種定義下的測度。這裏，我們使用勒貝格測度，至於它是
如何定義的，我們不需要了解，隻需要知道它是定義實變函數各種性質的最常用測度即可。
最後，為了表述方便，我們將黎曼可積的條件重新寫為：
? ? ? ?? ? 0 1 1
lim
n
b
n
i i i i
a
f t dt f ? t t ? ? ? ?
? ? ? ? ，其中i
? 為? ? 1 , i i t t? 上的任意一點。
為什麽之前不用這個定義呢，這樣我們就不用討論上確界和下確界的問題了。但是，這個
定義掩蓋了? ?? ? 0 1 1
lim
n
n
i i i i f ? t t? ? ? ?
? ? 的隨機性：我們不能保證隨意的改變a 到b 的劃分，
並且隨意的取i
? ，仍然讓上式收斂於固定的一個點。而且事實上，保證上式收斂的充要條
件，就是上極限和下極限相等，所以事實上，我們看似逃過了上下確界，卻依舊要麵對上
下極限，而上下極限的嚴格定義仍然需要附加定義一種收斂的方式，所以基本上，用上述
定義取巧，隻會得不償失。
不過，當我們能夠理解了最初的那個黎曼積分的嚴格定義以後，再使用這個簡單的定義，
就很方便了。
黎曼積分的一個重要問題在於，在定義類似? ? ? ?
b
a
? f t dg t 這樣的積分時，會存在問題。我
們已經知道，黎曼可積的充要條件是，被積函數幾乎處處連續。那麽，如果上麵的積分等
價於黎曼積分的話，它一定可以寫成： ? ? ? ?
b
a
? f t g? t dt ，這就說明， f ?t?g??t? 幾乎處處連
續，並且g?t? 必須在[a,b]之間必須處處可導，幾乎處處連續（注意，不是絕對連續）並不
算是特別苛刻的條件，畢竟，如果一個函數性質差到連幾乎處處連續都做不到，它在金融
16
學中的應用就相當有限了。但是g?t? 處處可導是一個非常強的性質，事實上我們知道，
我們要研究的布朗運動是處處不可導的，因此，黎曼積分顯然不符合我們定義隨機積分的
要求。
那麽，Riemann–Stieltjes 積分，以後簡稱R‐S 積分，是用來定義? ? ? ?
b
a
? f t dg t 的，我們能不
能通過R‐S 積分來定義隨機積分的？Bauer 課上似乎說了隨機積分是R‐S 積分，其實這種
說法是錯誤的。R‐S 積分依舊不能定義隨機積分，我們將立即證明這一點。
R‐S 積分的簡單定義如下：
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 0 1 1
lim
n
b
n
i i i i
a
f t dg t f ? g t g t? ? ? ?
? ? ? ? ，基本設定與黎曼積分的簡單定義完全一
致。
那麽，R‐S 積分有什麽良好的性質呢？一個R‐S 可積的充分條件是， f ?t ? 連續，g?t? 單調
遞增。看似與黎曼積分類似的定義，卻有比黎曼積分寬泛的多的充分條件，這一點再一次
說明簡單定義不能完全體現積分存在性的信息，因為它沒有依托最基本的公理和定義。這
裏再次插一句題外話，所謂依托最基本的公理和定義，在現代數學中可以很安全的理解為：
我們所涉及的幾乎所有定義中的要素，都必須是集合論的語言（比如上確界，映射等等）
或者滿足實數係三大公理係統的語言（如求和，乘積等等），任何超出上出語言的定義要
素，都可以被認為是不根本的（比如簡單定義中，我們使用的極限，趨近這樣的描述）。
書歸正傳，R‐S 可積的這個充分條件似乎給了我們一個希望：我們不要求任何可導性，隻
要求f ?t ? 絕對連續，它雖然比幾乎處處連續更強，但也不是什麽特別苛刻的條件。而對
於g?t? ，我們甚至不要求連續性。但是問題在於，單調遞增這個要求在金融含義下很不
現實，畢竟我們不可能要求股票價格或者利率變化的百分比隻上升不下降。那麽，一個很
正常的想法就是，能不能用連續性替換掉單調遞增的性質，從而讓上式仍然R‐S 可積呢？
我們不加任何證明地聲稱，二者隻滿足連續性，不是R‐S 可積的充分條件。
所以事實上，R‐S 積分無法定義隨機積分。
6. Wiener 積分與Ito 積分
這一部分裏，我們不討論任何關於隨機積分的定義、性質和應用，僅僅討論可積性的問題，
具體來說，什麽樣的隨機過程可以被積分。
，
17
關於定義? ? ? , ?
b
a
? f t dB t ?
事實上，如果f ?t ? 是連續的並且有bounded variation，那麽上式是一個完全有效的R‐S 積
分。但是，實際上，我們可以將f ?t ? 的限製條件再拓寬一下：隻要其在勒貝格積分的概
念下是2 次可積的，即? ?2 f t 可積（不是對於V?t? 可積，而是對於t 積分）
這樣的積分定義就是Wiener 積分。
Wiener 積分有一個很好的性質： ? ? ? , ?
T
a
? f t dB t ? 可以視為一個以T 為其中一個自變量，以
無法被積分運算消除的? 為另一個自變量的函數，那麽顯然它也是一個隨機過程，並且，
這個隨機過程具有鞅性質（martingale），即一個鞅過程。
雖然，我們不能像Bauer 課上所講的一樣，將W?t,? ?視為一個deterministic function，而
是要將其視為一個事先並不可知的隨機過程。但是我們在重新定義一個類似
?, ? ?, ?
b
a
?W t? dB t ? 這樣更廣義的積分時，自然而然的希望這個積分能保留它的特殊情況，
即? ? ? , ?
b
a
? f t dB t ? 的一切性質，不然，積分的含義在不同的被積方程下，就會出現跳躍。
所以，我們希望?, ? ?, ?
T
a
?W t? dB t ? 也是一個鞅過程。
如果我們給上述積分一個類似R‐S 積分的定義，那麽其應該被寫成
? ?? ? ? ? ?? 0 1 1
lim
n
n
i i i i W? Bt Bt? ? ? ?
? ? ，但是? ? i W ? 應該選擇什麽值，或者說i
? 應該選擇哪一
點呢？
實際上，選擇左端點和選擇右端點的和式不相等，也就是說R‐S 積分不存在。但是，隻有
選擇左端點，即? ? i 1 W t? ， ?, ? ?, ?
T
a
?W t? dB t ? 才是鞅過程。這就是為什麽Ito 選擇左端點進
行積分的原因——為了保持廣義和狹義的積分定義之間的連貫性。
到了這裏，大家應該應明白，為什麽課上要證明看似沒有任何應用的，關於布朗運動的
unbounded variation 和bounded square variation 的性質了。 因為如果這兩個variation 都無
界，那麽布朗運動就無法作為被積函數。那麽我們的積分，就隻能在被積函數不是隨機過
程時才可能有意義。
18
但是，我們可能會討論以更一般的隨機過程作為被積函數的情況，它幾乎處處有bounded
square variation，但是仍然有一些點不具備這樣的性質，而這些點的集合測度為0。現實
中，這樣的情形可以與以極小概率出現的極端值進行對應。這些極端值測度為0，即幾乎
不會發生，但是一旦發生，卻足以影響期望值的大小。
既然這樣的值會改變期望，那麽可想而知，積分的鞅性質就無法保持。但是，Ito 積分仍
然有local martingale 的性質，我們對此不作論述。
至於更一般的，將B?t,? ? 替換為性質比布朗運動更弱的鞅過程，也可以定義出Ito 積分，
但是這就要求W?t,? ?是可預測的，即其必須是adapted to filtration 的。而Ito 積分本身可
以被看作一個新的隨機過程，它的一係列線性性質可以通過討論泛函空間Hilbert 空間進
行討論，大家如果有興趣請自行查閱資料，不過這些內容與課堂內容已經相距甚遠。
7. 結語
至此，這篇文章完全結束，最後一部分實在倉促，因為寫一個普及型的文章的確是勞神，
所以我以後也沒有根據新內容續寫的打算，相信能讀懂這篇文章的話，對測度論和隨機過
程的公理化體係，就會有一個比較好的了解，以此為基礎自行閱讀，應該會有新的收獲。
文章裏出現任何錯誤都是可能的，對於錯誤我不負任何責任。誰發現了錯誤，可以默默的
通過修正錯誤來增進知識，可以告訴其它人來避免我誤人子弟，可以聯合群眾鄙視我封殺
我來發泄不滿（反正我不準備再寫了……封殺我吧），但是不要拿任何疑問來和我討
論……因為我很長一段時間內想盡量避免和測度論，特別是積分論的接觸。
對於不能完全理解這篇文章的人，我覺得這沒什麽不好的，從戰略的角度來講，單憑興趣
就花時間在研究這些抽象理論是極其無效率的，因為它對考試或工作沒有絲毫幫助，隻對
想讀phd 的人才有用。但是興趣這個東西就像胎兒一樣，一旦成型，再扼殺掉實在是傷身
體。況且，高深的數學可以用來迅速有效的中斷你不想繼續的對話，試想，當你實在受不
了眼前的人的時候，你說一句“說到不可思議，我覺得Ito 積分在Hilbert 空間下具有線性
函數的性質，才是真的不可思議。”，將會起到什麽樣的作用。同樣，透徹的理解本文
（或者選擇性地背誦本文的相關段落）也有助於大家平時發泄對Bauer 的不滿，比如“他
怎麽連依概率收斂和絕對收斂都不加以區分，這樣實在是太不嚴密了！”（好吧，我在文
中幾次表現出了這種情緒……那實在是因為我被他弄鬱悶了。）
無論如何，我一直認為數學是鍛煉邏輯的工具，也是強化邏輯的工具，但是，數學好實在
沒什麽值得誇耀的。對於我個人來說，對曆史、政治、軍事這樣無章可循的學科有獨到的
見解，才是值得誇耀的。不過如果一個人了解數學，卻時時刻刻明白數學無法解決涉及到
人類行為的絕大部分問題，但又懂得用數學結果作為標尺，用自身的經驗和直覺對數學結
果進行符合現實的調整，那麽這樣的人也是值得尊敬的。
最後，感謝閱讀。
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