2005 (3)
2008 (126)
2010 (2)
2021 (2)
我們中國人好競爭、好強的本性，絕對不比別的民族弱。隨著奧運會的開始、進行，結束，這個什麽什麽第一的問題，也會變的有趣起來。
金牌拿得多的，會按金牌總數的名次來算；獎牌拿得多的，也會按獎牌總數來說。另找措辭的人，還會把什麽國家人口，投入的人力財力，人民體育的普及、發展程度等等因素一起拿來說事。哪怕是同一個國家，不同的人都可以按自己的喜好偏褒找出點數據來說幾句。當然，還有人會說對排名不在乎。
如果大家能把諸如政治、經濟、文化、感情一類的東西臨時放在一邊，單純按奧運會上得的獎牌數量來給參加奧運會的每個國家排個隊的話，這就變成了一個很意思的數學問題。
簡單的說，大家是想找出一種方式，能夠根據一個國家得到的金牌、銀牌和銅牌的數量，讓任何兩個國家之間都能比出“高低”來，而且在多個國家之間不會引出邏輯上的矛盾。
在直觀上，如果一個國家A的金牌數，銀牌數，銅牌數分別都不小於另一個國家B的金牌數，銀牌數，銅牌數，那國家A的排名應該不比國家B的排名低。而且如果在這種情況下國家A的總獎牌數還比國家B的總獎牌數多的話，那國家A的排名一定應該比國家B高。
例如按這次奧運會8月15日的比賽結果，中國的金、銀、銅牌數是26，9，6；美國的金、銀、銅牌數是14，13，19；德國的金、銀、銅牌數是8，2，4。很明顯，中國和美國都應該排在德國的前麵。但中美之間卻不好說：中國的金牌比美國多，但銀牌和銅牌卻比美國少。中國的獎牌總數也比美國少。
這個例子說明，單純的用同類獎牌相比，有些國家之間可以比，有些國家之間卻沒法比。而我們要的，就是一個排序的方法，它既能給所有的國家排出個高低，還要和上麵提到的同類獎牌相比的次序一致。
在數學裏，這個問題其實是一個典型的偏序集合全序化的問題。這裏的的集合當然是所有參加奧運的國家，偏序關係是提到的同類獎牌相比的關係。所以叫偏序 (Partial Order)， 是因為這種關係隻在集合的一部分的元素之間存在。現在的問題就是要找出一個新的關係， 它即包含現存的偏序，在整個集合上都存在，而且不會導出矛盾。這種序一般稱為全序，或者線性序。
在實際生活裏，數的大小就是一個方便的全序關係。所以大家通常算一個“總分”，然後用比“總分”的辦法來排序。 如果讓 J=金牌數，Y=銀牌數，T=銅牌數，Z=總分，那我們就是要定義一個 Z=f(J，Y，Z) 的公式來給每個國家打個總分。下麵就是一些可能的“總分”的公式和我推薦的一個公式。供大家開心。
1）按成者為王敗者寇的心理，隻認金牌，完全按奪金數排名，比較霸道。中國這次的目標，大概就是爭取金牌總數的第一。相對的總分公式就是
Z = J
2）按“重在參與”的精神，是獎牌都算，無所謂金、銀、銅、鐵一視同仁，那總分公式就可以是
Z = J + Y + T
3）如果接受不同獎牌“質量”區別，我們可以給金牌算三分，銀牌算兩分，銅牌算一分，那總分公式可以是
Z = 3*J + 2*Y + T;
也可以按當初大、中學校內運動會的規則，給金牌四分，銀牌兩分，銅牌一分。那總分公式可以是
Z = 4*J + 2*Y + T
看見有的網友認為一塊金牌當值三塊銀牌，一塊銀牌當值三塊銅牌。那上麵的公式就變成了
Z = 9*J + 3*Y + T
4）如果按照得獎者可能的經濟收入來設定獎牌的價值，一般會很難辦。因為這和具體的國家和項目有關，高的可以有上千萬美元，低的幾萬，很難概況。但是如果看看各國奧委會給得獎者的獎金（網上的），卻還是有跡可尋：
- 雅典奧運中國國家體委的獎勵是金牌20萬，銀牌15萬，銅牌8萬。可以把上麵的公式改寫為
Z = 20*J + 15*Y + 8*T - 美國奧運代表團今年給金牌2.5萬美元，金牌1.5萬，銅牌是1萬，於是可以用
Z = 2.5*J + 1.5*Y + T - 俄羅斯奧委會今年給每個金牌10萬歐元、銀牌6萬歐元、銅牌4萬歐元，用Z = 10*J + 6*Y +4* T ；
- 德國奧委會今年給金牌1.5萬歐元、銀牌1萬歐元、銅牌7500歐元，用Z = 1.5*J + Y +0.75* T ；
- 澳大利亞奧委會今年給金牌13.5萬元、銀牌9萬元、銅牌4.5萬元，用Z = 13.5*J + 9*Y +4.5* T ；
- 日本奧委會今年給金牌19萬元人民幣、銀牌12.5萬元人民幣、銅牌6.3萬元人民幣，用Z = 19*J + 12.5*Y +6.3* T ；
- 日本田協今年給金牌1000萬日元，銀牌600萬日元，銅牌400萬日元，用Z = 10*J + 6*Y +4* T 。
按8月15的獎牌結果，中國的總分都高於美國，除了按獎牌總數：
按金牌總數： 中國 = 26 〉美國 = 14；
按獎牌總數： 美國 = 46 〉中國 = 41 ；
按金牌算三分，銀牌算兩分，銅牌算一分：中國 = 102分〉美國 = 87分；
按金牌算四分，銀牌算兩分，銅牌算一分：中國 = 128分〉美國 = 101分；
按金牌算九分，銀牌算三分，銅牌算一分：中國 = 267分〉美國 = 184分；
按各國奧委頒獎標準，中國的總分都是高於美國的總分。
現在，綜合上麵各國奧委會頒發獎金的情況，用點簡單的統計學，可以得到一個下麵的公式，它綜合反映了各類獎牌在各國奧委會眼裏的“價值”：
Z=16*J + 10.5*Y + 6* T
仔細看看，你會注意到這個公式還是比較接近金三銀二銅一的比例，和直觀的感覺比較合乎。再高深的理論，正確與否的一個檢驗標誌就是是否清晰直觀、簡潔明了。所以，我覺得這個公式還是比較可用的。按這個公式，8月15日截止，中國的總分是546.5，美國的總分是474.5.
從前麵提到到的偏序全序化的角度來看，上麵的線性公式所有的係數都是正數，所以是個很簡單的增函數，會保持前麵提到的同類獎牌相比的偏序關係。
如果有閑，大家不妨試試按自己對各種獎牌的評判來算算這屆奧運最終的排名。
奧運後加注：按上麵的公式和奧運的最後結果，中國的總分是1204.5分，美國的總分是1191分。中國取得堂堂正正的第一！(見第一)
這裏重要的是三種牌在同一個公式裏的相對關係。所以和兌換(三個係數乘以同一個數)關係不大：)