閑談對偶（四）

（昔日斑斕）

在看其它極小極大對偶定理以前，先放鬆一下，看些比較直觀的老古董幾何對偶關係。上麵這幅畫，算是配合一下這裏的思古幽情。曆史長河上上下下，昔日斑斕，任由今人各取所需。

之所以說是老古董，是以為下麵提到的東西確實已是昨日黃花，裏麵沒有多少可研究、有意義的東西了。有人把它們劃分成“娛樂數學”，也不無道理。當然，從它們演生出來的其它分枝還是有繼續熱鬧的，比如群論、編碼等。

在幾何裏，多麵體是指由一些直線和平麵圍起來的幾何形體。一個多麵體是正多麵體如果它的每個麵都是一個等邊形，就象下麵的例子。

拿一個正多麵體，在它的每個平麵的中心畫一個點。如果兩個平麵相鄰，有公共的邊，就在這兩個麵的點之間連一條線。這些新的點和線會構造出一個新的多麵體（仔細想想，這並不是很顯然的事）。這個新多麵體就叫原來的多麵體的對偶多麵體。

這裏看一個具體的例子。一個等邊四方體，也是一個正六麵體。按上麵描述的方法，你可以發現正六麵體的對偶多麵體是一個正八麵體。就象下麵的圖一樣，左邊是原來的四方體，右邊是放大了的它的正八麵對偶多麵體。

現在，我們畫畫這個八麵體的對偶，也就是做我們在六麵體上做過的事，在每個麵上畫個點，然後每兩個相鄰麵上的點之間畫條線。試一試你就會看到，我們又得到一個正六麵體。

這當然不是偶然。如果不在乎長度和麵積，你在正六麵體上看到的就是“正凸多麵體”的“對偶的對偶是自身”的對偶關係。

和前麵提到的極小極大對偶定理相比，這種正多麵體之間的對偶關係直接簡單的多，人見人懂，動手試試就可以驗證，即使要證明也不會太難，國內的中學生應該都能做得到。所以，這種對偶關係在一個多麵體上隻能說有趣。

真正有些意思的，是把它的更廣泛的命題假設。例如有多少正多麵體，都什麽樣，它們的對偶有是什麽，對偶的多麵體之間有些什麽性質，還有別的類似的對偶關係沒有等等。

所以說，數學和哲學常常就那麽一線之差。在任何事情上，絕對是要刨根問底的。存在性肯定是第一要挖掘的，有沒有一定要搞明白；起源和構成肯定不會放過，一定要看看怎麽能構造出來；真偽的判別決不會含糊，要有辦法鑒定的清清楚楚。

數學對的美學的崇拜，也決斷不差於美術、音樂。凡事追求完美，簡練。係統要完整，理論要豐富，形式要漂亮，證明要有節奏、方法要有創新、影響要深遠、應用要廣泛。。。我想，還是一句話，人做事，沒有不求美的。差別，隻是形式和認識的不同。

後麵，我們走幾條不同的路，從不同角度的看看多麵體對偶的臉麵，以避免盲人摸象的悲劇再演。當然這麻袋裏買的瓜，瓤子裏說的還是數學這東西也不隻是拿來折騰人的，也可以玩味一番。

[cw]

回複Outlier的評論:

是這個dual。英文的Dual是從拉丁文來的，和中文接近可能是巧合把:)

[Outlier]

你說的對偶似乎是英文中的“dual”。Dual graph, max-flow min-cut, point-line duality, etc. 有趣的是中文英文這兩個詞發音很相似。我不知道是巧合，還是一個利用了另一個？

[旁白]

--數學和哲學常常就那麽一線之差!

雋永好文! 值得細細品嚐!

新年快樂!