閑筆塗鴉
見貓畫虎，聽風塗雲，品茶夢酒，忙中偷些小樂趣。
（對偶重疊）
對偶這個詞並不僅為數學所有。對偶性的概念，古今中外，在哲學、語言、美術、音樂、宗教、建築、物理、數學等不同領域炒了幾千年。可能因為語言的原因，我們中國人對對偶更是情有獨衷。不過，不少國人把對偶等價為對應、對比、對立、對仗。談文論詞的人，有的就直接說對偶就是對仗。還有人更把對偶簡化為成雙成對的同意詞。
劉勰的《文心雕龍》有“造物賦形，支體必雙；神理為用，事不孤立。大心生文辭，運裁百慮，高下相須，自然成對”之說。雖然劉勰在評說文之道，但第一句卻更是概談自然造化，天理人倫。倒是比現在很多“學者”更深刻。
數學以外的對偶多包含美學方麵的含義和手法。中國詩詞文法講音韻形意、變化對比；哲學講真真假假、生生滅滅、因果起源、天律人道；國畫書法講黑白濃淡、枯潤幹濕、抑揚頓挫；色彩素描講冷暖明暗、虛實強弱。這些例子，大部分也是關於比較直觀的兩極對應或相關對比，同時在兩極之間留下很大的空間，容納更細膩的變化對比層次。
數學的對偶性的也講“對”。一個對偶定理通常包涵兩個對偶量，例如“極小極大值”和“極大極小值”、“線匹配”和點“覆蓋”，“獨立集”和“完全集”，“點”和“線”，一個凸多麵體和它的對偶多麵體等等。但數學的對偶定理中涉及到對偶量或對偶的實體，通常並不顯而易見，更多是隱藏於直觀表麵之下。
這有些類似色彩上的冷暖關係。一幅畫色彩上的冷暖關係雖然肉眼可見，卻並不膚淺。大多數人對色彩的冷暖更是相見不相識。一幅畫的明暗對比構圖分布固然重要，但冷暖才是色彩之所以漂亮、有空間、有顏色的真正原因。色彩的冷暖是認識上的一大飛躍。眼界高了，可以有很多神來之筆，在混沌中創造出意想不到的絢麗。
同樣，研究一個數學問題，在很多時候，首先要找出來是最能夠揭示問題的本質的性質或量。如果你找到了與問題本質有關的屬性或數量，也許離問題的解決就不遠了。所以了解欣賞一個數學的對偶定理，定理裏麵的對偶量就是首先值得揣摩的地方。同時，也是學習了解數學的思維方式和探索解決問題方法的好起點。
頂上的圖形，取自於我用Photoshop手畫的一個圖案的細節，用了Difference過濾，也相當於無數的對偶變換重疊。表麵上很複雜。但一旦了解了Photoshop這個過濾所用的算法，就可以做係列的分解。
上麵提到的數學對偶性中的對偶量的例子，都是有關問題中與問題的更本性質有關。後麵還會仔細介紹。下麵，會用數學的第一個對偶定理的對偶量做我們的第一個例子。
