趣味數學問題------詳細解答

趣味數學問題------詳細解答（解答由問題提出人Franklinyanger提供）。

 

                                    一(采購經理)

     某酒店集團計劃購買大小兩種型號空調機各若幹台。大型的每台價格823元，

小型的每台價格349元。集團總裁交給采購經理一張100000元的支票，要求不多不少

地恰恰好用盡這100000元購買。問采購經理能購買大小型號空調機各多少台？

                                  

                                      二(水果商分萍果)

      

      水果批發部有一大堆萍果，數目不詳。若16個人平均分配，剛好分盡 ，沒有

剩餘。若15個人或者14個人平分，也剛好分盡，沒有剩餘。若13個人平分，則剛好

剩下3個。若11個人或者9個人平分，也剛好各剩下3個。問這堆萍果最少有多少個？

 

 

                                       三(海盜分黃金)

         一海盜首領，手下有383名海盜。某日，他們劫得一大箱黃金。

這些黃金統統

是：一寸見方(即1寸X1寸的正方形)的黃金薄片，厚薄，重量和尺寸都完全一樣。如

果

將這些黃金薄片，擺在大平板上，一個接一個地拚在一起，恰恰好構成一個大正方

形。

首領為了表示公平，首先讓他383位手下平分這些黃金片，手下各人分得相同數目的

黃金片後，剛好餘下219片歸首領所有。問總共有多少塊黃金片？

 

                                         四(裝修工分石頭）
 

      某裝修工程需要大量(1寸X1寸X1寸)的正立方體石頭。在材料倉庫裏，放著一

個由這些小正立方堆砌成的一個相當大的正立方體。有109名工人參加裝修工作。他

們全部參加均分這個大正立方體中的石頭。各人分得相同數量的石頭後，剛好剩下

71塊石頭。問在這大正立方體中，有多少塊(1寸X1寸X1寸)

小正立方體石頭？

                                         五
        九十的階乘（90！）被十的二十三次方去除，餘數是多少?
           
              （  各題詳細解答 ）
   這是數論中一個大的而且重要的論題（topic or subject).名為不定方程（Diophantine Equations).Our question is a  linear Diophantine Equation,relatively easy.The most famous and most advanced Diophantine Equation is Fermat Last Theorem(FLT):
           x^n+y^n=z^n when n>=3,there are no positive integer solutions.（x^n 是表示x的n次方（冪）
FLT (3-hundred -years-old problem) was be solved finally by Mathematician Andrew Wiles of Princeton University in 1995.
現在回到我們的第一題。assume x is 大空調機的數目，y is 小空調機的數目。問題顯然歸結為解Diophantine Equation
                              823x+349y=100000     (x, y are positive integers)    （1）
解 這種Diophantine equations的主要思路是：把方程（1）看成是o-xy coordinate system 的一條直線。然後想辦法求出它的一個特解（particular solution)，再將方程（1）轉化為參數方程（

parametric equation),choose proper integer parameter
即可求出問題的解答。

具體解答過程如下：
because 823 and 349 are relatively primes (mean their 最大公約數等於一）(823,349)=1.therefore there exist two integers a and b,let
                            823a+349b=1
how to find a and b?if the coefficients are smaller,you can guess.but now 823 and 349 are bigger,you must use Euclidean algorithm (歐幾裏德除法）：
                                                     823=2X349+125
                              

              349=2X125+99
                                            125=1X99+26
                                              99=3X26+21
                                              26=1X21+5
                                              21=4X5+1
                                     

也就是說
                                            -67X823+158X349=1        (2)
現在我要找出Diophantine Equation 823x+349y=100000 的 particular  solution,方程（2）兩邊X100000
                                             -67X100000X823+158X100000X349=100000
                                            （-6700000）X823+（15800000）X349=100000
即x=-6700000,y=15800000,are a particular solution of equation (1) 如果說買負
6700000台空調機是無實際意義的。因此，必須找方程（1）的正整數解。方法是把方程（1）化成參數方程。因（-6700000，15800000）是直線823x+349y=100000 上一點，利用直
線的slope formular

                                        slope=(y-b)/(x-a)    , (a,b) is a point in the line.

we get                              (y-15800000)/(x-(-6700000))=-823t/349t
我們得到方程（1）的參數方程

                                                   y=-823t+15800000
                                                  

                                                    x=349t-6700000

                                                   let -823t+15800000=0,we get t=19198.05589...

然後select 正整數t,t=19198,we get     y=46

                              

                      x=102
最後答案是：買得大空調機102台，小空調機4 6台。

趣味數學問題第二題解答

  二(水果商分萍果)

      

      水果批發部有一大堆萍果，數目不詳。若16個人平均分配，剛好分盡 ，沒有

剩餘。若15個人或者14個人平分，也剛好分盡，沒有剩餘。若13個人平分，則剛好

剩下3個。若11個人或者9個人平分，也剛好各剩下3個。問這堆萍果最少有多少個？

 

解答：這是初等數論的典型問題。解同餘方程組即可，要用到中國乘餘定理（Chinese remainder theorem)
根據題意，假切這堆萍果數是x,then

                              X三O       (mod 16)

                              X三O       (mod 15)
                              X三O       (mod 14)
                              X三3       (mod 13) 
                              X三3       (mod 11)
                              X三3       (mod 9)
解得結果是x=220080,即這堆萍果最少有220080個。