問題提出人Franklinyanger提供）
趣味數學問題（二）
（1）（黃金分割）
有一塊正四棱錐形狀的純黃金：V-ABCD，四側棱VA=VB=VC=VD=4cm,底邊AB=BC=CD=DA=4cm.令VA 的中點為R，BC 的中點為S，CD 的中點為T。過R，S，T 三點的平麵刀，把V-ABCD 切成兩塊，切口為五邊形RPSTQ，其中P 和Q 分別是平麵刀與側棱VB 和VD 的交點。
（a)求五邊形RPSTQ 的麵積；
(b)如果整塊黃金價值一萬美元，問切割成的兩塊黃金各值多少美元？
Solution：
(a)把正四棱椎V-ABCD放在3-D直角座標係 O-xyz 中：A在原點即A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）。容
易算出頂點V的座標V（2，2，2*sqrt(2))(by 勾股定理），及R(1,1,sqrt(2)),S(4,2,0),T(2,4,0).用“向量X積”容易算出過R，S，T的平麵方程：x+y+2*sqrt(2)z=6.算出直線VB 和直線VD的方程，結合平麵RST方程，可算出P，Q的座標：P（7/2，1/2，sqrt(2)/2),Q(1/2,7/2,sqrt(2)/2)).再用“向量X積”容易算出三角形RPQ麵積為3*sqrt(5)/2.易知ST的中點（設為M）M（3，3，0）由兩點距離公式算出RM，再算出梯形PSTQ 麵積=5*sqrt(5)/2.
最後，五邊形RPSTQ麵積=三角形RPQ麵積+梯形PSTQ麵積=4*sqrt(5)=sqrt(80).
(b)兩部分中的上部（即包含定點V的部分）是由一個五棱椎和一個三棱椎組成。這部分的體積是16*sqrt(2)/3.
而V-ABCD的體積是32*sqrt(2)/3,所以另一部分的體積也是16*sqrt(2)/3.所兩塊黃金的價值都是5000美元。
