數學與猜想

　　　·曾師傅·

所謂數學猜想就是那些看起來像真的、卻又無法證明或反證的數學命題。有名的數學猜想都是由有名的數學家首先提出來的，所以它們的壽命都很長。一個數學猜想如果被證明是真的，它就變成了一個數學定理。反之，一個數學猜想如果被反證了便變成了數學假命題。曆史上有很多數學猜想，其中最有名的有如下四大猜想：費馬猜想，孿生素數猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想。它們都出現在 “希爾伯特的23個問題”之中。其中，費馬猜想是作為一個在證明猜想過程中不斷產生新理論、新方法的典型例證；其它三大猜想都是第八個問題的一個小問題。

（一） 費馬猜想

費馬猜想是由法國業餘數學家費馬首先提出的。1637年的一天，費馬在校訂希臘數學家丟番圖的《算術》第II卷第8命題時，突然來了靈感。他趕緊在旁邊寫道：“方程 x^n + y^n = z^n， 當 n 大於2 時，沒有整數解。”他接著寫道：“對上述命題，我已發現了一種絕妙的證明，可惜書邊太窄了寫不下。”

費馬去世後，人們找不到他的證明，由此激發起許多數學家的極大興趣。歐拉、勒讓德、高斯、阿貝爾、狄利克雷、柯西等大數學家都躍躍欲試，卻都敗下陣來。他們有的隻能證明該命題對某些特殊的n成立,但誰也無法證明它對所有大於2的n都成立。

300多年來，數學家為證明這個猜想絞盡腦汁、費盡周折，還是不能證明它。不過，對費馬猜想的研究卻產生了不少重要的數學概念及分支，對數學的發展貢獻極大。據說，希爾伯特私下承認自己已經證明了它，但他不想將他的證明公布於世，因為他不想將這隻會下蛋的金雞殺掉。

1908年，德國數學家佛爾夫斯克爾懸賞10萬馬克以獎勵在100年之內第一個證明或反證費馬猜想的數學家。一時間，歐洲的數學迷們趨之若鶩，紛紛把“證明”寄給評審委員會，期望憑短短幾頁的初等證明贏來巨款。評審委員會成員德國數學家蘭道為此專門印製了一批明信片，讓他的學生填寫：“親愛的先生或女士：您對費馬大定理的證明已經收到，現予退回。第一個錯誤出現在第＿頁第＿行。”

數學家就這樣緩慢而執著地陪著費馬猜想打太極。直到1955年，數學家才驗證了當n小於或等於4002時費馬猜想是對的。後來，隨著電子計算機的飛速發展，數學家證明了當n小於或等於4100萬時費馬猜想是正確的。即使如此, 費馬猜想還是一個猜想。畢竟數學是嚴謹的科學，再大的數也是有限，有限和無限之差還是無限。

1993年6月23日，英國數學家、美國普林斯頓大學教授安德魯·懷爾斯在一篇長達一百多頁的論文中宣布他已經證明了費馬猜想。他的證明用到了很多新的數學理論，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等。世界上真正能讀懂他這篇論文的不過五、六人。消息不脛而走，人們奔走相告。整個數學界都被震驚了，有人歡欣鼓舞，有人半信半疑，有人目瞪口呆，有人夢斷藍橋。然而，半年之後，懷爾斯突然宣布他的證明有嚴重缺陷。不過，他並不氣餒，而是靜下心來補漏洞，於1994年9月20日上午11時徹底圓滿地證明了費馬猜想。從此，費馬猜想變成了費馬大定理。

(二) 孿生素數猜想

孿生素數猜想是最古老的數學猜想。它最初是由歐幾裏得在大約公元前300年提出的。這裏，孿生素數指的是間隔為2的一對相鄰素數，比如（3， 5）。因為大於 2 的兩個相鄰素數之間的最小可能間隔是2，所以人們將間隔為2的一對相鄰素數稱作孿生素數。孿生素數猜想是說存在無窮多對孿生素數。

目前，數學家借助計算機已經找到了兩千七百多萬對孿生素數，其中最大的孿生素數其位數更是達到了五萬多。2004年5月26日，美國數學家Richard Arenstorf 在一篇38頁長的論文中宣稱自己已經證明了孿生素數猜想。正當國際數學屆謹小慎微地等待其他數學家驗證他的結果時，Richard突然於一周後宣布他的證明存在一個致命的錯誤，並將他的論文從一家著名數學雜誌中撤走了。孿生素數猜想至今仍然是一個猜想。

（三）哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是由德國業餘數學家哥德巴赫（1690-1764）首先提出的。在1742年6月7日給大數學家歐拉的信中，哥德巴赫提出了如下兩個猜想:

1。任何一個不小於6的偶數都可以表示成兩個奇素數之和。 2。任何一個不小於9的奇數都可以表示成三個奇素數之和。

顯而易見，第二個猜想是第一個猜想的推論。不過，第二個猜想早就被單獨證明了。1937年，前蘇聯著名數學家維諾格拉多夫用“圓法”和他自己創造的“三角和法”證明了充分大的奇數都可表為三個奇素數之和，就是著名的三素數定理。這正是為什麽人們常把第一個猜想稱為哥德巴赫猜想的緣故。

歐拉在6月30日給哥德巴赫的回信中說：“我相信這兩個猜想都是正確的，但卻不能證明它們。”從此，哥德巴赫猜想引起了幾乎所有數學家的注意。數學王子高斯曾說過：“數論是數學的皇冠，而歌德巴赫猜想則是皇冠上的明珠”。

18至19世紀，對哥德巴赫猜想的研究沒有任何實質性的進展。進入20世紀後，人們認識到直接證明哥德巴赫猜想肯定不行，得采取“迂回戰術”。人們先考慮將偶數表為兩數之和，而每一個數又是若幹素數之積。如果把命題“每一個大偶數可以表示成為一個素因子不超過m 個的數和另一個素因子不超過 n 個的數之和” 記著 “m + n”,那麽哥德巴赫猜想實質上就是“1 + 1”。這裏，大偶數指的是“充分大”的偶數， 用得是極限的概念。由於比“充分大”小的偶數畢竟隻有有限多個，它們驗證起來也就比較容易。

中國數學家在哥德巴赫猜想的研究方麵一直處於世界領先地位。1956年，王元證明了“3 + 4”。第二年，他又先後證明了“3 + 3“ 和“2 + 3”。1962年，潘承洞證明了“1 + 5”，王元則進一步證明了“1 + 4”。

陳景潤為哥德巴赫猜想書寫了最輝煌的一筆。從1957年起，他著手研究哥德巴赫猜想。他住在一間6平方米的小屋，點著一盞昏暗的煤油燈，手握一支筆，演算一個又一個公式，耗去了一袋又一袋的草稿紙。他餓了就啃一口幹饅頭，困了就趴在書桌上睡一會。 1966年，他終於攻克了哥德巴赫猜想的“1 + 2”，創造了一個舉世震驚的奇跡。他的論文“大偶數表為一個素數與不超過兩個素數乘積之和”在國際上被稱為“陳氏定理”。不過，陳景潤所說的大偶數究竟有多大很難說。王元說大於 10^10000, 陳景潤說大於10^100000 ，更有人說大於10^4008600。現在的計算機是無法給出這些“大偶數”和相關的大素數的。

1977年，徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》像春風一樣滋潤著人們的心田，如旋風般震撼著人們的心靈。哥德巴赫猜想在中國一下子變得家喻戶曉，陳景潤也一下子變成了盡人皆知的傳奇式英雄人物。

陳景潤在哥德巴赫猜想所取得的成就至今仍然在世界上遙遙領先。他被譽為“哥德巴赫猜想第一人”，在國際數學界享受著崇高的聲譽。1987年和1982年，他先後兩次被邀請在國際數學家大會上作45分鍾的報告。

陳景潤的“1 + 2”將哥德巴赫猜想推進了一大步，離歌德巴赫猜想的“1 ＋ 1”看起來僅一步之遙。然而，要完全攻克它仍然極端困難。有的數學家甚至認為若未發展出新的數學工具，要徹底解決歌德巴赫猜想幾乎不可能。

到目前為止，人們借助於高速計算機已經證明了德巴赫猜想的“1 + 1” 對小於1.2 的一千之六次冪 (1後麵加18個零)的整數仍然成立。

（四）黎曼猜想

黎曼猜想由德國數學家黎曼首先提出的。它本身比較深奧, 一般人很難搞得懂。1859年，黎曼在研究素數分布的時候先定義了一個叫Riemann zeta 的複變函數F(s)，其定義域為實部大於1的複數，即Re(s) > 1。它是由複函數項組成的無窮級數，其通項為1/n^s。後來，黎曼將這個函數解析延拓到了除簡單極點 s = 1 之外的整個複平麵。這個延拓後的zeta函數F(s)有兩類零點, 一類是負偶數等實零點，稱為平凡零點; 另一類是複零點,稱為非平凡零點。黎曼猜想就是講：這些複零點的實部都等於1/2；換句話說：這些複零點都在直線 Re(s) = ? 這條直線（稱為臨界線）上。

黎曼猜想一出現就受到了國際數學界的極大關注。1914 年， 英國數學家哈代 （Hardy）首先證明了這條臨界線上有無窮多個零點。1973年，比利時數學家Pierre Deligne 證明了黎曼猜想在有限域成立。1974年，Levinson 證明了三分之一以上的零點都在這條臨界線上。 1989年，Conrey進一步證明了至少有五分之二的零點都在這條臨界線上。另一方麵，人們通過高速計算機已經證明了前十萬億個零點都在臨界線上，而且這條線外至今也沒有發現複零點。然而，黎曼猜想現在仍然是一個猜想。

黎曼猜想是素數分布的基礎，在其它許多學科也有著廣泛的應用。函數論、解析數論、代數數論、代數幾何、微分幾何、動力係統理論中的很多問題都依賴於黎曼猜想，有的甚至有它們相應的“黎曼猜想”。所以，現代數學界普遍認為黎曼猜想最有實用價值。若黎曼猜想成立，很多問題便會迎刃而解。相反，如果黎曼猜想不成立，數學將麵臨前所未有的大災難。首先，素數分布理論將大崩潰。其次，其它那些依賴於黎曼猜想的學科將大崩潰。最後，很多職業數學家將另謀出路。

相對來說，歌德巴赫猜想和孿生素數猜想比較孤立。單純解決這兩個問題的意義不是很大。數學家傾向於在解決黎曼猜想的同時，發現一些新的理論或新的工具，“順便”解決歌德巴赫猜想和孿生素數猜想。這也就是為什麽歌德巴赫猜想在美國沒有引起廣泛重視的緣故吧。

（五）猜想迷

數學猜想就像鴉片一樣吸引著無數的數學迷。很多人都在夢想有朝一日解決某個數學猜想而名滿天下。有的人像著魔一樣迷戀數學猜想，連走路都會碰到電話杆，最後變成了半癡呆。有人甚至自己提出猜想，像“存在無限多個三胞胎素數”等。然而，一個人若沒有陳景潤那樣的非凡智力和非凡毅力是不可能成功的。世界上真正有能力挑戰這些猜想的數學家也就那麽幾十個，其他大多數人都是在做無用功，甚至在浪費生命。絕大多數數學家對著名的數學猜想有三點共識：（1）它們不存在初等的證明；（2）它們的證明要用到很高深的數學知識；（3）它們的證明過程會很長。

據說，中科院數學所曾經有一段時間幾乎每天都能收到證明哥德巴赫猜想的論文手稿，簡直像“群眾運動”。這些作者大多數沒有多少數學基礎，他們就像拿著一把鋸子和一把刨子造航天飛機一樣令人可笑。結果，這些所謂的論文都會被原封不動地扔到垃圾堆裏。後來, 楊樂和張廣厚不得不聯名在“人們日報”發表文章勸廣大的數學愛好者實際一些，不要誤入歧途、浪費自己的寶貴時間和精力。

筆者以前在國內認識一位大學數學老師。他是一個十足的歌德巴赫猜想迷。他逢人就說陳景潤的“1 + 2”證明有誤，他簡化和改正了陳的證明。他還宣稱自己已經證明了“1 + 1”，並說已經將證明“1 + 1” 的文稿分別寄給了陳景潤、王元、楊樂、潘承洞等中國數論大家，以及蘇聯科學院和美國科學院。然而，沒有人相信他。最後，他失去了教師的資格，老婆、孩子也離開了他，女生見到他就躲開。

1976年，美國數學家提出了一個準哥德巴赫猜想：“任何一個偶數都可以表示成兩個素數之差。”最近，天津大學徐萬東教授（WAN-DONGXU）在一篇隻有12頁長、題為“Every Even Number Can Be Expressed As the Difference of Two Odd Prime Numbers”中聲稱已經證明了這個準猜想。不過，這篇文章隻是發表在“中國科技論文在線”上。有趣的是，作者引用了自己一篇待發表的文章“A new two-dimension sieve method and the proof of Goldbach’s conjecture”。言下之意是他已經證明了歌德巴赫猜呢。

史上最牛的數學猜想迷當數中國民間數學家蔣春暄。他1936年出生在老毛的故鄉湘潭，初中尚未畢業便到一家工廠當工人。後來，他花45天自學完高中課程，竟考取了北航，專業是航空儀表製造。在大學期間，他曾試著將複變函數推廣到三維空間。文革期間，他到處張貼廣告找朋友以交流學習數學的經驗。他在一篇數學論文中提到用毛澤東思想創立一門新數學，用來研究相對論和建立亞光速和超光速統一理論。1973年，他偶然聽到了費馬猜想、孿生素數猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想，便暗下決心同時向這四大猜想挑戰。從此，他利用業餘時間刻苦鑽研數論。經過30年的奮鬥，他自稱在數論上已取得舉世矚目的成就，用自己創立的全新的數學方法，解決了世界公認的幾大數學難題。

1992年, 他在 《潛科學》上發表了一篇隻有短短四頁的論文“Fermat’s Marvelous Proofs for Fermat’s last Theorem” 中宣稱自己證明了費馬猜想。他提供了兩個類似的證明，都隻有十幾行，用的都是初等數學。然而，兩個證明都有嚴重的邏輯錯誤，都把條件和結論混淆了。

他在另一篇隻有13頁的論文“Disproofs of Riemann’s Hypothesis” (刊登在2004年第21期的美國數學雜誌《代數·群·幾何》)中宣稱已經解決了世界公認的三大數學難題：（1）否定了黎曼猜想；（2）找到了一個能更本質揭示素數分布規律的函數，從而證明了哥德巴赫猜想；（3）證明了孿生素數猜想。其中，他用了三種不同的辦法全盤否定黎曼猜想。他聲稱Riemann zeta 函數 在臨界線上沒有任何非平凡零點。這簡直是驚天動地的大膽行為，將前人找出的十萬億個零點全部打入了冷宮。然而，有人指出他的論文漏洞百出，他連複數的概念和最基本的極限概念都沒有搞懂。首先，他將前提搞錯了。他反證的是原始的Riemann zeta 函數，而不是黎曼猜想所指的經解析延拓後的Riemann zeta 函數。事實上，原始的Riemann zeta 函數在Re(s) 小於1 時根本沒定義，更談不上在直線Re（s) = ? 上有零點啦。再則，他還試圖比較兩個複數的大小呢。

蔣春暄還寫了一本專著《桑蒂利iso數論基礎——應用於新密碼、費馬大定理和哥德馬赫猜想》。在這本書中，他引入新的數論函數。他宣稱能用十多種方法證明哥德巴赫猜想，用三種方法否定黎曼假設，用50種方法證明費馬大定理，從中得出的函數可以夠人類用萬年，為人類進一步認識和改造自然界提供一種非常好的數學工具。

蔣春暄是現代世界數學史上飽受爭議的人物。在中國，“蔣春暄現象”被媒體多次討論。他在中國被完全否定，並被數學界人士視為“危險”人物。他的理論被打為偽科學，一些權威更稱蔣春暄的研究成果隻是一堆“垃圾紙”，蔣研究數論是一個“想蹬著自行車上月球的人”。國內外一些著名數學刊物因受權威編委的壓力，對蔣的投稿，一概退稿。

蔣春暄不屈不饒，將自己的數論文章放在很多和數學毫無關係的網站。他寫了一篇短文“Wiles didn’t understand Fermat’s last theorem: ‘a huge joke’”, 嘲笑懷爾斯根本就不理解費馬猜想，說他“就像一個婦人戴著先生的禮帽、穿著先生的衣服冒充其先生一樣。”他還專門寫了一篇檄文“費馬大定理證明權之爭和微積分發明權之爭”，公然打響了和懷爾斯爭費馬大定理證明權的第一槍， 並將這樣的爭鬥和當年牛頓和萊布尼茨的微積分發明權之爭相提並論。這篇檄文以巴斯德的名言“科學沒有國界，但科學家有祖國”開始，以普讓克的名言“一個新的科學真理不是靠反對者信服和領會它才能獲得勝利，而是因為反對者最終死亡和熟悉它的新一代人成長了”結束。

後來，蔣春暄試著將論文寄到了美國，沒想到立刻引起了美國強子理論創始人、原哈佛大學物理教授、《代數·群·幾何》雜誌主編桑蒂利教授（Ruggero Maria Santilli）的高度重視。該雜誌不僅連續發表了他的論文，還破例為他出了數論專集。桑蒂利在給蔣春暄的回信中稱道：“您是新數理論的領袖”。目前，蔣春暄的所有論文 （Mathematical papers of Chun-Xuan Jiang) 都可在網上免費找到和免費下載。

2002年8月“世界數學家大會”在北京召開。民間不少數學愛好者呼籲中國數學界為蔣春暄的數學成果申請當年的數學“諾貝爾獎”菲爾茲獎。蔣春暄本人也強烈要求在大會上介紹他的“費馬大定理證明”被拒絕。

網上對蔣春暄的評論很多。有人說他的證明荒謬可笑，是偽科學， 說他是一個瘋子和騙子，其目的是要引起全世界的注意。有人說他的證明是對的，說他是500年才出一個的數學天才。大多數網民都佩服他的毅力，欣賞他的勇氣，尊重他的權益，同情他的遭遇。

那麽,蔣春暄對孿生素數猜想和哥德巴赫猜想的證明到底對不對呢？ 世界上這麽多優秀的數學家和權威機構，難道就沒有一種讓人信服的說法嗎? 如果蔣的證明不正確，為什麽像桑蒂利這樣的美國名教授都支持他呢? 如果正確，為什麽有那麽多人反對他呢? 我們這些海外華人有義務、也有條件幫助他。如果他的證明的確有誤，我們應該誠懇地向他指出來。反之，我們應該積極宣傳他。他要真能解決任一個猜想，足以列為有史以來世界上最偉大的100位數學家之列。他要是一人獨自解決了孿生素數猜想和哥德巴赫猜想，足以和牛頓、高斯、柯西、歐拉、費馬、希爾伯特、黎曼相提並論，那可是全世界華人的驕傲啊。

（六）猜想之猜想

筆者猜想以後的數學猜想會越來越多、越來越簡單。筆者還猜想還會有人繼續尋找費馬大定理的簡單證明，孿生素數猜想和黎曼猜想本世紀都會被攻克，但哥德巴赫猜想將是一個永遠的猜想。筆者進一步猜想：

廢馬昨夜夢如飛, 孿生姐妹梨蔓依。
歌德少年老煩惱, 巴赫老齡少芳菲。