一個打臉中間軸定理證明的例子

戴榕菁

1.背景

前文“那就來聊聊數學”【[1]】中指出對太空站中的賈尼別科夫效應進行所謂的穩定性分析的人所采取的是據說將近兩百年前法國數學家和物理學家Louis Poinsot的方法，其出發點是外力矩為零的剛體運動歐拉方程【[2]】：

其中I₁，I₂，I₃是物體的主慣性矩且被假設為

I₁ < I₂ < I₃

ω₁，ω₂，ω₃是沿著三個主軸方向的角速度分量，是三個主軸方向的角加速度分量。

我在那篇文章中隻討論了與賈尼別科夫效應有關的情況，也就是旋轉物體發生翻轉的情況。為了打臉他們的證明，這裏我們來完整地看一下他們的證明。首先，他們考慮繞最小慣量軸的轉動。他們在上麵方程組的(2) 式中對時間求導，因為在繞最小慣量軸的轉動中很小，所以忽略掉結果中的項，然後將(3)式中的代入求導的結果從而得到：

                      (4)

因為I₁ < I₂ < I₃，所以(I₁ – I₃)( I₂ - I₁) < 0，所以

由此他們得出結論說，（因為與符號相反）會得到抑製。用白話解釋，就是說假如是正的，那麽沿著的方向的角加速度就會在那個方向上減小，如果一開始為零，那麽就會出現一個負的使得變得越來越小。當變為0時，為零，此時將繼續保持負的從而產生反向的，但這時反向的也將產生，使得負開始變小，反向的繼續增大直到降為零，然後反向的又開始變小。。。。

他們認為這樣的運動是穩定的。並且，他們說這一結論也適用於繞最大慣量軸的旋轉，所以在太空站中的物體繞最大和最小慣量軸的旋轉是穩定的。

然後他們將上麵方程組的(1)式對時間求導，因為在繞中間慣量軸的轉動中很小，所以忽略掉結果中的項，並將(3)式中的代入求導的結果從而得到：

                (5)

因為I₁ < I₂ < I₃，所以(I₃ - I₂)( I₂ - I₁) > 0，所以

         

由此他們得出結論說，隻要一開始的時候ω₁有一個非常小的值，就有一個大於零的值，也就是說會越來越大，所以運動是不穩定的從而會出現翻轉。

上麵這套論述就是現有的據說是來自近兩百年前的Louis Poinsot的證明所謂的中間軸定理的內容。

2.打臉現有的穩定性分析

現在我來考慮這樣的條件：I₂ < I₁ = I₃ 或I₂ > I₁ = I₃，這樣一來(4)的右邊等於零，因此如果一開始為零的話，它仍然可以永遠為零，按照他們的邏輯，這時繞軸1和軸3的旋轉應該仍然是穩定的；但是，這時(5)的正負號就要顛倒了，也就是說這時我們不再有

而是會有：

這樣一來，按照他們的邏輯這時繞2軸的旋轉也將是穩定的了。但下麵這個視頻告訴我們實際情況顯然不是這樣的：

https://www.youtube.com/watch?v=Xrf1HzFJ8jc&t=39s

3.討論

上麵的例子告訴我們自1834年以來人們對於中間軸定理的分析邏輯是錯的！

我之所以說他們的邏輯錯了，是因為按照他們的邏輯會得出與實驗結果相反的結論。但另一方麵，不可否認的是，按照他們的邏輯也確實得出了在I₁ < I₂ < I₃的前提下繞2軸的運動會與繞1軸和3軸的運動不同這一結論，隻不過如我在“那就來聊聊數學”【1】一文中指出的，他們的這一結論本身又有著很大的瑕疵：他們由於未能描述翻轉的運動過程而似乎暗示物體在開始翻轉之後就無法用歐拉方程來描述了，而無法用歐拉方程描述這一點本身又意味著違背角動量守恒，但他們的分析顯然無法解釋正確為什麽角動量守恒會被打破。

4. 結束語

在過去一個多月裏關注了我對於賈尼別科夫效應的討論的讀者在看完上麵那個視頻後可能已經發現我在之前的文章中已多次用到該視頻，因而可能會產生這樣的疑問：為什麽我之前沒有看出該視頻實際打臉自1834年以來對於所謂的中間軸定理的證明邏輯呢？

這裏的答案其實既有點辛酸也很特別但也伴隨著屬靈的喜樂。。。。其特別的程度已經達到我無法解釋的程度，有多特別呢？答案是：如果不是我親身經曆，任誰和我說，我也不會相信會有這樣的事情發生。。。。鑒於此，我就無法用簡單的語言在這裏描述過去幾個月發生在我身的“怪”事了。。。。當然，更重要的是：上帝一直在保護我，使得我未被擊垮，而且我堅信上帝會救我脫離目前的危險處境！

不過過去這幾個月的艱辛確實在一定程度上影響了我的哲學閱讀，調研和寫作。但與此同時，感謝上帝的看顧和帶領，我的靈命則在大大成長。我相信看到在那樣的持續重擊之下我不但能挺到現在並身體保持基本健康而且靈命不斷成長，氣得哇哇叫的是魔鬼！

感謝上帝！一切榮耀歸於上帝！

 

 

---

【[1]】戴榕菁 （2025）那就來聊聊數學

[[2]] Wikipedia. Tennis racket theorem. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theorem. Last edited on 29 November 2024, at 06:27 (UTC).