替歐拉大師說句話

戴榕菁

前文“找到歐拉出錯的原因了”【[1]】在找出導致作為剛體力學基礎之歐拉方程出錯的原因後，說了這樣一段話：“歐拉大師犯的還真就是一個中學或最多大學水平的簡單錯誤，而全世界的數學工作者，物理學工作者，和工程師們就跟在歐拉後麵錯了近3百年。”

我現在要將上麵這句話做一糾正為：“歐拉大師犯了一個在今天看來似乎是中學或最多大學水平的簡單錯誤，而全世界的數學工作者，物理學工作者，和工程師們就跟在歐拉後麵錯了兩百六十年。”

之所以做此糾正是因為我找到一篇專門討論歐拉如何推導其剛體力學方程的文章【[2]】，從該文可以看出當初歐拉推導出的剛體力學的歐拉方程(23)與今天教科書及文獻【[3]】中的是一回事，因而同樣是錯的，但是其推導過程卻要比我在“歐拉會犯這樣的錯嗎？”【[4]】一文中給出的複雜的多，那可比大學水平深奧多了。。。。我之前給出的推導是今天人們推導剛體力學的歐拉方程的步驟，是經過兩百六十年的不斷精煉後的表達。。。。也正是那樣的表達才使得我比較容易地看出其中的問題。至於將【1】中的“近3百年”改為“兩百六十年”是因為由文獻【2】得知現在使用的歐拉方程是1765年發表的，而之前穀歌搜索的AI告訴我說歐拉方程可以從歐拉1736年發表的treatise of mechanics中找到。

關於文獻【2】對於剛體力學的歐拉方程的推導的介紹，我們可以注意到這樣幾個要點：

1. 歐拉在沒有運用我在“找到歐拉出錯的原因了”【1】給出的方法的情況仍得出同樣錯誤的結果，這主要是因為文中第6頁上介紹的下麵這段思路：

【Euler chooses a system of axes fixed in the absolute space IA, IB, IC and determines the position of the rotation axis IO through the angles AIO = α, AIB = β and AIC = γ. Afterwards, he considers a point Z of the rigid body, with coordinates (x; y; z) with respect to axes IA, IB, IC, and he chooses three mutually perpendicular axes Za, Zb and Zc, parallel to the axes in absolute space, in such a way that they pass through Z and are principalof inertia. If the body is rotating along the IO axis with an angular velocity ω, the components on Za, Zb and Zc could be expressed by means of the direction cosines】

以及這句話：【From here, it is possible to calculate the moments of the forces in each axis, obtaining, for the component along the Za axis】

由這兩段可以看出歐拉在求力矩時並沒有進行伽利略疊加，而是在非慣性係裏求瞬時力矩，盡管他之前的力都是在慣性係裏求的 -----從這點上來說，歐拉大師確實犯了一個基本概念的錯誤，但是如果從整體推導來看，他的錯誤並不像我在【1】表達的那麽簡單粗淺；

2. 其實歐拉大師在得出現代版的剛體力學方程 (23) 之前，在1752年給出了在我（草草）看來是正確的剛體力學方程即該文的 (17)，但他認為太複雜了，便放棄了，反而在1765年給出了一個被全世界延用至今的錯誤方程 (23)。

3. 由該文可以看出，在得到剛體力學的歐拉方程的那些年中，歐拉為了得到相關方程還做出了一項至今仍是重要理論的工作：即該文一上來介紹的剛體轉動的瞬間軸定理。

結束語

其實，作為一名頂級大師，歐拉並不需要別人為他說什麽，一個方程的錯誤也掩蓋不了他巨大的學術貢獻。我之所以感到需要出來為歐拉大師說幾句是因為在前文【1】中我把歐拉所犯的錯誤說的聽起來是一般大學生都不會犯的錯誤。。。。我當初之所以那麽說一方麵是因為我當時沒有得到歐拉最初的推導過程以致於我的debugging是針對現代人們推導歐拉方程的方式，盡管從數學本質來說這兩者是一回事，但現代的推導是在歐拉等前輩們奠定的基礎上反複精煉後的結果所以要容易debugging的多，另一方麵也是因為剛體運動是所有理工科都必修的科目，所有的物理學諾貝爾獎獲得者與所有著名的工程師應該都學過，很多人不但用過而且還在課堂裏講過，居然在近三百年裏沒有人看出其中的錯誤，這讓我覺得很無語，所以就在【1】中特別地強調了一下該錯誤之簡單程度。

但另一方麵，在了解了歐拉大師在不像我們現在已經有了樣板的前提下經過數年的努力才推出該方程之後（而且其間還因為複雜放棄了一個看來應該是正確的版本），我認為有必要出來做一個澄清，一方麵是表明我今天之所以會感到比較容易找出剛體力學的歐拉方程中的錯誤的一個重要原因是上帝為我創造了比歐拉時期便利得多的條件，因此我找出歐拉方程中的錯誤所麵臨的難度無法與歐拉當初推導方程的難度相比；另一方麵也是讓讀者了解當初歐拉推導該方程（盡管有錯）之令人敬佩。

當然，對於歐拉之後近3百年裏的其他人，尤其是當代的學者，尤其是看了賈尼別科夫效應視頻之後用Poinsot方法進行分析卻看不出其中問題的學者及科普網紅們，我仍然感到非常地無語。

榮耀歸於上帝！

 

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【[1]】戴榕菁（2025）找到歐拉出錯的原因了

[[2]]Marquina, J. E., Marquina, M. L., Marquina, V., and  Hernández-Gómez, J. J. (2017). Leonhard Euler and the mechanics of rigid bodies. European Journal of Physics, Volume 38, Issue 1, pp. 015001 (2017). Retrieved from: https://www.researchgate.net/profile/Jorge_H/publication/309366946_Leonhard_Euler_and_the_mechanics_of_rigid_bodies/links/5a4138f3aca272d294561325/Leonhard-Euler-and-the-mechanics-of-rigid-bodies.pdf

[[3]]Wikipedia. Euler's equations (rigid body dynamics). Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_equations_(rigid_body_dynamics). Last edited on 22 February 2025, at 23:52 (UTC).

【[4]】戴榕菁（2025）歐拉會犯這樣的錯嗎？

 

[慕容青草]

今早在網看到一個視頻，正趕上我身體略感不適所以差點被它蒙住了。。。仔細一看才知是一垃圾視頻。。。給感興趣的讀者一個練習題，看你是否能看出它的問題出在哪裏： https://www.youtube.com/watch?v=sISIQwq-lRw
鑒於那個dialect最近又出了一期明顯散步不實信息誤導觀眾的視頻，我對於這一類不露臉不具名的誤導性科普視頻產生了這樣的疑慮：是有人在故意給人類灌藥催眠呢，還是別的什麽？