哲學無窮大與數學無窮大

哲學無窮大與數學無窮大

戴榕菁

Academia.edu的那位曾經因為我指出了希爾伯特的第一問題也就是所謂的康托連續性假說根本不成立而惱羞成怒將我趕出（他邀請我參加的）討論【[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]】但後來又促成了我的一個數學定理【[8],[9]】的Jackson這兩天又邀請我去參加他的一篇題為“Why Different Infinities Are Really Equal”的討論【[10]】。

從文章標題就可以看出這家夥根本還不知道康托到底錯在哪裏所以也就根本還沒有理解為什麽當初我說希爾伯特的第一問題根本不成立。我在他的這篇新文章下麵做了下麵這個評論：

【Infinity as a philosophical notion is one single notion....however, the so-called mathematical infinities are not the pure philosophical notion but rather different schemes of measurement....obviously Cantor was not philosophically qualified to understand this....so he was wrong....period....The following link delves into some details about why Cantor was wrong:

https://www.academia.edu/83781162/Solution_to_Hilbert_First_Problem_against_the_Illusion_of_Cantorian_Cardinal_System

Conclusion: the statement of "different infinities are equal" itself is an example of philosophical confusion due to the failure in distinguishing the infinity notion and mathematical schemes of measuring infinity which Johann Bernoulli and L'Hopital already knew centuries ago.】

我的上麵這段英文評論的意思是說：作為一個哲學上的概念，無窮大是一個單一的概念。這就是說無窮大即無窮大，你無法區別不同的無窮大。但是，數學上的無窮大則是不同的schemes of measurement。這個“schemes of measurement”是我臨時想出的一個詞匯，算是首創。這個measurement顯然是一個比康托的所謂計數（counting或numbering）更一般的概念。

我這裏之所以想到了measurement是因為數學上的所謂的無窮大所對應的並非單一的哲學上的無窮大的概念，而是有著具體的度量意義的無窮大。比如，當n趨於無窮大時，n與n²以及eⁿ都趨於無窮大，但是所對應的無窮大的度量則是不同的。按照洛必達法則我們可以輕易地判斷出，當n趨於無窮大時，n/n²以及n²/eⁿ都趨於零。之所以用scheme一詞一方麵是因為我之前也曾將康托的那套計數體係稱作“scheme of measuring”；另一方麵也因為沒想到更好的，用system感覺太大了一些，用method又太窄了一些，畢竟諸如n²這樣的函數與康托對自然數的計數的差別較大。不管怎麽說，當時想到了scheme一詞，覺得還不錯，就用了。關鍵是過去沒有人從這個角度討論過這個問題（否則象希爾伯特這樣的大人物也不會被康托忽悠了），所以無論我用什麽詞都不要緊，不存在違反常規的問題。

感言

和那位Jackson打過三次交道了，三次都是他邀請我去參加他在academia.edu的文章討論。第一次發生在2022年。那次碰撞最劇烈，我直接針對他的文章指出康托連續性假說即所謂的希爾伯特第一問題根本不成立，結果直接被Jackson惱羞成怒地趕出討論不說，我馬上遭到在其它地方的線上線下的攻擊，其中最邪惡的就是有人在全美各地同時使用我的信用卡購物，那是從未發生過的。但是，如聖經所教導的，對我們基督徒來說，萬事互相效力，那次經曆成就了我推翻著名的希爾伯特第一問題也就是所謂的康托連續性假說的成績【7】。第二次交道發生在今年5月，那時在對他的另一篇文章的討論中，我提到了物理學界號稱能用實驗得到的離散數據很理想地擬合洛倫茲變換但那在數學上是不可能的，那個Jackson居然替那些物理實驗辯護，這讓我意識到數學上缺乏相關的定理，於是又成就我的第一個數學定理“離散擬合非線性不可能定理”【8,9】。這次他邀請我參加他的文章的討論是第三次交道，盡管這次看來不會有象上兩次那麽具有震撼性的成績，不過我在給他的文章的評論中在人類曆史上第一次用哲學上的無窮大概念與數學上對無窮大的不同的度量（different schemes of measurement）的區別來闡述相關議題也算是一個不錯的收獲。感謝上帝！榮耀歸於上帝！

結束語

最後就哲學無窮大與數學無窮大之區別之意義再稍作哲學上的解釋以便讀者更好理解。哲學上的無窮大是自古希臘時已經具有的概念，即比任何具體數字都要大；而數學上的無窮大概念則是建立在哲學上的無窮大概念基礎上的對應著具體的數學度量的一種極限思維。比如前麵提到“當n趨於無窮大時，n與n²以及eⁿ都趨於無窮大，但是所對應的無窮大的度量則是不同的”，這是因為在n趨於無窮大（但沒有達到無窮大）的過程中，n與n²以及eⁿ所對應的度量是不同的，這就決定了對應著任意一個n值，n與n²以及eⁿ之大小都不相同，因此它們所對應的度量意義上的無窮大極限是不同的，盡管所有這些無窮大都是建立在哲學的無窮大概念基礎之上的。

而從康托到希爾伯特再到作為今天的數學界人士的academia.edu的Jackson所出的問題是沒有意識到數學上的無窮大其實都是對應著具體的度量而存在的。假如一個正方形的邊長上有n個幾何點，那麽它的麵積就包含了n²個幾何點。康托之所以會荒謬地聲稱正方形的邊長上的幾何點數目與正方形麵積上的幾何點數目一樣多，而希爾伯特以及今天的Jackson還都會認同康托的錯誤，就是因為他們混淆了哲學上的無窮大的單一概念與數學無窮大的區別從而被誤導了，以致於當看到康托搞出個看似美妙的一一對應的無窮集合計數法，（包括康托自己）就一頭紮進去出不來了。其實，如果他們意識到數學上的無窮大並非簡單的哲學意義上的極其抽象的無窮大，而是伯努利和洛必達時期就已經搞清楚的對於具體對象的度量概念時，他們就不會一頭紮進康托整出的那個錯誤中一紮就是一百多年難以自拔了。。。。

過去幾年裏我已一再指出數學汙染給20世紀物理學造成的危害【[11],[12]】，而康托則提供了一個他是如何用他所設計的集合計數技巧來汙染數學的例子。。。。今天有多少數學教授的工作是建立在康托的虛幻的無窮集合體係基礎之上的！而那些教授又不斷地用康托的錯誤來誤導學子們！可見數學汙染不僅存在與物理學，而且可以汙染數學領域本身！

補充：

昨天（2024-11-8）貼出本文後，今天（2024-11-9）在Jackson的討論區（見【10】）看到下麵這則評論：

【

David Formosa
12 hrs ago

This misunderstandings the diagonal argument. The diagonal argument is a “proof by contradiction” it assumes that the two sets are if equal size and then shows logically that this leads to a contradiction.

】

因為他的評論說的含糊，所以我們無法從中斷定他的立場，但由於他的評論提到“誤解”所以所針對的是主觀，因此在無法斷定他的立場的前提下也無法斷定他的對錯。。。。

現在我們來看為什麽判斷上麵那個名叫福爾摩沙的人的評論的正確性需要先了解他的（未表明的）立場：

假如他的立場與本文的立場是一致的，也就是說他也認為康托，希爾伯特，以及今天的諸如Jackson這些人都錯了，那麽他的那句話的隱含的出發點就應該是諸如一個正方形麵積所含的點數與其一個邊長所含的點數是不同的這樣的基本常識，這樣的話他的那段話中的“誤解（misunderstands）”的意思就應該是康托本人在有關diagonal argument的問題上出現了某種誤解，因而產生了與基本常識之間的矛盾（contradiction）。如果他的意思確實如此，那麽我可以認同福爾摩沙先生的評論而支持他的觀點。

但是，考慮到所謂的diagonal argument被認為是康托本人發明的，因此在沒有明確表明立場的前提下說誤解了diagonal argument完全有可能是說康托是對的，因而所謂“This misunderstandings the diagonal argument”則是說我們其他人誤解了康托，特別是他用到了“This”這個詞，具有將當時的文章討論與康托的方法加以區別的效果；而在這個前提下，他後麵所說的“矛盾（contradiction）”則是說康托本人之所以會用那個diagonal argument是為了用它來指出與基本常識之間的矛盾而已。。。。假如那才是福爾摩沙先生的真正意思，那我必須說福爾摩沙先生錯了，原因很簡單：是康托自己用他的幾何計數係統得出了正方形麵積上的點數與它的一個邊長上的點數相同的結論，而不是別人強加給他的；更重要的是在他之前根本沒有任何人說過正方形的麵積上的點數會和正方形的一個邊長上的點數一樣，所以他完全沒有必要用任何理論去反駁一個違背基本常識的論點。

說到這裏，有讀者會說：上麵我對福爾摩沙先生原意的第二個猜測可能也太不合常理了吧，不可能是他的真實意思。。。。他的原意一定是上麵的第一種意思。

很遺憾，據我過去這些年與各種持荒謬理論之人的交戰經驗，我可以基本判斷福爾摩沙先生的原意大概率的還就是上麵我提到的那個極為荒謬的第二種可能性。。。。這也是我之所以會在這裏將之拿出來討論的原因------這個例子可以幫助讀者更好地理解為什麽我在“有冇後生仔願去拆掉那個閣樓？”【[13]】一文中會強調推翻象蓋爾曼的誇克理論那樣的一個科學理論僅僅證明它的出發點錯了還遠遠不夠，而是要將它的一磚一瓦都拆下來才行。。。。這個世界上的人並非所有的人都是從正常邏輯出發來考慮問題和討論問題的。。。。而造成這種現象的基本原因是這個世界上的很多人，甚至可能是大多數人會將個人的情感或偶像的名聲至於真理之上，為了維護他們的偶像的地位他們可以用各種荒唐的邏輯進行思維和說事，而且其目的還不僅僅是為了幹擾別人的看法，也是為了使他們自己的扭曲的心靈得到滿足。。。。

相關鏈接

定理和定律背後不同的邏輯與態度

 

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【[1]】戴榕菁 （2022）一不小心破解連續性假說（CH）？

【[2]】戴榕菁 （2022） 此事非同小可。。。

【[3]】戴榕菁 （2022） 康托集合論之哲學誤區

【[4]】戴榕菁 （2022） 那麽為什麽會有希爾伯特第一問題呢？

【[5]】戴榕菁 （2022） 這回他們真急了。。。

【[6]】戴榕菁 （2023）  康托碰不得？

[[7]]Dai, R. (2022). Solution to Hilbert First Problem against the Illusion of Cantorian Cardinal System. Retrieved from: https://wp.me/pkz9Y-8A

【[8]】戴榕菁 （2024） 離散數據擬合非線性之不可能定理

[[9]] Dai, R. (2024). Theorem of the Impossibility to Precisely Match Nonlinearity with Averages of Scattered Data. Retrieved from: https://murongqingcao.wordpress.com/2024/06/12/664/

[[10]]Jackson, G.M. (2024). Why Different Infinities Are Really Equal. Retrieved from: https://www.academia.edu/s/397af107b4?source=link

【[11]】戴榕菁（2024） 物理學界將要麵臨的一大尷尬

【[12]】戴榕菁（2023）數學汙染

【[13]】戴榕菁 （2024）  有冇後生仔願去拆掉那個閣樓？

[慕容青草]

我已一再指出數學汙染給20世紀物理學造成的危害，而康托則提供了一個他是如何用他所設計的集合計數技巧來汙染數學的例子。。。。今天有多少數學教授的工作是建立在康托的虛幻的無窮集合體係基礎之上的？而那些教授又不斷地用康托的錯誤來誤導學子們！

可見數學汙染不僅存在與物理學，而且可以汙染數學領域本身！