薛定諤方程與量子化

戴榕菁

1. 引言

之前我們已經知道作為量子力學的基本概念的所謂的相對論動量其實不過是一個物理學家們造出來的不具備任何物理意義的數學表達式而已。隨著對於現有量子理論之了解的加深，我們可以發現現有的量子理論之數學框架所存在的問題遠超過那個虛構的相對論動量。作為量子力學的最基本的方程之薛定諤方程本身就不是基於對自然的深刻理解從最基本的自然律推導出來，而是一種用類似曲線擬合的手法為了滿足實驗中觀察到一些現象而湊出來的。可以說整個20世紀的量子理論就像是建在沙灘上一個城堡。

通過對薛定諤的諾貝爾獲獎文章【[1]】的討論【[2],[3],[4]】，我們對薛定諤方程已經可以有了過去幾十年裏流行於世界各地的主流學界文獻和官方課本裏看不到的更多的認識。

如我在上麵提到文章【2,3,4】中指出的，我最開始判斷出薛定諤的方程不是按照嚴格邏輯一步步地推導出的而是湊出來的主要是看到他在文章中提到按照他的推導可以很自然地得到愛因斯坦的光能公式和德布羅意波長公式，但愛因斯坦的光能公式並不適用於他所針對的基本粒子而在沒有運用相對論的前提下他是不可能得到德布羅意波長公式的。上述發現讓我對他的推導過程進行深入考察，最終還是印證了我最初對於他的方程不是嚴格推導出來而是湊出來的判斷。

另外，與他之後的狄拉克一樣，薛定諤在他的文章中努力營造他的波函數方程與經典的哈密爾頓力學有著天然的聯係，為了收到這樣的效果，他文章【1】從討論單個粒子在引力場中運動的哈密爾頓力學開始。但實際上，他的那個所謂的哈密爾頓力學表達式根本不符合單個粒子在引力場中的自由落體運動方程。此外他的那番努力還使他得出了可以湊出愛因斯坦的光能公式和德布羅意波長公式的波動相速度公式，這也決定了按照他的那個一般形式的獲獎方程（32）求出之解的波動頻率會帶有不應出現的普朗克-愛因斯坦光能公式及德布羅意波長公式的影子。同時，由於不論是他的波動相速度公式還是他的波動方程的形式都是湊出來的，而不是按照他一開始鋪墊的哈密爾頓力學的邏輯思路推導出來的，他的那個一般形式的獲獎方程（32）與他之前用作鋪墊的哈密爾頓力學毫無關係------ 與之相應地，薛定諤的推導過程中沒能自然地賦予那個波函數任何物理意義從而需要再人為地額外定義它的意義。

意識到薛定諤方程原始推導過程存在著各種瑕疵之後，其他20世紀物理學家們就試圖通過數學的操作令該方程看似有著嚴格的邏輯根基。其中具有代表性當屬諾貝爾獎獲得者狄拉克與費曼。但是，既遺憾又如預期的那樣，狄拉克和費曼也不可能在與薛定諤相同的邏輯前提下僅通過數學上的操作就解決物理學基本邏輯上的缺陷，就如薛定諤不可能在不用到相對論的前提下推導出德布羅意波長公式一樣。

之所以說薛定諤方程是湊出來的而不是象牛頓定律或熱力學定律那樣是從實際數據中歸納出來的，如我們將從本文的討論中看到的那樣，其主要的原因為：不論是在薛定諤的推導中還是在其後的其他物理學家們在推導中，他們並非直接從實驗或觀察數據中歸納出相應的方程，而是針對德布羅意提出的粒子波動概念選擇用經典力學中反映波動的最一般的數學公式及方程，並針對當時實驗室裏發現的所謂的二分之一量子數而專門選擇相關參數；更主要的是，作為薛定諤方程的最基本的變量的所謂的波函數的物理意義完全不是在公式推導過程中確定的，而是要在得出公式後再另外人為賦予的。

本文我們將簡單地回顧一下之前對薛定諤方程的原始推導的討論，然後再討論檢驗費曼和狄拉克在形塑薛定諤方程之天然合理性上的努力，然後再探討一下建立在薛定諤方程基礎之上的所謂的量子化的操作。

2. 薛定諤方程原始推導回顧

之前討論薛定諤的諾貝爾獲獎文章時，我們提到薛定諤推導其獲獎公式的出發點是文中的（3）式：

其中的W由該文的（2）給出：

經過一番操作【2,3,4】之後，借助下麵這個在之前上百年的時間裏人們已經熟知的簡單的波動函數：

對所謂的波函數的周期進行了討論。通過選用下麵這個當時人們早已熟知的波動方程：

並假定波函數僅通過隨時間變化，薛定諤得出了隨空間變化的方程（16）：

將（16）推廣為n個自由度的係統，薛定諤得出了他的更一般形式的（26）式：

然後通過前麵提到的波函數中的時間因子：

我們可以得出：

將（26）式與（31）式結合，薛定諤得出了隨空間和時間變化的一般方程：

而（32）式在一個自由度下就是我們現在所熟悉的薛定諤方程的形式：

其中V為勢能，m為粒子質量，等於h/2π。

2.1. 討論

薛定諤在他的諾貝爾獲獎文章中從（1）式到（8）式在表麵上對哈密爾頓力學的運用（盡管是帶有邏輯錯誤的運用）主要起到了這樣兩個作用：1）營造量子力學與經典的哈密爾頓力學之間的天然紐帶關係；2）給出了一個計算相速度從而計算頻率和波長的公式。

在這個基礎之上，用最常見的波動方程，在波函數對時間的依賴隻存在於表達簡諧振動的指數函數（30）的假設前提下，薛定諤推導出了他諾貝爾得獎方程（32）。嚴格地說來，薛定諤的直接推導是從他的（15）式開始的。而這過程中不但波函數方程的建立與之前用作鋪墊的哈密爾頓力學無關，而且波函數本身的引入也不具有任何實際的物理意義。而這就決定了這樣兩點：1）因為他的所謂推導本身沒有能夠直接賦予他的波函數任何物理意義，所以他有必要人為地給他的波函數賦予一個特殊的意義：粒子的電荷強度；2）哥本哈根學派顯然看出了薛定諤的這個軟肋，因而隨即對薛定諤的人為設定的波函數的意義按照他們的心願進行重新解釋，而薛定諤（應該是出於麵子問題）對於他們的重新解釋進行抗議而設計出的一隻（帶有邏輯缺陷的）貓卻隨後促生了涉及馮諾曼在內的一眾數學和物理學巨星的被量子力學界認為至今都無解的量子力學的重要研究課題----量子力學測量問題。

3. 薛定諤方程之裏程碑意義

回顧量子理論的發展史，薛定諤方程是一個重大的裏程碑式的轉折點。在薛定諤之前，普朗克，愛因斯坦，和德布羅意基本上都是本著嚴肅的態度去認真地探索微觀世界，而他們的故事通常也是教科書或科普故事中最喜聞樂道的，這也在客觀上給普通大眾造成了量子理論是一門非常嚴肅的科學的影響。但是，在量子力學的發展史上薛定諤開啟了一個在很大程度上可以說是具有相當程度的隨心所欲特點的時代。

3.1. 費曼的評論

量子力學界將薛定諤表現出的隨心所欲引以為傲，這一點充分表現在費曼對薛定諤方程的下述評價[[5]]：

【

We do not intend to have you think we have derived the Schrödinger equation but only wish to show you one way of thinking about it. When Schrödinger first wrote it down, he gave a kind of derivation based on some heuristic arguments and some brilliant intuitive guesses. Some of the arguments he used were even false, but that does not matter; the only important thing is that the ultimate equation gives a correct description of nature.

……

Where did we get that from? Now here. It’s not possible to derive it from anything you know. It came out of the mind of Schrödinger, invented in his struggle to find an understanding of the experimental observations of the real world.

中譯文：

我們並不想讓你認為我們已經推導出了薛定諤方程，隻是想向你展示一種思考它的方式。當薛定諤第一次寫下這個方程時，他是基於一些啟發式的論據和一些非常聰明的直覺猜測得出的。他使用的一些論據甚至是錯誤的，但這並不重要；唯一重要的是，這個最終方程能夠正確地描述自然界。

......

這是從哪兒來的呢？哪兒都不是。從你知道的任何東西裏都推導不出來。它是薛定諤從頭腦中創造出來的，是他在努力尋找對現實世界實驗觀察的理解時發明的。

】

聽他的口氣就好像自然的規律都裝在他們的腦袋裏所以他們可以隨用隨取不麻煩借用嚴格的邏輯依據似的。不過，費曼的話裏麵有幾個嚴重的問題。

其一，所謂的對世界實驗觀察的理解是一個人自己的理解而已，薛定諤方程隻不過定性地符合了當時發現的基本粒子的所謂的二分之一的量子數以及基本粒子在一些場合下表現出來的波動性而已，而他忽略或者不知道的是薛定諤方程滿足的德布羅意波長是錯的，而且它滿足的愛因斯坦能量公式並不適用於薛定諤方程所代表的一般粒子。

其二，費曼所謂的薛定諤的發明其實不過是針對波動性這一點運用在之前的幾百年裏已知的的基本波動方程來湊出一個解而已，並不像聽上去那麽玄乎，而這一點本身也就意味著它的普適性本身很有可能因為它是湊出來的而受到實際的限製。

其三，費曼所謂的“Some of the arguments he used were even false”是避重就輕。實際情況是，薛定諤用了不合他的前提邏輯的數學表達式，使得他的整個推導或整個公式完全脫離了他試圖營造的經驗基礎。換句話說，由於薛定諤在推導公式過程中的邏輯缺陷，他的結果更符合費曼所說的由薛定諤腦袋裏製造出的，而不是能令人信服地具備自然之物質基礎的。

3.1.1. 薛定諤之推導的實際曆史作用

薛定諤方程為物理學界提供了一個可供分析量子動力學的數學工具，而薛定諤所發表的推導過程的一個主要曆史作用其實就是營造了一個量子力學是有著來自經典哈密爾頓力學之經驗基礎的形象，因此具有天然的合理性。此外，薛定諤的另一個作用就是讓他的波函數是複數，這一點對於日後其他人修改薛定諤方程的意義及形式都很重要。

3.2. 哥本哈根學派對波函數的重新解釋

有關薛定諤方程的（隨心所欲的）改編的第一步則是由哥本哈根學派的波恩出來將薛定諤方程的波函數的意義進行修改。當初薛定諤將他的方程中的波函數人為地解釋為粒子的電荷強度。從經典力學的角度聽起來薛定諤的這種解釋還是比較容易接受的，因而也有助於他所要營造的他的方程是有著經典力學的經驗基礎的形象的。

但是，既然薛定諤對他的方程的推導已經完成了形塑量子力學與經典物理的經驗基礎的天然關係的任務，也就失去了堅守對薛定諤方程的波函數之電荷強度的人為解釋的必要性了。波恩將薛定諤的波函數的模解釋為一個粒子出現在某個條件場合的概率密度【[6],[7],[8],[9]】。

繼波恩之後，基於波函數的概率解釋或者可以說是對於概率波動力學的直接應用，海森堡【[10],[11]】提出了他的著名的測不準原理。

3.3. 費曼對薛定諤方程的推導

推導薛定諤方程是費曼在諾貝爾獲獎講座上炫耀的一個點【[12]】。盡管費曼好像從未發表過他自己的相關推導過程，我查到在網上找到一篇署名為 David Derbes的介紹費曼推導過程的文章【[13]】。作者沒有交待他和費曼的關係或從哪裏弄到的費曼的推導過程。

Derbes可能對於薛定諤在其諾貝爾獲獎文章【1】中由（3）式得出（16）式的步驟感到不滿意，又不願象我一樣直接認定薛定諤的（16）及（32）是湊出來的，所以他在上述文章【13】中首先用薛定諤的（3）式幫薛定諤推導了一下他的（16）式。

考慮到我們這裏是在挑作為整個量子力學之基礎的薛定諤方程的毛病，甚至可以說是在挑戰整個20世紀物理學的基礎，我們有必要認真如實地對任何可能有效的推導尤其是象費曼這樣的重量級人物的推導過程進行認真的檢驗，既然Derbes也給出了他自己幫助薛定諤推導他的方程的步驟，那麽我們也應該順便將他的推導檢驗一下。

但另一方麵，因為相關推導過程涉及很多數學細節，這對於大多數沒有經過物理或力學訓練的讀者可能比較枯燥。因此，我在接下來的幾節的討論中，將隻列出能說明問題的關鍵步驟，而將詳細的步驟放在附錄中供感興趣的讀者查證。對Derbes自己幫薛定諤推導他的（16）之過程的詳細檢驗放在附錄I，對Derbes給出的費曼推導薛定諤方程的過程的詳細檢驗放在附錄II。

接下來包括附錄在內的討論中為了方便直接從原文中摘取數學式子，我將直接采用他們文中的數學符號以及表達式序號。我自己補充的表達式的序號將繼續用*表示。

3.3.1. 檢驗Derbes補推薛定諤的（16）式的步驟

Derbes首先按照我上麵提到的薛定諤文中的（9）式的思路，取波函數的形式為

這裏的S相當於薛定諤文中的哈密爾頓函數W，a就相當於薛定諤的（9）式中的A。

經過一番操作（詳見附錄I）之後，他得到

其中U為勢能，E為總能量，ψ*為ψ的共軛複數。

然後，他將（3.8）式的左邊命名為M，並將它對x進行積分，並將該積分命名為T：

到這一步為止，他的推導應該還算是中規中矩。但是下麵這一步就有點不太規矩了。

他將ψ*作為一個廣義坐標，從而將（3.9）式看作是拉格朗日方程，並對之運用歐拉-拉格朗日公式，從而得到：

將（3.9）式中的M代入（3.10）式我們便可得到：

這就是薛定諤的（16）式的一維形式。

我之所以說上麵這步不規矩，是因為（3.8）式已經限定了M=0，這時他就不能再對（3.9）式運用歐拉-拉格朗日公式了。

此外，Derbes應該也意識到了薛定諤在他自己的文中選了最簡單的波動方程（15）式以後的推導與之前所討論的哈密爾頓力學並沒有直接關係，因此想要幫助薛定諤來重塑其著名方程與哈密爾頓力學之間的關係。但是，Derbes他沒有意識到的是：

首先，他所用到的薛定諤的（3）本身就不是嚴格地按照薛文中的（2）式推導出來的（因為按照他的(2)式，薛定諤的(3)連單個粒子的在引力場中的自由落體運動都不滿足。。。當然，也正是因為薛定諤的（3）式本身就是湊出來的，Derbes將它稍作修改也就無妨了）；

其次，Derbes他自己任意選定（3.3）為波函數的表達式本身與薛定諤選他的（15）式同樣屬於是湊出結果來，而不是嚴格地從哈密爾頓力學推出結果來的。相應地，Derbes也就並未能比薛定諤本人賦予薛定諤方程與哈密爾頓力學之間的更緊密的邏輯關聯。

3.3.2. 費曼對薛定諤方程的推導

在檢驗Derbes給出的費曼對薛定諤方程的推導之前，我們有必要注意到這樣幾點相關背景：

首先，發表Derbes的相關文章的美國物理雜誌（Am J. Phys）給該文做了這麽一個注：

從這個注中我們基本可以肯定，費曼隻是給世人講了一個他依據狄拉克的一篇文章來推導薛定諤方程的故事，但除了簡單地介紹了他的思路之外並未正式發表過他的推導。（Derbers也沒有交待他是如何獲得費曼的推導的）。

第二，從本文的參考文獻中費曼的諾貝爾獲獎講座【12】以及本節討論的Derbes的文章【13】中你們都可以找到費曼的那個故事。。。。不過，那個故事讓我感到一絲涼意。

我在之前文章中曾提到的薛定諤明明是湊出來他那個獲獎方程，卻還要（可以說是）藝術性地營造出他是嚴格地從哈密爾頓力學出發並參考了惠更斯與費馬的思路推導出來的氛圍。。。。而費曼講述的那個故事讓再次感受到了一種用藝術影響讀者的邏輯判斷的味道。。。。在本節結束時我會指出為什麽我會有那樣的感覺。

第三，這裏有必要特別提醒讀者去回味本文前麵3.1.節引用的費曼的那兩段話。。。。

接下來我們來看Derbes給出的費曼對薛定諤方程的推導。

首先，費曼的出發點不是薛定諤的文章，而是一個據稱是來自狄拉克一篇題為“The Lagrangian in Quantum Mechanics”的文章【[14]】的在時間域內的積分變換：

那篇文章裏並沒有明確地給出上麵的（4.1），因此（4.1）式應該是費曼或者費曼的故事裏的Jehle教授按照自己對狄拉克的文章的解讀列出的。

費曼假設（4.1）中的G(x,y)是如下的形式：

其中的指數與前麵（3.3）中的指數一樣，S為拉格朗日作用積分。相應地，在很小的一個時間間隔ε裏我們有：

其中 拉格朗日函數L = K – U, K是運動粒子的動能，U是運動粒子的是能。因為時間間隔ε很小，我們有：

費曼又令x – y = ξ 以便對小ξ值時的積分進行考察。然後經過一番包括針對ε和ξ的泰勒展開（詳見附錄II），他得到：

將（4.16）整理一下，我們有：

當ε趨於零時，（4.17）就是前麵我們給出的薛定諤方程的（*）式。

上麵的整個步驟我都檢驗了一遍，並沒有發現如前麵一節中Derbes對M=0運用歐拉-拉格朗日公式那樣明顯的不規矩之處。

3.3.1. 討論

在這一部分裏，我們將從幾個不同的角度來對費曼的推導進行討論。

1）從上麵介紹的推導過程來看，費曼的推導似乎並不存在什麽不妥。但實際上，費曼的推導之邏輯缺陷在於作為他的推導的邏輯前提，而他的邏輯前提中的缺陷又集中反映在了他在他的諾貝爾獲獎講座上講的那個故事裏。很顯然，費曼完全沒有料到他當初的那個原以為可以有效地誘導讀者注意力的妙筆生花的故事可以成為泄露他的心機之畫蛇添足的一筆。我們先來看費曼的那個故事的內容【12,13】:

【So that didn’t help me very much, but when I was struggling with this problem, I went to a beer party in theNassau Tavern in Princeton. There was a gentleman, newly arrived from Europe (Herbert Jehle) who cameand sat next to me. Europeans are much more serious than we are in America because they think that agood place to discuss intellectual matters is a beer party. So, he sat by me and asked, “what are you doing”and so on, and I said, “I’m drinking beer.” Then I realized that he wanted to know what work I was doingand I told him I was struggling with this problem, and I simply turned to him and said, “listen, do youknow any way of doing quantum mechanics, starting with action – where the action integral comes into thequantum mechanics?” “No”, he said, “but Dirac has a paper in which the Lagrangian, at least, comes intoquantum mechanics. I will show it to you tomorrow.”

……

 

 

Professor Jehle showed me this, I read it, he explained it to me, and I said, “what does he mean, they areanalogous; what does that mean, analogous? What is the use of that?” He said, “you Americans! You alwayswant to find a use for everything!” I said, that I thought that Dirac must mean that they were equal. “No”,he explained, “he doesn’t mean they are equal.” “Well”, I said, “let’s see what happens if we make themequal.”So I simply put them equal, taking the simplest example where the Lagrangian is ½Mx – V(x) but soonfound I had to put a constant of proportionality A in, suitably adjusted. When I substituted  for K to get

and just calculated things out by Taylor series expansion, out came the Schrödinger equation. So, I turned to Professor Jehle, not really understanding, and said, “well, you see Professor Dirac meant that they were proportional.” Professor Jehle’s eyes were bugging out – he had taken out a little notebook and was rapidly copying it down from the blackboard, and said, “no, no, this is an important discovery. You Americans are always trying to find out how something can be used. That’s a good way to discover things!” So, I thought I was finding out what Dirac meant, but, as a matter of fact, had made the discovery that what Dirac thought was analogous, was, in fact, equal. I had then, at least, the connection between the Lagrangian and quantum mechanics, but still with wave functions and infinitesimal times.】

接下來我們再來看一下費曼所說的狄拉克文章【14】中的analogous到底是不是他所說的“equal”：

【The work of the preceding section now shows that

where L is the Lagrangian. If we take T to differ only infinitely little from t, we get the result

 

 

The transformation functions in (8) and (9) are very fundamental things in the quantum theory and it is satisfactory to find that they have their classical analogues, expressible simply in terms of the Lagrangian. We have here the natural extension of the well- known result that the phase of the wave function corresponds to Hamilton's principle function in classical theory. The analogy {9) suggests that we ought to consider the classical Lagrangian, not as a function of the coordinates and velocities, but rather as a function of the coordinates at time t and the coordinates at time t + dt.】

 

對比費曼和狄拉克的原文，我們可以明顯看出費曼完全是混淆了兩個不同的概念。對於狄拉克來說，他用analogy的目的是要給他的量子力學理論找到經典力學的天然基因，屬於物理機製層麵的關聯性，而費曼則用“equal”一詞將物理上的類比變成了數學上相等的意義了。費曼的這種以強勢的口氣將物理上的類比改為數學上的相等製造了這樣一個人為的邏輯效果：狄拉克所談論的量子力學與經典力學之間的關聯根本是多餘的，因為它們就應該一樣，不存在人為類比的問題。

三個月前，我在“詭辯與洗腦”【[15]】一文中指出：

【

被用於洗腦的比較典型的一類詭辯就是以肯定的口氣把並不能確定為事實的內容作為確定的事實或已知的結論講出來，然後在這個前提下再展開其它的討論。

】

當然，對於作為諾貝爾獎獲得者的物理學大人物費曼我們不能說他在故意對整個世界的讀者進行洗腦，也不能說他是故意詭辯，隻能說他自己出現了邏輯上混亂。不過，他的這種邏輯混亂確實已經實實在在地起到了給全世界進行半個來世紀洗腦的作用。

那麽，費曼講那個故事到底純粹在獲得諾貝爾獎之後出於對曆史及故人的往事的感慨而一時興致所至的分享呢，還是他精心設計的呢？這裏我們再回顧一下前麵3.1.節引用的費曼的那句話：

【We do not intend to have you think we have derived the Schrödinger equation but only wish to show you one way of thinking about it.】

費曼的這句話出現在1965年出版的Gottlieb, M.A.和Pfeiffer, R. 編寫的Feynman Lectures中，而費曼正是1965年獲得諾貝爾獎的。因此，基本可以肯定費曼上麵這句話應該是在費曼講前麵那個故事之前說的。但是，費曼所講的那個故事肯定發生在上麵這句話之前，也就是說，費曼是在他已經將狄拉克所做的物理學類比改為數學相等並在那基礎上推導出了薛定諤方程之後講的上麵那句話。這樣一來，費曼的上麵這句的意義以及他在說完這句話之後又在諾貝爾獲獎講座上講那個故事的用意就有點耐人尋味了。不過對於費曼這樣的大人物我們還是盡量往好了想從而認定他講那個故事隻是為了使講座更生動活潑一些而已。

2）很顯然，費曼所依據的狄拉克的那篇文章的最致命的要害不是狄拉克所構造的數學表達是否合理，而在於他所進行的物理學的類比是否合理。如果那兩種物理學過程並不存在他所聲稱的類比，那麽他所進行的數學形式上類比就完全失去合理性。

在本文後麵我會談到薛定諤方程與哥本哈根學派之間的哲學不相容性問題。不過，即便不去考慮哥本哈根學派對於薛定諤方程的詮釋，單從目前已知的量子領域存在的諸如量子隧道和量子纏繞這些的現象來看，我們完全沒有理由認為這背後的物理機製可以用描述局部連續的單值確定之經典力學問題的哈密爾頓力學來表達。這就決定了狄拉克在他的文章【14】中將量子力學與哈密爾頓力學進行的類比完全不具備物理學（哲學）上的合理性！

3）我對狄拉克的那篇文章【14】的一些具體內容感到困惑，我將我的困惑寫在了本文的附錄III中，以供讀者參考。不過我對狄拉克那篇文章的相關困惑並不重要，重要的是費曼以（4.1）和（4.11）為其推導的出發點（詳見附錄II）所存在的邏輯上的缺陷。

其實，不論狄拉克的文章【14】中的數學構造是否合理，很顯然在過去幾百年的經典力學中沒有人會把費曼所用的（4.1）作為自然界的普適物理定律。

首先，其中的本身不具有任何實際的物理意義，需要人為地賦予。既然本身不具有任何實際的物理意義，那麽（4.1）式就隻是一個純粹的數學表達式。

其次，即便假設（4.1）式是在某個特定條件下求解哈密爾頓方程時得出的一個關於帶有某種特殊意義之的解，我們還需要人為地特別假設其中的G(x,y) 為（4.11）所表達的形式。就憑這一點，（4.1）配上（4.11）就不可能是一個普適的自然規律。

4）很顯然，由（4.1）出發選擇（4.11）為其中的G(x,y)這個做法與薛定諤從他的（15）式出發，假定其中的解對時間的依賴僅表達為的形式是異曲同工的。。。。這就是為什麽兩者可以得出同樣的解的原因。但問題在於這兩者都不是如他們所要形塑的那樣從經典的哈密爾頓力學的基本原理出發得到的；更遑論如前麵提到的，量子現象與哈密爾頓所表達的經典宏觀力學現象在物理機製上就沒有可類比性。

3.4. 狄拉克的影響

除了費曼用狄拉克的文章【14】推導了薛定諤方程之外，狄拉克自己也用他的那套BraKet的算符數學試圖推導薛定諤方程【[16]】。

過去兩年裏我在不同場合反複指出過：數學汙染【[17]】是導致20世紀物理學亂象的一個重要的原因。而狄拉克對量子力學運用他的那套BraKet算符數學的做法在我看來就是物理學中的數學汙染的一個典型例子。相應地，對於狄拉克的文獻【16】我隻是比較粗略地過了一遍與薛定諤方程相關的段落，重點檢查他的相關邏輯流程。

不過，我可以肯定的一點是：盡管狄拉克在他的文獻【16】中同樣隻是試圖營造他對薛定諤方程的演算是直接來自哈密爾頓力學，但是，他在運用他的算符力學時做了一些人為的假設。例如：

【Let us try to introduce a quantum P.B. which shall be the analogue of the classical one. We assume the quantum P.B. to satisfy all the conditions (2) to (6), it being now necessary that the order of the factors u₁ and u₂ in the first of equations (5) should be preserved throughout the equation, as in the way we have here written it, and similarly for the v₁ and v₂ in the second of equations (5). These conditions are already sufficient to determine the form of the quantum P.B. uniquely, as may be seen from the following argument.】

 

【The strong analogy between the quantum P.B. defined by (7) and the classical P.B. defined by (1) leads us to make the assumption that the quantum P.B.s, or at any rate the simpler ones of them, have the same values as the corresponding classical P.B.s. The simplest P.B.s are those involving the canonical coordinates and momenta themselves and have the following values in the classical theory :

We therefore assume that the corresponding quantum P.B.s also have the values given by (8). By eliminating the quantum P.B.s with the help of (7), we obtain the equations

 which are the fundamental quantum conditions.】

等等。

 

在這樣的前提下，即便我們能夠退一萬步來承認狄拉克的力學與哈密爾頓的經典力學有著邏輯上的天然聯係，我們也隻能將它作為在狄拉克所做的特殊的假定的前提下可以成立的形式體係。

4.量子化

說起量子化，科普讀物呈現給讀者的通常是將包括物質以及時間和空間在內的物理世界細分為小於所謂的普朗克常數量級的範圍，然後對之運用量子力學的分析。概念聽上去挺簡單也好像挺合理。但是，在實際進行量子化操做的量子力學裏，量子化卻有著完全不同的具體涵義。在相關的文獻中人們甚至可能根本看不到科普讀物中概念化地描述的將宏觀世界進行細分的步驟，而隻有一些與細分世界並沒有什麽實際關係的數學操作。

今天文獻或科普教材中會提到掛著不同人名的不同的量子化的方法或理論，但究其根源基本上都與前麵討論的薛定諤方程有關，其中比較典型的當屬狄拉克獲得諾貝爾獎的那篇文章【[18]】。

4.1. 狄拉克著名的量子化文章

在他的諾貝爾獲獎文章【18】中，狄拉克的出發點是下麵這個所謂相對論化的經典力學哈密爾頓函數：

其中c是光速，W是總能量，e是電荷，m是質量，p是動量，A₀是標量勢，A是向量勢。狄拉克對上式運用下麵這個量子化操作（算式序號DLK*是本文為了方便敘述而加的）：

並將其中的算符作用在波函數ψ上，結果得到：

這就是量子化的一個奇怪操作。經過這麽一番操作，原本所謂的相對論化的經典力學哈密爾頓函數就成為了量子力學的哈密爾頓函數。很顯然，（DLK*）給出的隻是一種數學形式上的關係，其本身不具備任何直接的物理意義，將一個經典力學的數學關係中的能量和動量用上麵的（DLK*）中的關係變成對時間和空間的導數算符，然後再將波函數ψ插入到這些算符後麵去，就完成了將經典力學中的數學表達式進行所謂的薛定諤量子化的過程。

4.1.1.討論

這裏我們很容易看出：1）上述所謂的量子化過程用到的（DLK*）邏輯依據就是薛定諤方程。換句話說，如果沒有薛定諤方程就不會有狄拉克上麵所進行的量子化操作；2）上述的量子化過程已經超出了薛定諤方程本身的應用範圍。所謂的量子化過程已經是連接經典力學與量子理論的紐帶，是凡要用量子理論對宏觀世界裏可以觀察到的現象之內在的微觀世界進行分析研究必有的步驟，哪怕在這些分析研究中人們如狄拉克在他的文章【18】那樣並沒有直接用到薛定諤方程。

但是，從本文前麵的討論中可知薛定諤方程的建立過程中是存在著邏輯缺陷的，這意味著作為今天整個量子理論之基礎的量子化本身就存在著邏輯缺陷的。這樣一來，除了之前我們已知的相對論動量是不具有任何物理意義的數學表達式之外，量子化過程本身的邏輯依據也存在著缺陷。

不過另一方麵，從前麵對於薛定諤方程的推導過程中我們也可以看出，與相對論動量完全僅是一個數學表達式不同，薛定諤方程在一定的程度上確實反映了基本粒子的波動性以及實驗中發現量子運動的一些特征。為了方便理解，我們可以將薛定諤方程與物理實驗中用到的曲線擬合進行類比。一個用來擬合一組離散點的曲線並一定能正確地預測所有的測量數據，但在很多情況下確實能很好地反映用來進行曲線擬合的那組數據。。

4.2. 狄拉克諾貝爾獲獎文章的價值

一年半前我曾對狄拉克的諾貝爾獲獎文章【18】進行過討論【[19],[20],[21]】。不過當時由於剛推翻狹義相對論不久，對於20世紀物理學的整體性了解過於粗淺，所以在討論中對於狄拉克文中所存在的缺陷缺乏足夠的底氣來麵對。當時隻注意到狄拉克所用到的相對論動量不具有任何真實的物理意義，對於他所進行的量子化本身的問題沒有絲毫的概念。另外，當時我還沒有認識到愛因斯坦的著名的質量能量關係應該被修改為E=mc²/2【[22],[23],[24],[25],[26],[27]】，與之相應地，我當時甚至認為海維賽德（Heaviside）的理論可以幫助相對論解套。經曆過去一年半多時間對於相對論的錯誤的更深入的了解，今天我自然不會再有那樣的幼稚看法了。

不過說到20世紀物理學家們的運氣狄拉克的運氣確實不錯。如我在一年半前的分析狄拉克方程的討論中指出的，雖然所謂的相對論動量與經典的動量之間沒有關係因而不符合動量守恒定律，但在狄拉克推導他的那個諾貝爾獲獎方程式的過程中並沒有真正涉及到動量守恒，這種情況下，他將那個被稱為相對論動量的純數學表達式叫做什麽都無所謂了。而他的那篇文章更是使得今天整個量子領域能夠感覺良好的一個重要裏程碑，因為物理學界聲稱那篇文章預言了電子正反自旋以及正電子的存在。

但另一方麵，既然我們現在知道了狄拉克所采取的量子化的操作所依據的薛定諤方程其實也隻是在一定程度上反映了自然，而不是過去大半個世紀裏物理學界試圖讓世人們以為的那樣完全真實地反映了自然，那麽看來狄拉克的獲獎文章的成功的運氣就不僅僅是碰巧錯過了相對論動量的缺陷那一條了。

人的一生中確實很多時候要憑運氣取得成就，但是如果整個物理學界把自己的成功建築在想象出的運氣上的話，就難免會出現20世紀物理學的一地雞毛的狀況【[28],[29],[30],[31]】。

4.2.1. 2013年我對狄拉克獲獎文章的討論

我將我2023年對狄拉克的獲獎文章的討論進行了整理，並將其放在附錄IV中，其中就有物理學界所聲稱的狄拉克預言電子正反自旋以及正電子的存在所出現的形式。

順便提一下，2023年我討論狄拉克方程時的一篇重要的參考文獻是由名叫Kevin S. Brown建立的著名科普網站mathpages.com上的一篇題為“The Dirac Equation”文章【[32]】，其中他將狄拉克的量子化關係表達為：

 （**）

而他的出發方程為： （***）

因為（***）本身就是一個方程而不像上麵提到的狄拉克文章【14】中的那個F隻是一個被他稱為相對論化的哈密爾頓函數的非零的數學表達式而已，所以Brown在他的文章中將（***）因式分解後再用（**）對其進行量子化而得到他的下麵這個方程（6）就顯得不那麽突兀：

當然，那篇文章的作者如狄拉克本人一樣，完全不知相對論存在的問題，更不知薛定諤方程有什麽缺陷了。他僅是努力將狄拉克的原始推導修改得讓一般讀者更不覺得別扭而已。

5. 結束語

薛定諤，費曼，和狄拉克三個人對於薛定諤方程的推導的兩個個基本的共同特點：其一，他們不但都從經典力學的數學框架出發的而且還都努力營造他們的推導與經典力學有著天然的內在關聯；其二，作為他們的方程的基本變量的波函數ψ沒有任何實際的物理意義，從而需要人為額外地定義它的物理意義，這就為哥本哈根學派對薛定諤方程最原始的意義進行修改提供了機會。但另一方麵，薛定諤，費曼，和狄拉克的思維方式或者說他們之相關學術作為的哲學指導顯然與對他們所推導的結果的物理意義進行修改的哥本哈根哲學是格格不入的。這是因為經典力學所依據的經驗基礎就是連續性的決定論力學，而哥本哈根所倡導的不但不連續而且連決定論都被否定了。非要將這兩種幾乎是水火不相容的哲學理念形塑為水乳交融的一體本身就是荒唐的，是20世紀物理學的一個典型特征。當然，通過本文前麵的討論我們現在知道薛定諤費曼和狄拉克他們所要營造的來自經典力學的基因本身就缺乏合理的邏輯依據，而哥本哈根的概率波詮釋也已經被阿秒實驗打了臉【[33],[34],[35],[36]】。但這並不能否定這樣一個既定事實：包括費曼狄拉克和哥本哈根學派在內的20世紀物理學主流的精英們居然可以心安理得地讓他們努力營造為經典力學的私生子的薛定諤方程和他們對薛定諤方程的波函數進行的概率詮釋這兩個在哲學邏輯上完全對立的概念相安無事地共處一室大半個世紀，且將它們共同編入中學以上的物理學教科書！20世紀的物理學就是這麽樣地一地雞毛。

上麵這段討論是盡量往好了看。如果再悲觀一點，我們甚至似乎可以看到這樣一幕超現實大戲：兩撥物理學家們分工合作，由一撥人用連續性的經典力學為幌子得出一個令人容易接受的貌似天然合理的方程，然後把接力賽的棒子交給下一撥人來借殼上市偷換概念，將連續的確定性的經典物理的方程中的變量詮釋為不但不需要連續而且可以隨機出現在任意點處的變量。有人把曆史描述成可任人打扮的小姑娘，而在20世紀物理學家手中的物理學成了可以任人揉捏的橡皮泥。。。當然，如前所述，這是一種過度悲觀的想象。實際上，薛定諤，費曼，狄拉克，以及哥本哈根學派他們隻是在客觀上形成了這樣曆史上既成事實的分工合作，但在主觀上並不存在任何故意違反科學邏輯的願望，隻不過由於他們的曆史局限性而一不小心把20世紀的物理學搞成了一地雞毛而已。

 

 

附錄I. Derbes補推薛定諤的（16）式

Derbes先按照我前麵提到的薛定諤文中的（9）式的思路，取波函數

這裏的S相當於薛定諤文中的哈密爾頓函數W，這裏的就等於h/2π，a就相當於薛定諤的（9）式中的A。他隻考慮一個自由度（一維）的情況，所以將薛定諤文中的（3）表達為：

其中U為勢能，m為質量。由上麵的（3.3），我們不難得出文中的（3.5）：

接下來他將（3.4）中的平方項改寫為，其中是的共軛複數。這一步對原文算是有一點修改，因為在薛定諤的原文中隻有波函數ψ是複數，哈密爾頓函數W並不是複數。不過考慮到薛定諤的（3）式本身就不是嚴格推導出來的，這點修改是沒有問題的。

接下來他按照薛定諤文中的（4）式的思路並運用上麵修改後的平方項將上麵的（3.4）式改寫為：

接下來他運用了複數求導的這個知識：(F*)’ = (F’)*, 1/F* = (1/F)*，並運用（3.5）式，由（3.6）式得出文中的（3.7）：

然後他將（3.7）整理後得到：

然後，他將（3.8）式的左邊命名為M，並將它對x進行積分，並將該積分命名為T：

到這一步為止，他的推導應該還算是中規中矩。但是下麵這一步就有點不太規矩了。

他將ψ*作為一個廣義坐標，從而將（3.9）式看作是拉格朗日方程，並對之運用歐拉-拉格朗日公式，從而得到：

將（3.9）式中的M代入（3.10）式我們便可得到：

這就是薛定諤的（16）式的一維形式。

我之所以說上麵這步不規矩，是因為（3.8）式已經限定了M=0，這時他就不能再對（3.9）式運用歐拉-拉格朗日公式了。

此外，Derbes之所以會替薛定諤補上由薛定諤的（3）到薛定諤的（16）的推導應該是因為他意識到了薛定諤在他自己的文中選了最簡單的波動方程（15）式以後的推導與之前所討論的哈密爾頓力學並沒有直接關係，因此想要幫助薛定諤來重塑其著名方程與哈密爾頓力學之間的關係。但是，Derbes他沒有意識到的是：

首先，他所用到的薛定諤的（3）本身就不是嚴格地按照薛文中的（2）式推導出來的（因為按照他的(2)式，薛定諤的(3)連單個粒子的在引力場中的自由落體運動都不滿足。。。當然，也正是因為薛定諤的（3）式本身就是湊出來的，Derbes將它稍作修改也就無妨了）；

其次，Derbes他自己任意選定（3.3）為波函數的表達式本身與薛定諤選他的（15）式同樣屬於是湊出結果來，而不是嚴格地從哈密爾頓力學推出結果來的。相應地，Derbes也就並未能比薛定諤本人賦予薛定諤方程與哈密爾頓力學之間的更緊密的邏輯關聯。

 

附錄II. 費曼對薛定諤方程的推導

首先，費曼的出發點不是薛定諤的文章，而是一個據稱是來自狄拉克一篇題為“The Lagrangian in Quantum Mechanics”的文章【14】的在時間域內的積分變換：

接下來費曼假設（4.1）中的=，其中等號右邊的指數函數與前麵（3.3）中的指數函數一樣，S為拉格朗日作用積分。相應地，在很小的一個時間間隔ε裏我們有：

其中拉格朗日函數L = K – U， K是運動粒子的動能，U是運動粒子的是能。因為時間間隔ε很小，我們有：

將（4.3）代入到上麵費曼對G(x,y)的猜測中，我們有：

（4.4）等價於下麵的（4.5）：

然後，費曼將（4.5）式中的第二個指數函數針對ε進行泰勒展開：

將（4.6）代入到（4.1）中之後我們得到：

考慮到和ε都很小，費曼（合理地）認為（4.7）中的第一個指數函數隻有當x – y也很小時才對積分有明顯貢獻，因此，他令x – y = ξ 以便對小ξ值時的積分進行考察。相應地，（4.7）便被改寫為：

然後將（4.8）中的針對小ξ進行泰勒展開，我們可得到：

按照費曼在他的諾貝爾獎獲獎講座上給出的故事，到這一步時他發現按照他最初所做的假設= 有問題，因為（4.8）和（4.9）會導致

（4.10）左右兩邊是不等的。所以，他知道需要在他最初的假設中引入一個常數。於是他將最初所做的關於G(x,y)的假設做了修正為：

這樣就可以解決（4.10）左右兩邊不等的問題了。然後對（4.8）中的勢能U取一個（合理的）近似：，我們可以得到：

其中第一個積分得出的常數係數與費曼新引入的係數A抵消了，的第二個積分為零（讀者可以自己驗證）。然後用下麵這個積分公式（讀者可以用各種AI積分軟件去驗證這個公式，我驗證後沒問題）：

我們可得出（4.13）的最後一項為：

這樣費曼就得到了：

將（4.16）整理一下，我們有：

當ε趨於零時，（4.17）就是前麵我們給出的薛定諤方程的（*）式。

上麵的整個步驟我都檢驗了一遍，沒有發現如前麵一節中Derbes對M=0運用歐拉-拉格朗日公式那樣明顯的不規矩之處。

附錄III. 關於狄拉克“The Lagrangian in Quantum Mechanics”一文的困惑

我本人感覺狄拉克的早期文章（如他獲得諾貝爾獎的那篇文章）還比較容易讀，而他發明了關於所謂的算符（operator）數學的Braket之後，他的文章讀起來就很別扭了，他的“The Lagrangian in Quantum Mechanics”【14】這篇文章就是一個很典型的例子（至少對我來說是這樣的）。

我在之前分析薛定諤的諾貝爾獲獎文章時曾指出，薛定諤該文中的（7）式與（2）式是矛盾的，他是無法嚴格地由（2）式得出（7）式的，但是，薛定諤愣是用一句“眾所周知”作為推導邏輯來直接給出（7）式。在狄拉克的文章【14】中，我又看到了薛定諤用過的那種 “眾所周知”邏輯。

比如，按照哈密爾頓-力學，我們有所謂的漢密爾頓運動方程的標準形式:

                                                                      （III*）

但是，在狄拉克的上述那篇文章中，他用下麵這個類似薛定諤的“眾所周知”邏輯給出了一組關係（其中的方程序號為狄拉克上述文章【14】中的方程序號）：

Let the two sets of variables be p_r, q_r. and P_r, Q_r, (r = 1, 2 ... n) and suppose the q's and

Q's to be all independent, so that any function of the dynamical variables can be expressed in terms of them. It is well known that in the classical theory the transformation equations for this case can be put in the form

where S is some function of the q's and Q's.

乍看起來，狄拉克的（1）與真正眾所周知的哈密爾頓方程（III*）似乎很像。但再仔細一看，它們基本不搭嘎。（III*）中的q_i和p_i是相空間中任意點處的（廣義）空間位置和動量，而狄拉克的（1）式中的q_r和p_r與 Q_r和P_r是同一相空間中的兩個不同點上的空間坐標和動量。哈密爾頓方程中的任意點i上的H是q_i和p_i的函數，而狄拉克的（1）式中的S則同時是任意兩個獨立點的q_r和p_r與 Q_r和P_r的函數，它的意義是在q_r和p_r與 Q_r和P_r之間做變換的函數：

這裏讓我感到別扭的是：既然你說q_r和p_r與 Q_r和P_r是相互獨立的兩個點，那麽它們應該是可以互換的，在這個前提下它們表達式應該是對稱的，但為什麽（1）式中的兩個式子不具對稱性，而是一個有負號一個沒有？ ---- 這是我在讀該文時的一大困惑之處，寫出來希望能對其它不熟悉狄拉克文章的讀者起到一點提醒作用。

該文中唯一看起來與費曼的（4.1）式聯係得上的隻有它的（12）：

但我還是無法將狄拉克的（12）與費曼的（4.1）直接聯係上。所以，將這些問題寫在這裏，如果有讀者對這個問題熟悉，歡迎出來解惑指教。

附錄IV. 作者2023年對狄拉克方程推導過程之思路的討論

首先，狄拉克選了一個哈密爾頓函數：

                    (IV.1)

其中A₀和A是電磁場的勢能，e是電荷，p是動量，W是能量。

狄拉克對（IV.1）做了如下的量子化（quantization）的操作：

                                                              (IV.2)

並令量子化後的哈密爾頓函數為零從而得到：

            (IV.3)

這就是量子化的一個奇怪操作。要知道前麵關於F的原始定義本身是不會等於零的，這裏之所以能等於零是因為他的所謂的量子化過程引入了複數。經過這麽一番操作，原先的相對論化的經典力學哈密爾頓函數就成為了量子力學的哈密爾頓函數

他略去電磁場勢能後得到：

                                                                        (IV.4)

其中的

狄拉克做了一個線性假設，聲稱相對論要求p₀, p₁, p₂, p₃都是對稱的，所以哈密爾頓函數必須是線性的，所以（IV.4）可以降階為：

                                                (IV.5)

其中α₁,α₂,α₃,和β獨立於p₀, p₁, p₂, p₃。接下來他又做了一個假設：他說由於這裏考慮的是粒子在真空中運動，所以哈密爾頓函數不應該含有t, x₁, x₂, x₃，所以α₁,α₂,α₃,和β也獨立於t, x₁, x₂, x₃。根據這一點他認為我們應該可以將（IV.5）式擴展為：

                  (IV.6)

從上麵（IV.4）到（IV.6）的操作我們可以看出，狄拉克很奇怪地把原本可以一步進行的因式分解化作兩步：先用一個線性假設將（IV.4）降冪為（IV.5），再用一個線性假設將（IV.5）升冪為（IV.6）。

狄拉克在將（IV.4）變為（IV.6）的過程中提出了兩個線性假設，它們對於因式分解來說是不需要的，因為將（IV.3）直接進行因式分解其實嚴格來說並不需要線性假設的，因此狄拉克的這兩個線性假設是為他接下來的推導所做的假設而已。

將（IV.6）展開之後與（IV.4）對比，我們可以得到：

                                          (VI.7)

狄拉克進一步將β取值為：

                                                                                            (IV.8)

則上麵的關係變為：

                             (IV.9)

接下來他做了一個逆向邏輯操作，這一操作使得他的推導完全就不是一般的邏輯推導，而是一種構造。而他之所以進行這種構造的原因很顯然是因為他事先已經知道了泡利大師的旋轉矩陣所具有的特性。他首先選取泡利大師的下麵這三個著名的旋轉矩陣：

                                   (IV.10)

這三個矩陣滿足下式：

                                                          (IV.11)

於是狄拉克聲稱（IV.11）和（IV.9）是一樣的。當然，這裏他打了馬虎眼，因為（IV.9）是單純數值之間的關係而（IV.11）是矩陣之間的關係。（IV.11）中的1不是數值1，而是單位矩陣。接下來他將泡利矩陣進行擴展：

             (IV.12)

並按照上麵三個矩陣另造三個：

            (VI.13)

他接著又再打馬虎眼，令：α₁=ρ₁σ₁, α₂=ρ₁σ₂, α₃=ρ₁σ₃,。這裏的馬虎眼比較大，因為他將前麵用來表示單純數值的α₁, α₂, α₃轉身一變成為了矩陣，而且是4階矩陣。狄拉克接著指出它們滿足和（IV.9）一樣的關係：

                                               (IV.14)

然後他將經過改頭換麵的α₁, α₂, α₃ 和β 代入(18)式，便得到：

                                                                         (IV.15)

其中的σ代表的是（σ₁, σ₂, σ₃）。（IV.15）式就是著名的狄拉克方程的最原始的形式。

到這一步為止，狄拉克既沒有涉及到電子的任何特性，甚至也沒有涉及到洛倫茲變換或任何狹義相對論的要素，這使得狄拉克感到有必要在得出（IV.15）式之後馬上在文章【18】的§ 3. Proof of Invariance under a Transformation.來證明（VI.15）式符合洛倫茲變換。

在證明了（28）式符合洛倫茲變換之後，狄拉克才在文章【18】的§ 4. The Hamiltonian for an Arbitrary Field 中重新引入電磁場勢能從而開始討論與電子有關的議題。在這一節裏他得出了電子的他稱為“貌似”旋轉的力矩表達式。

然後在§ 5. The Angular Momentum Integrals for Motion  a Central Field.狄拉克開始討論環繞中心運動的電子，也就是氫原子軌道上的電子的角動量守恒。在這推導過程中首先他強調隻是周期運動，其次這過程中沒有涉及到他所謂的動量的導數。在這一節中他得出電子正反自旋（正負）h/2的形式。

在§ 6. The Energy Levels for Motion in a Central Field中狄拉克開始討論環繞中心力運動的電子的能級問題。

這裏我可以看出：所謂的狄拉克方程預言了原子軌道上可以有自旋相反的電子是因為狄拉克人為地在他的方程中引入了泡利大師用來表達旋轉的矩陣，而不是直接推導出了的。而他能得出電子的反粒子即正電子存在的結論是因為(IV.6)式中包含了能量值（或質量值）的正負號相反的兩個方程。

當然，我們也不能因為上述的方程是構造出來的而且是逆階構造出來的而否認它是推導出的，畢竟我們可以將(VI.15)拆為16個非矩陣的方程，每個方程又都是和(IV.4)式一樣。

這裏最隨機的一步其實就是他選擇那個哈密爾頓函數，其中的所謂相對論動量隻是一個被稱為動量但實際並非動量的數學表達式，而其中的相對論能量也隻在非常有限的範圍內真正具有能量的意義。這就決定了狄拉克的哈密爾頓函數肯定不會在一般的情況下滿足最小作用原理所苛求的能量守恒。不過，在狄拉克所針對的真空（帶有或不帶有電磁場）中運動的單一帶電粒子來說，他所選的哈密爾頓函數中的能量具有實際意義。當然，狄拉克並不知道真正的質量能量關係不應該是E = mc²，而應該是E = mc²/2。

 

 

---

[[1]] Schrödinger, E. (1926). An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules, The Physical Review, Vol. 28, No. 6,  December, 1926. Retrieved from: https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf

【[2]】 戴榕菁 （2024）戲劇性的薛定諤

【[3]】 戴榕菁 （2024） 探秘薛定諤方程的推導

[[4]] Dai, R. (2024). A Short Survey of the Defects in Schrodinger's Derivation. Retrieved from: https://thefictionworldofrondai.wordpress.com/2024/09/04/a-short-survey-of-the-defects-in-schrodingers-derivation/

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[[6]]Wikipedia. Wave function. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_function. Last edited on 18 August 2024, at 12:29 (UTC).

[[7]]Wikipedia. Max Born. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Max_Born. Last edited on 3 October 2023, at 09:25 (UTC).

[[8]]Born, M. (1954).  Quantum Mechanics of Collision Processes. Retrieved from: https://web.archive.org/web/20201201173255/http://www.ymambrini.com/My_World/History_files/Born_1.pdf

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【[15]】戴榕菁（2024）詭辯與洗腦

[[16]]Dirac, P.A.M. (1958). The Principles of Quantum Mechanics. THE INTERNATIONAL SERIES OF MONOGRAPHS ON PHYSICS. GENERAL EDITORS W. MARSHALL, D. H. WILKINSON. OXFORD AT THE CLARENDON PRESS.FOURTH EDITION 1958. Retrieved from: https://gilles.montambaux.com/files/histoire-physique/Dirac-Principles%20of%20Quantum%20Mechanics%20.pdf

【[17]】戴榕菁（2023）數學汙染

[[18]]Dirac, P. A. M. (1928). "The Quantum Theory of the Electron". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 117 (778): 610–624. Retrieved from: https://royalsocietypublishing.org/doi/epdf/10.1098/rspa.1928.0023 

【[19]】戴榕菁（2023） 再談相對論的質量動量能量—領略20世紀物理學之奇幻

【[20]】戴榕菁（2023）搶救量子大兵---狄拉克方程不屬於狹義相對論

【[21]】戴榕菁（2023）幾點重大補充說明和結論

[[22]] Dai, R. (2023). “Modifying Mass-Energy Relationship”. Retrieved from: https://www.academia.edu/s/729360e67e?source=link

【[23]】戴榕菁（2023）很遺憾，看來E=mc2錯了。。。。

【[24]】戴榕菁（2023） 沒了洛倫茲，能量減半。。。。

【[25]】戴榕菁（2023） 關鍵是如何計算多普勒效應

【[26]】戴榕菁（2023） E=mc2/2之明確的物理意義，還有。。。唉

【[27]】戴榕菁（2023） E=mc2/2要求的糾錯

【[28]】戴榕菁（2024）現代物理學講究的是撞運氣？

【[29]】戴榕菁（2024）邏輯上錯誤的理論“蒙”出正確結果的原因

【[30]】戴榕菁（2024）錯誤理論可以蒙對的啟示

【[31]】戴榕菁（2024）定理和定律背後不同的邏輯與態度

[[32]] Brown， K.S. The Dirac Equation. www.mathpages.com. Retrieved from: https://www.mathpages.com/home/kmath654/kmath654.htm

【[33]】戴榕菁（2023）假如海森堡被挑戰了。。。。

【[34]】戴榕菁（2023）推翻（狹義）相對論意味著什麽？

【[35]】戴榕菁（2023）看來是實錘了。。。。

[[36]]Dai, R. (2023). Attosecond or Copenhagen?. Retrieved from: https://www.researchgate.net/publication/374740086_Attosecond_or_Copenhagen

[huiming1234]

重磅文章。

[慕容青草]

更具體地說，由本文的附錄IV可以看出：

1）狄拉克所謂的對正電子的預言不過是因為在不考慮勢能的前提下總能量是對時間導數的平方，而平方的根可以是正也可以是負。。。。物理學界將此說成是預言了正電子的存在，而幾年後他們確實發現了正電子。。。。你們說這能算是預言嗎？也許是，但更多的像是運氣，因為不論有沒有他這個所謂的預言，最重要的還是實驗中發現了正電子。。。。

2）狄拉克所謂的電子正反自旋其實是泡利的旋轉矩陣可以對應兩個不同方向的旋轉而已。。。。所以，他的這個所謂的預言不過是他發現他的方程中可以用到泡利的旋轉矩陣而已，這不能完全算是湊出的，可以算是狄拉克的功勞，不過也不是那麽玄。。。。

3）他之所以可以將一個沒有任何實際物理意義的數學表達式當成所謂的相對論動量，那是因為在他所針對的氫原子例子中，狄拉克所謂的動量分析並沒有真正涉及動量守恒，這應該算是運氣。。。。

4）至於他用E=mc^2而不是E=mc^2/2，這對他的所謂預言影響不大，因為他的所謂預言隻是定性的，而不是定量的。。。。

5）至於薛定諤方程與經典力學之間的關聯是他們營造出來的並不真實的表象這一點其實對他來說可能才是最致命的，最能說明他的所謂預言還真是運氣好撞上了。。。。

[慕容青草]

關於狄拉克的運氣這裏再補充幾句：

從本文的附錄IV（我2023年對狄拉克的獲獎文章的討論的整理）我們可以看出這幾點：

1）物理學界所吹捧的所謂的狄拉克預測電子正反自旋及正電子的數學結果根本就是他湊出來的而不是嚴格推導出來的；

2）由於他所研究的氫原子模型的特殊性，他的推導恰好躲過了相對論動量不具真實物理意義的問題；

3）至於他如何正好和基於薛定諤方程的量子化過程的有效範圍吻合這一點我還沒去細究；

4）最關鍵的一點是，根據目前的官方資料，假如沒有任何不為人知的黑幕的話，那麽是他先湊出了那兩個數學結論，然後一段時間後，實驗中證實了電子的正反自旋及正電子的存在。。。。這就隻能用運氣來解釋了。。。。誰不服，自己去湊出一個結果，看看若幹年後是否會被實驗驗證。。。。