慕容青草的博客
哲學園地
戴榕菁
相對論出問題了，尤其是狹義相對論徹底錯了（參見【[1],[2],[3]】）。盡管主流物理學界還硬挺著不承認這一點，但是很多場合下的口風的改變表明他們正在痛苦的思考如何吞下這顆苦果----這顆苦果不容易消化，它將讓一大把的諾貝爾獎的顏色看上去不那麽鮮豔不說，關鍵是怎麽再去圓相關的理論。
在受到狹義相對論的錯誤衝擊最大的量子理論領域，薛定諤方程似乎是極少數不受狹義相對論的錯誤影響的理論，因為薛定諤在發布他那獲獎方程的文章中明確表示，他不認為狹義相對論適用於他所討論的量子力學問題，所以他不打算象德布羅意那樣地去用狹義相對論進行推導。從這個意義上說，薛定諤似乎應該是所謂的現代物理學中最幸運的一個人。但或許是因為他看起來特立獨行，他也是現代物理學中極具戲劇性的一個人。
明明薛定諤的推導是針對微觀粒子的動力狀態，哥本哈根學派硬是將它解釋為針對粒子在時空中存在的概率。薛定諤不服，於是造了一隻貓用以說明哥本哈根派的概率說之荒唐，結果不但他那隻貓被哥本哈根派毫不客氣地收歸己有作為說明概率說的一個經典，而且由此衍生出涉及到馮諾伊曼和維格納等數學界和物理學界的大卡們的量子理論中與薛定諤貓有關的一堆理論【[4]】，甚至還整出了那個平行宇宙的理論。。。。唯一的問題是所有這些理論都違背了薛定諤的本意。
比所有上述這些更為戲劇性的當屬薛定諤自己對他那著名方程的推導了。兩年前，出於好奇我試圖找到薛定諤方程的推導，結果發現了各路科普人士給出的各種有關薛定諤方程推導的故事或說法。有的人說薛定諤方程就是由能量守恒直接得出的；還有不止一專業物理人士在Quora上聲稱薛定諤方程是湊出來的，因為那是不可能推導出來的。最牛的是YouTube的某來自澳大利亞的知名女科普網紅（專業物理人士）專門做了關於薛定諤方程的視頻，說有一位教授讓薛定諤整出波函數的方程，薛定諤說沒問題；於是他辭別妻子與幾個美女在一偏僻風景區呆了兩個月之後，就整出了那個著名的方程，但在他發表的文章中根本就沒有嚴謹的推導。
我當時感覺很難相信他們所給出的解釋也罷故事也罷，畢竟薛定諤的那個方程不但獲得了諾貝爾獎，更是整個量子力學的最最基礎的內容。直到我找到了薛定諤1926年發表在Physics Review上的那篇獲得諾貝爾獎的原文也就是上麵提到的視頻中顯示的那篇文章【[5]】並認真研讀之後，我才明白了那些有關薛定諤方程推導的評論或故事的用意了。下麵我們來一起走一遍薛定諤是怎麽推導他的方程的，看看你們是否會和我的看法一致。
一．薛定諤的推導
1. 前提條件和關鍵步驟
薛定諤首先指出他的推導的前提條件是微觀粒子的運動具有德布羅意所說的波動性以及傳統力學所研究的粒子性，從而具有波動和粒子二重特性。
他的出發點是考察一個虛擬的質點受到勢能為V(x, y, z)之保守力的作用，在位形空間（configuration space）q-空間 （q-space not pq-space）中運動。其動能可以表達為：
接下來他說：
著名的哈密爾頓的作用函數W，
作為一個（積分的）上限t和坐標x, y, z的終點值的函數它滿足哈密爾頓偏微分方程，
上麵關於（2）和（3）的這兩段話很關鍵，所以我盡量按照原文來翻譯，其中（積分的）是我根據原文明顯暗指的意思加進去的。（3）式中的
的多餘的斜杠應該是當年打字時的輸入錯誤。
為了讀懂上麵這段對於全文來說非常關鍵的兩段話，我認真地複習了一把哈密爾頓偏微分方程，但根本找不出（3）式這種形式的哈密爾頓偏微分方程。
然後我就試著用V(x, y, z)和(1),(2)式來推導出(3)，可是怎麽也得不出被薛定諤稱之為哈密爾頓偏微分方程的(3)式。後來我決定將最簡單的引力場中單個質點的自由落體運動帶入(1),(2),(3)式看看，結果發現(3)式連最簡單的單個質點在引力場中的自由落體運動都不滿足！難道這就是我根本推導不出(3)式來的原因？？？
這裏懇請感興趣的具有數學或物理學背景的讀者自己去推導一下（3）式，或者用諸如簡單自由落體之類的例子來驗證一下（3）式的正確性，看看是否能推出（3）。如果有誰嚴格推出（3）式，那麽他就能給出薛定諤方程的嚴格推導了。如果有人如我一樣發現（3）根本連最基本的質點在重力場中自由落體運動都不滿足的話，那麽我們就一起發現了20世紀物理學的又一大毛病：薛定諤方程的推導至少是部分地有問題。
2. 比較正常的推導步驟和討論
雖然從（1）到（3）僅有短短的幾行，卻是整篇文章中非常關鍵的幾行。有了（3）式之後，接下來的內容雖然仍是一地雞毛，但相對於連最簡單的單個質點在引力場中的自由落體運動都不能滿足的（3）來說屬於比較正常的推導和討論了。 當然，考慮到薛定諤這篇文章在整個近代物理學中的地位，我這裏再次聲明：我自己發現（3）連最簡單的單個質點在引力場中的自由落體運動都不能滿足，但我不排除別人可能發現其實（3）沒問題的可能性，所以歡迎更多的人來驗證（3）式。
2.1 （3）式的解
為了求解（3）式，薛定諤取
薛定諤將E稱為總能量，是一個常數，S是x, y, z的函數。
這裏又有問題了：如果E是總能量，那麽我們應該有E = T + V，從（4）我們就應該有：
∂W/∂t = ? (T + V )
但是，根據（2）我們應該有∂W/∂t = T - V。
我曾想過一種可能是（2）的減號其實應該是加號。一般來說人們將T - V稱為拉格朗日函數，而將T + V稱為哈密爾頓函數。既然薛定諤這裏將（2）的函數稱為哈密爾頓函數，或許那裏的減號是在將1926年的紙質雜誌轉為電子版時AI出了點小錯誤。但又一想，還是不對，即便把（2）的減號改為加號，我們得到的也隻是∂W/∂t = （T + V ）而不是∂W/∂t = ? (T + V )。假如我們在（2）的積分號前麵加一個負號並將T – V改為T + V，這似乎就可以解決這裏的問題，但是等到後麵的（7）式時那個負號又會出問題。總之，他選（4）作為（3）的解，並將其中的E說成是總能量會造成一些列的自相矛盾的問題。
如果讀者認同我上麵的分析，那麽到這一步時我們已經麵臨了這樣兩個問題：
1）（3）式本身有缺陷，我不但用（1）和（2）推出的結果與（3）相去甚遠，而且用最簡單的質點運動發現（3）是不正確的。
2）即便假設（3）是正確的，選用（4）作為（3）的解且聲稱其中的E為總能量就會帶來一係列的邏輯困境。盡管（4）的選用是教科書上作為求解哈密爾頓的偏微分方程的標準形式，但（3）並不是哈密爾頓的偏微分方程的標準形式。
有哪位數學專業的或物理專業的可以在這裏提供一些專業性見解？
先把問題放在這裏，我們接著往下看。
將（4）代入（3）得到：
接下來薛定諤給出了（5）的幾何解釋：
對於任意一個給定的時刻t，空間中的任意一個函數W可以表達為一組其值為W的值（例如W0）的曲麵。但另一方麵，我們可以從W0開始任意一組其值為W的空間曲麵來得到（5）式的解。這是因為我們隻要假設W0的某一邊的W值為正，在W0上的這一邊的每一點的法線上取長度為：
這樣得到的所有的點的值顯然是W0+dW0。依次下去便可得到在給定的t瞬間的所要的整個曲麵係統。
由（4）可以看出，當時間改變時，上述曲麵係統是不變，隻是W的值沿著曲麵的法向以下麵的速度傳播：
這個速度u是總能量E和V(x, y, z)的函數。
這裏薛定諤應該是用u = dn/dt 得出（6）的，隻不過他把負號略去了，因為u隻是相速度。
相應地，我們也可將上述的體係看成是具有W值的曲麵在空間沿著各自的法線以（6）式的速度u運動。這樣我們就可以得到各向同性但非均勻的光學介質中的穩定波，W正比於相位而u就是相速度（介質的折射率需要正比於u-1）。他說上述的構造顯然等價於惠更斯原理。
薛定諤接下來說，對於質點來說，正如眾所周知的：
（y 和 z方向也一樣）。
這個（7）也是問題重重。從（2）出發，我們會得到∂W/∂x = m? - ∂V/∂x + 常數，這顯然與（7）不符。這裏又回到前麵的（3）式的正確性和（4）式中的E是否為總能量的問題了。假如（3）式是正確的而（4）中的E確實為總能量，那麽（7）就成立，否則（7）就不成立。反過來說，假如（7）成立，而（4）式的E確實是總能量，那麽（3）一定成立。
如果有人能夠證明（3）或（7）成立，那麽他就已經嚴格地推導了薛定諤方程（當然，這裏指的是沒有被哥本哈根修正過的原始方程），他就可以站出來理直氣壯地批駁那些所謂的薛定諤方程無法推導的言論，可以去幫助改寫教科書。反過來說，假如有人如我一樣認為（7）有問題，那麽我們就一起站在了認為薛定諤方程推導有問題的行列中了。
再次歡迎數學專業和物理專業的讀者來這個地方提供專業性見解：（3）和（7）到底是否嚴格成立？
我們再接著往下看薛定諤的文章。
給出（7）式後，薛定諤解釋說，前麵提到的相速度u不是質點的速度，質點的速度由（7）和（5）給出：
他指出，對比（6）和（8），u和v具有反比的關係，這意味著對應於哈密爾頓的力學原理於對應於費馬的光學原理就聯係在一起了。
2.2. 關於光（波）與粒（子）的關係的曆史回顧
在這一節裏，薛定諤將力學與光學做對比，指出當光經過曲率半徑很小的物體表麵時，幾何光學已不再適用，那時我們必須要用波動光學，與之相應地，在很小的空間範圍內，普通力學就不再適用，我們必須要借用波動的概念來研究粒子的運動。
2.3. 求解方程（4）
在論證了普通力學不再適用於微觀世界之後，薛定諤開始求解（4）式。
他假設（4）式的解為：
其中ψ 為波函數，A為振幅函數。因為sine的自變數必須是純數值，所以常數K不可缺少並具有作用（能量×時間）的量綱。（9）式的頻率顯然是：
我們難以抗拒將K看成是普實常數的誘惑，因為假如K等於h/2π，那麽頻率ν就等於
h是普朗克常數。這裏他說，著名的能量與頻率之間的關係就這樣非常自然而不需借助任何外力地被推導出來了。
哇，難道這家夥要挑戰愛因斯坦？（11）式可是讓愛因斯坦獲得諾貝爾獎的式子。愛因斯坦在1905年提出該式，1921年獲諾貝爾獎。薛定諤這家夥在1926年聲稱很自然地推導出了（11）式，至少也應在文中這個地方向愛因斯坦致敬才是呀J，嗬嗬。
接下來薛定諤開始向相對論發起第一波非正式的挑戰：
他說在普通力學中，絕對能量是沒有意義的，人們隻關心能量差，所以人們用相對論的方法以及質能等效的概念來解決那個問題絕對能量的問題；但是在他這裏，這種借助相對論的做法是完全沒有必要的。這是因為（10）式與（11）式中的波動頻率ν依賴於零點能量，而它們的波長不依賴於零點能量，而波長比頻率更重要。由（11）和（6）得出波長公式：
他說E – V 是動能
所以獨立於總能量的零點值。將動能代入（12）我們得到：
這家夥在這裏應該向他的偶像德布羅意王子致敬呀
。不過不要緊，因為正是在這個地方與德布羅意的解的一樣不但讓薛定諤的解之湊出來而不是嚴格推導出來的特性在近一百年後難以掩蓋地顯露出來了而且暴露出薛定諤其實根本沒有認真閱讀他的偶像德布羅意王子對於所謂物質波長公式的推導！這是因為在2023年戴某人詳細地指出了對於狹義相對論的應用如何導致了德布羅意的公式錯誤以及如何修正德布羅意的公式，即這裏的公式（13）。在後麵的第2.10節（即薛文的第10節）我們會看到薛定諤明確表示相對論不適用於他的理論，所以他在推導中沒有用相對論。當初沒有想到的是假如他的解不是直接湊出來的而是嚴格推導出來的，他就根本的不出（13）式樣來，因為如戴某人一步步地指出的【[6],[7]】德布羅意之所以會得出（13）是因為用到了相對論，隻要他不用到相對論，結果就完全不一樣。既然薛定諤沒有用到相對論，如果不是他照貓畫虎地模仿德布羅意的解湊出自己的解來，他根本不應該得到（13）式!這也間接地告訴我們為什麽（3）連最簡單的單個質點在引力場中的自由落體運動都無法滿足的原因：那不是嚴格推導出的，而湊出來的！而（3）式的錯誤決定了（7）式不可能對！我在前麵提到因為薛定諤在推導方程的過程中沒有用的相對論，所以薛定諤方程似乎是量子力學中少數甚至唯一一個不受狹義相對論影響的理論。但是，從（13）可以看出，非常遺憾地，由於薛定諤在湊出（3）式和（4）的過程中試圖與德布羅意的解在形式上一致，他其實已經間接地受到相對論的影響了！
接下來薛定諤將波長λ與原子量級的尺度a進行比較：
他說當λ/a為一的量級時，普通力學就沒意義了。
接下來他論證了粒子速度v其實就是按照他的波動力學得出波包的速度，也就是群速度。他還說，波包重心的軌跡和普通力學中的粒子軌跡是一樣的，即便當軌道的尺度沒有波長大的時候也一樣，隻不過那時波包本身就已經超出了軌道了（本文注：應該說這時波包已經覆蓋了軌道）。
2.4. 推導薛定諤方程並求解
在這一節裏薛定諤開始推導他的那個諾貝爾得獎方程了。
他首先用普通的波動方程來考察單個質點在外界力場中的運動：
將（6）式代入（15）的u中，並指出這一代入對於ψ的影響是通過因子
的。所以得到：
將上式與（6）代入（15）：
其中ψ被假設為隻依賴於下x, y, z。
（16）就是著名的薛定諤方程的最原始的形式，所有的現代版本（包括他這篇文章後麵的（26）式和（32）式）都是從這個方程衍生出來的。沒有人獨立地從最基本的力學直接推出今天的通用版本。所以，如果有人嚴格證明前麵的（3）或（7），他就等於嚴格證明了今天所有的版本。如果有人能證明（3）或（7）有問題，那麽他就證明了今天所有的版本都有問題。
接下來薛定諤就要給（16）求解並討論它們的意義了。
首先考慮電場勢能的情況。取
e = 電荷，
，所以對於簡化的氫原子問題：
在全空間都連續的有限單值的解需要滿足下述條件：
上麵的第一組解是普通力學中的拋物線軌道運動，第二組解對應著玻爾的穩定能級的橢圓軌道運動。
他說：雖然他這裏不對上述結論進行冗長的證明，我們可以用三維的極坐標令ψ為極坐標的函數和半徑的函數之積來求解，所得到的解為對應於方位量子數 （azimuthal quantum number）的球麵調和函數和有著有限數目的正根的類似Bessel函數r的函數之積，而這裏的正根的數目正好是玻爾的軌道數。當r增加超過最後一個最大或最小根之後，那個函數就以指數下降。所以整個波動現象，盡管在數學上延申到整個空間，實際上隻局限在幾埃米的直徑範圍內，這就是波動力學的“原子”。上述解中的任何一個都極其類似彈性球麵振動，都具有（1）球麵，（2）錐麵，（3）平麵的“結麵（node surfaces）”。但是我們不應把構成原子的一般波動看成是僅限於這些解中的某一個，它們的分離很大程度上取決於坐標的選取。
這裏薛定諤還加了一個注：不能象普通力學那樣將問題局限在2維運動，因為波動現象基本上是三維的。
薛定諤指出：對應於E的每一個離散值，都是一個特殊解，將這些解用任意常數進行線性疊加可得到（18）的對於給定E的一般解。其中任意常數的數目正好等於相應能級的“統計權重”，或者說等於在擾動力（perturbing forces）作用下根據玻爾的理論（以及薛定諤自己的理論）得到的能級的數目，這樣就不需要相關問題的所謂的簡並（degeneration）了。他說普通量子理論中的能級數不一定是正確的。
他接著說，確定的實驗證據迫使我們要排除那些具有零赤道量子數（equatorial quantum number）的能級，而可喜的是按照這個新的理論，所得到的簡並能級或頻率數從一開始就是正確的。這個理論不需要任何其它的補充，因為它已經排除了對應玻爾軌道的零赤道量子數的解。
結束這一節討論前，他指出，對應著原子的正常狀態的最低的能級或者說對應著波動的“基頻”，隻有一個振動模式，一個非常簡單的模式，它的波函數完全是球麵對稱，沒有任何結麵（node surface）。徑向量子數以及球麵調和數都消失了。
2.5. （18）式隻對有限個E值具有有限解的原因
這一節的討論我這裏不贅述，感興趣的讀者自己去看吧。
2.6. 關於幾個特殊解的討論
調和振動問題，與普通量子理論的nhν0不同，這個新力學的解為
轉子問題：
（I = 慣性矩），那個原來著名的n2由n（n+1）取代了。對於我們所感興趣的能級差來說，這相當於用(n+1/2)2取代n2，因為
獨立於n。眾所周知，半量子數是得到多數簡單帶狀頻譜的實驗支持的，或許沒有任何實驗與之相悖。接著他說為他提供了很多幫助的洛克菲勒學院的Fues先生發展出了一種比普通力學中的攝動法簡單的多卻可以得到基本一樣的結果的攝動法用來解（16）式。他介紹了用Fues的方法解決的某個特例。
他又說他用相關方法得出的某些解與海森堡，波恩和喬丹用矩陣理論得出的結果在數學上完全一致。
2.7. 用哈密爾頓原理推導更一般形式的薛定諤方程
我剛讀到這一節的開場白時還以為或許這一節可以解答我前麵提出的有關（3）與（7）的疑惑了。但非常失望地發現，與上麵的推導相比，薛定諤的這一節可以說是在玩抽象藝術。他的這一節根本沒有給出推導，隻是說他得出了某種結果，並從該結果可以進一步看出其它結果。
考慮到他在前麵幾節的係統推導中存在的至少在我目前看來是錯誤的地方，我完全無法在自己能夠按照他所提供的思路來推出他所聲稱的結果之前相信他這一節的所聲稱的結果的正確性。但另一方麵，它這一節提供的思路過於抽象，其過程跳躍性大而結果繁複，再說如果（3）或（7）確實錯了，那麽憑什麽認為在用簡單明確的方法都推不出正確結果之後用更為複雜抽象的思路就變好了呢？所以，至少現在我是懶得再花時間去一步步地跟蹤他這一章的邏輯了。
在這一節裏他跳躍性地給出的比他（16）式在形式上更具一般性的（26）式如下：
平心而論我不認為這種在廣義坐標係中一般性的表達形式有什麽特殊意義，至少近一百年後的今天的教科書通常用的都還是在(x, y, z)坐標係中的薛定諤方程。
他在同一篇文章裏，在相隔了大半篇文章的兩節中用兩種不同的思路來給出基本上來說是同一個方程，這讓我感到他內心對於這兩種方法的哪一種方法都沒有十分的把握。
另一方麵，如果這一節的思路是正確的，那麽為什麽近一百年後的今天，人們仍然認為薛定諤方程不是推導出來的，為什麽教課書上不坦然地介紹這個原汁原味的推導思路呢？
感興趣的讀者可以自己按照他這一節的內容去推導一下（26）。如果這一節提供的思路可以有效而且正確地得到（26），並有效正確地從（26）得出（16），那麽即便是（3）或（7）有問題也不重要了，畢竟得諾貝爾獎的是（16）和（26）式，而不是（3）或（7）。同樣地，假如有誰能看出他在這一節的推導有邏輯錯誤的話，那麽就又一次抓到20世紀物理學在最最基本的理論基礎上存在的一個漏洞了。
2.8.波函數ψ的真實物理意義
（16）或（26）中的波函數ψ隻依賴於空間坐標，對時間的依賴是通過對應不同的E = El的實數部分（real part）發生的：
其中θl是相位常數。所以，如果ul（l = 1, 2, 3 ….）為特征函數，那麽波動問題的最一般的解（實數部分）將是：
（為簡便起見，薛定諤假設所有的特征值都是單值和離散的）。cl都是實數。複數函數ψ的絕對值的平方為：
其中頭上帶一橫的是ψ的共軛複數。
薛定諤指出，一般來說，ψ和
都是廣義坐標q1 … qN和時間的函數，這使得理解ψ的物理意義造成困難，但是對於氫原子來說，這一點困難不存在了，因為這時可以基於下麵這個假說來相當正確地計算諸如斯塔克效應分量（Stark Effect component）[[8]]的密度（見圖1）：
電子的電荷並非集中在某一點上，而是分布在整個空間上，而它們的分布正比於
。
他接著指出，即便有上述的假說，電荷仍然隻是集中在幾個埃米的區域內，與原子核的距離超出了這個區域後，ψ的就迅速趨於零。電荷的脈動由對於氫原子的（28）的特殊形式控製。為了計算輻射，需要將（28）分別乘以x, y, z然後對整個空間進行積分，例如：
因此，電力矩是偶極子的疊加，它們對應著以頻率
振動的特征函數對。對應於某一特定頻率的輻射正比下式的平方：
在又經過了一番討論後，薛定諤提出了關於波函數ψ物理意義的下述更為一般的假說：
電荷的連續分割（continuous partition of the charge）是相應點電荷模型所有可能構型的連續多重構型的某種平均值，該平均值在構型空間中以量
作為某種權重函數。
薛定諤指出，在氫原子的情況下，上述假說就退化為前麵提到的那個更簡單的假說。
2.9.薛定諤方程的更一般表達式
在這一節中，薛定諤並沒有象在前麵2.7節中那樣重新推導出一個更一般的薛定諤方程表達式（26），而是僅僅在（16）和（26）的基礎上給出了更為一般的形式（32）：
他說因為波函數的物理意義體現在
上而不是單一的ψ上，所以（32）式中取加號或減號都無所謂。
接下來他討論了（32）式中的V為非保守勢能的情況，特別是由一束入射光造成的非保守勢能的情況。
2.10. 薛定諤對文章的結束語
首先，他指出該文沒有用到相對論也沒有涉及磁場力。他給出了他的理由：首先，相對論還沒有被推廣到多於一個電子的係統。第二，有關氫原子的相對論理論顯然是不完整的，因為它們的結果與實驗結果之間有著嚴重（grave）的矛盾。他給出了一個例子。
二. 本文結束語
1）為了方便讀者在閱讀本文時對照薛定諤的原文【5】，本文從2.2節開始的第2.X節對應的是薛定諤原文的第X節。
2） 今天市麵上大家一致認為薛定諤方程不是推出來的而是湊出來的；在本文開頭提到的那個說薛定諤在度假村裏嗨了兩個月後發表了薛定諤方程時沒有給出推導的視頻【[9]】中，那個網紅還提到費曼在對薛定諤方程的推導進行評論時也指出薛定諤的文章用的是啟發式（Heuristic）的推導而沒有給出嚴格推導，而且用了錯誤的論點，費曼還說沒人能推出薛定諤方程，但隻要它正確就行。
但是，通過本文的討論我們可以看出如果說薛定諤在得出他的方程的過程中完全沒有進行推導的話，那一方麵是對於薛定諤原文過於苛刻不夠公平，但另一方麵卻似乎是在故意袒護薛定諤。
應該說在2.7節（即原文的第7節）之前薛定諤所給出的推導和論證與任何其它物理文章中的推導和論證相比，其在細節上並沒有過分的跳躍。不論是一百年前的物理學文章還是今天的物理學文章，都不可能象老師在課堂上那樣一步步地給出推導，而是要讀者自己去完成很多具體的細節性推導。當然，薛定諤的2.7節可以說是完全沒有給推導，隻是跳躍性地給出部分思路加上他的看似直覺性的判斷，最後得出結果，隻不過如果因為薛定諤在他的第7節（本文2.7節）的跳躍性就說薛定諤整篇文章都沒有推導，對於薛定諤來說是有失公允的。
但另一方麵，費曼說薛定諤用了某些錯誤的論點又象是在故意袒護薛定諤。根據我的推導，我個人認為他的（3）式和（7）式是錯誤的！錯誤的式子與錯誤的論點在錯誤程度上是不同的！錯誤的論點可以是在討論時說錯的話，而錯誤的式子則是數學結果的錯誤！
相應地，薛定諤的主要問題不在於人們所說的他的跳躍（盡管這對於第7節是個嚴重的問題），而恰恰是他在第7節以前沒有怎麽跳躍！---- 這裏的邏輯很簡單：兩個獨立的錯誤有時可以相互抵消而得到正確的結果。。。。但如果結論B是由結論A按照正常的邏輯推理在沒有發生嚴重跳躍的前提下得出的，而結論A本身是錯誤的話，那麽一般會認為結論B也是錯的----至少在中學課堂裏老師都是這麽教的！
3）說回到薛定諤在第7節以前的推導，其思路也確實比較奇怪。他從簡單質點的運動出發，通過類比得出波動方程。這應該就是費曼說薛定諤的推導是啟發式（Heuristic）的推導的原因。但其實，如果邏輯嚴格，Heuristic未必就不行，否則物理學恐怕就要倒閉了。所以，薛定諤的問題不在於是否Heuristic，而在於他的邏輯是否有錯誤！可見，費曼表麵上批評薛定諤，骨子裏卻在避重就輕地袒護他。
4）從本文可以看出，薛定諤與哥本哈根的主要區別在於：薛定諤認為波函數代表的是粒子電荷密度的分布，而哥本哈根認為波函數代表的是粒子出現的幾率。其實，兩者都存在著邏輯缺陷。
一方麵，迄今為止，哥本哈根派也無法滿意地解釋由薛定諤的那隻貓引出的所謂量子力學測量問題；而如我之前指出的【[10],[11]】，薛定諤的那隻貓本身就存在著邏輯缺陷。另一方麵，按照本文給出的圖1，薛定諤所說的電荷分布密度的假說其實是有一定實驗依據的。而波恩提出的幾率說，更像是一種純思辨。
幾十年後的所謂單個電子的雙縫實驗似乎支持波恩的幾率說而不利於薛定諤的電荷分布密度說。但實際上，我們隻能說單個電子的雙縫實驗更接近波恩的幾率假說而不接近薛定諤的電荷分布密度說，而不能說它就驗證了波恩的幾率假說。
5）至於費曼說薛定諤方程正確地反映自然這一點嘛，或許最多也隻能說是在一定程度上反映自然吧。至少薛定諤按照他的理論得出德布羅意波長這一點就暴露出他的方程隻能是近似地正確。
總之，現在看來量子力學從根上就存在問題。那個費曼的理論還存在著需要進行重整化的能量奇點問題，至少薛定諤的方程還沒有這個問題。
【[1]】戴榕菁 （2024）廣義相對論之對與錯
【[2]】戴榕菁 （2024）當哲學被藐視之後正式出版之意義
【[3]】戴榕菁 （2024）當哲學被藐視之後。。。。（2024版）
[[4]] Wikipedia. “Schrödinger's cat”. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger%27s_cat. Last edited on 27 June 2024, at 03:27 (UTC).
[[5]] Schrödinger, E. (1926). “An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules”, The Physical Review, Vol. 28, No. 6, December, 1926. Retrieved from: https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
【[6]】戴榕菁 （2023） 德布羅意波之錯和薛定諤之幸運
[[7]] Dai, R. (2023). Correction to de Broglie Wavelength. Retrieved from: https://www.academia.edu/111922499/Correction_to_de_Broglie_Wavelength
[[8]] Wikipedia. Stark effect. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Stark_effect. Last edited on 30 October 2023, at 16:57 (UTC).
[[9]] Up and Atom. (2019-12-12). [YouTube] What is The Quantum Wave Function, Exactly? [video] url: https://www.youtube.com/watch?v=EmNQuK-E0kI&t=9m22s
【[10]】戴榕菁（2023.6）薛定諤貓的跳躍
[[11]]Dai, R. (2023). “The Genetic Defect of Schrödinger's Cat”. Retrieved from: https://www.academia.edu/104037882/The_Genetic_Defect_of_Schr%C3%B6dingers_Cat
應該去問問劉慈欣當初他是怎麽想到鎖定人類科學200年這個議題的，是有外星人給他麵授機宜嗎？