慕容青草的博客
哲學園地
戴榕菁
1. 德布羅意波之錯
今年早些時候在修正了愛因斯坦著名的質量能量關係從而得到E = mc2/2之後，我曾指出過因為德布羅意波在得出他的著名的物質波長公式過程中用了E = mc2【[1],[2]】，所以需要將德布羅意波長加倍以滿足正確的質量能量關係。但當時忽略了一點，那就是德布羅意在推導他的波長公式時不僅用到了愛因斯坦的質量能量關係而且還用到了洛倫茲變換，因此在推翻狹義相對論之後，對於德布羅意波長的修改就不僅僅是加倍那麽簡單了。
為了弄清德布羅意得出的波長出了哪些錯，我們先來回顧一下他的那個著名的物質波波長的公式：
λ = h/p (1)
其中λ是德布羅意所提出的物質波的波長，h是普朗克常數，p = mv是相關物質（粒子）的動量，m是物質（粒子）質量，v是物質（粒子）運動速度。將動量表達式代入(1)式後，我們得到：
λ = h/mv (1a)
關於(1a)式，教科書上以及相關課堂或講座上最喜歡說的一點是：當質量m增大時，德布羅意波長會變小，這就是為什麽我們在宏觀世界看不到德布羅意波的原因。
但是，正如相對論學者們常出現的顧頭不顧尾的做法那樣，他們從(1a)式看出m變大會導致波長λ變小的同時就顧不上去看當v = 0的時候不論m有多大λ都是無窮大這一點了，更是不會聯想到宏觀物體與按照量子理論得到的微觀粒子特性之間的一個基本區別：宏觀物體通常不會象原子核中的粒子那樣進行接近光速的運動。
對於一個宏觀物體來說，速度為0的靜止態在生活中是一個基本的常態。這種靜止物體的德布羅意波長為無限大的現象居然可以在整個現代物理學界的百萬大軍的眼皮子底下，尤其是那些幾乎每天都要用到德布羅意波長的粒子物理學家們的眼皮子底下混了將近一百年，這也可說是人類文明的又一個奇觀了。而這裏發現的德布羅意波長除了因舊的質量能量關係而導致的錯誤之外的錯誤的根源仍然是狹義相對論。
可見，德布羅意波長公式需要修改的不僅僅是我之前提出的波長加倍那麽簡單了。那麽德布羅意波長究竟錯在哪裏了，又為什麽會錯了呢？我們從它為什麽會錯就可以知道它究竟錯在哪裏了。
具體地說，如他在諾貝爾獲獎講座上聲稱的【[3]】，德布羅意推導他的波長公式的出發點是假設一個靜止的質點帶有一個駐波（stationary wave）。但從文獻【3】我們可以看出，他的實際出發點並不是什麽駐波，而是一個簡諧振子。當一個簡諧振子沿著與它振動的方向垂直的方向運動時，它將在空間畫出一個波形，這個波形就是德布羅意所假定的物質波的原型。或許他在構想這個模型時和當年洛倫茲假想動尺縮短動鍾變慢時一樣心中還惦記著那個看不見的以太，從而將質點在真空中劃過的波形想象成粒子所攜帶的物質波。
不管德布羅意當時內心到底是怎麽想的，反正在文獻【3】中作為他的推導出發點的數學公式並不是他用文字聲稱的駐波公式，而是一個簡諧振子的公式。在經典力學中，由一個以速度v進行平移的簡諧振子在空間畫出的波是一個相速度等於v的簡諧波。但是，德布羅意對他的振子運動運用了由愛因斯坦推導出的洛倫茲變換【[4]】。這樣一來，它的相速度就變為：
Vp = c2/v (2)
而相速度與波長和頻率f之間的關係為：
Vp = λf (3)
接下來，德布羅意又做了另一個假說：粒子的物質波滿足愛因斯坦的光子能量關係：
E = hf (4)
其中E 為粒子的能量。接下來，運用愛因斯坦的質量能量關係我們可以得到：
動量 p = mv = mc2v/c2 = Ev/c2 = E/Vp = hf/ λf = h/λ (5)
由(5)便可得出前麵給出著名的德布羅意波長公式(1)和(1a)了。
德布羅意在他的推導中還將m寫成了γm0的形式，但實際上那樣的表達式在他的推導中並沒有起到什麽作用。
德布羅意波的假說最早於1923年發表於《自然雜誌》【[5]】，然後作為他的博士論文於1925發表在Ann de Phys【[6]】上。在他的博士論文中，德布羅意作為一個定理證明了上述運用洛倫茲變換得出的複合波的群速度就是粒子移動速度v。盡管德布羅意的那個證明看上去非常嚴謹，但因為整個德布羅意波是一種假說，所以那個證明也隻能被認為是假說的一部分而已【[7]】。這個定理賦予了物質波的群速度一個明確的物理意義，但它在推導德布羅意波長公式的過程中並沒有起到直接的作用。
至此我們已經知道了德布羅意波長公式是如何錯的了。下麵我們來看應如何修正由狹義相對論造成的德布羅意波長公式的錯誤。
首先，推翻狹義相對論之後，當我們將一個簡諧振子以速度v進行平移時，它的相速度不再由公式(2)給出，而應該就是v本身，並且等於它的群速度；其次，我們不應再用E = mc2而應使用E = mc2/2。現在我們再重新推導一下德布羅意波長公式：
p = mv = 2mc2v/2c2 = 2Ev/c2 = 2Ev2/ Vpc2 = 2 E/Vp(v2/c2) = 2(v2/c2) h/λ (6)
修正後的物質波長公式(6)比德布羅意推導出的波長公式多了一個係數2(v2/c2)。由於這個係數的存在，修正後的物質波長公式(6)就不會再出現前麵提到的靜止物體的德布羅意波長為無限大的狀況了。
1.1. 討論
與德布羅意波長公式(1)相比，推翻了狹義相對論之後得出的正確的物質波長公式(6)所多出來的係數2(v2/c2)含有兩個因子，一個是2，一個是v2/c2。其中的2是我之前在【1,2】中就給出的由新的質量能量關係得到的，而v2/c2則是由廢除德布羅意在推導過程進行的洛倫茲變換得到的。幸運的是， 2與v2/c2這兩個因子的效果在一定程度上是相互抵消的。假設v = 0.7c，則v2/c2 = 0.49 ≈ 0.5。這時的2(v2/c2) ≈ 1。所以，雖然(6)看起來比文獻【1,2】中給出的公式對德布羅意波長進行的修正更複雜，其實它在數值上比【1,2】中給出的公式對德布羅意波長進行的修正反而更小了。
2. 薛定諤之幸運
雖然薛定諤的著名的量子力學波動方程是建立在德布羅意波的概念基礎之上的，但他幸運的是，如他在發表該公式的文獻【[8]】中指出的，他不認為狹義相對論適用於他所討論的量子力學問題，所以他不打算象德布羅意那樣地去用狹義相對論進行推導。這樣一來，著名的薛定諤方程就不會受到推翻狹義相對論的影響了。
3. 結束語 ---- 德布羅意，狄拉克，薛定諤，及其他
圍繞著電子運動建立起來的三個作為現有的量子力學理論中最基本的三個數學模型（德布羅意波，狄拉克方程，薛定諤方程）中，德布羅意和狄拉克【[9]】的結果因為應用了狹義相對論而會受到推翻狹義相對論的影響。薛定諤的方程則會因為他明確拒絕了使用狹義相對論而獨善其身。
盡管如此，從哲學上來說，德布羅意和狄拉克都非常幸運地沒有因為他們的理論在數學上受到狹義相對論的影響失去其曆史價值。德布羅意是先提出物質波的假設，然後在這個基礎上推出了他的波長公式，而狄拉克應該是先推導他的方程，然後從他的方程的解中看出存在著正反物質兩種解以及同一原子軌道上可以有兩個自選相反的電子。現在看來，德布羅意提出的物質波動的概念以及狄拉克提出的正反物質的概念和電子兩種自旋的概念應該都被認為是得到了實驗的印證，因而盡管他們的數學模型都存在著相應於狹義相對論的瑕疵，他們提供的哲學概念卻都為文明進步做出了曆史性的貢獻。
薛定諤的狀況比較特殊。他的方程並沒有受到狹義相對論的影響，但他的方程的涵義卻被波恩解釋為幾率波方程。盡管薛定諤完全不認同波恩的解釋，但是這個世界就愣是把薛定諤的方程做了違背他自己意圖的解釋。然後，為了證明他自己是正確的而哥本哈根是錯誤的，薛定諤又搞出了一個著名的貓理論。但是他的貓理論再一次被物理學界解釋為對於哥本哈根學派之正確的有利證據。就這樣薛定諤一再被這個世界弄到他自己的對立麵去。
問題是，薛定諤與波恩到底孰對孰錯呢？日後的實驗似乎表明他倆都對了又都錯了。2022年的諾貝爾物理獎所獎勵的實驗明顯是站在了波恩的一邊，而2023年的諾貝爾物理獎又明顯站在了薛定諤這邊。這種薛定諤與波恩都對了又都錯了的狀況雖然對於哥本哈根學派不是什麽好消息，對於薛定諤來說卻是大好消息。很顯然，當薛定諤的解釋是對了的時候，他自然就贏了，而當與他的解釋對立的一麵對的時候，他又一次贏了，因為他的理論早已被這個世界硬性地解釋為與他自己的解釋相對立的意思了。
這裏順便再提一下，如我之前指出的【[10],[11]】，薛定諤的貓理論存在著一個邏輯缺陷。這對於他用來表明波恩錯了的原意來說不是什麽大問題，但是如果人們把那個貓理論作為反映量子世界本質的理論來看的話，那個缺陷就是嚴重的了。
此外，薛定諤與波恩兩個人看來都對了又都錯了這一點對於愛因斯坦等以量子力學存在隱藏（hidden）變量為理由認為量子力學是不完備的人來說是一個大好消息。雖然薛定諤與波恩兩個人看來都對了又都錯了這一點所指向的隱藏變量未必就是愛因斯坦他們所指出的意義上的隱藏變量，但隻要有隱藏變量就證明他們所指出的量子力學是不完備的這一點是正確的。這一點對於堅持量子力學是完備的哥本哈根學派不是什麽好消息自不用說，就是對於諾貝爾委員會來說，這又何嚐不是一件尷尬的事情呢？雖然他們發出的2022年的物理學獎所獎勵的是幾位物理學家對於著名的貝爾不等式的驗證，但是全世界都已經把諾貝爾委員會的那一姿態解讀為對於量子力學是完備的這一點的肯定了。
最後再提一下哥本哈根學派中的另外兩個核心人物波爾和海森堡。
雖然波爾是哥本哈根學派的領軍人物，他給出了對於量子力學的哥本哈根解釋的基本涵義，但他的原子模型應該不屬於哥本哈根學派的理論。而海森堡則是最尷尬的一個人了。首先，如我之前指出的【[12],[13],[14]】，阿秒物理可以精準地捕捉到電子運動軌跡這一點可以說是基本否定了海森堡的那個著名的測不準原理的價值。另外，薛定諤在文獻【8】中提到在他發展波動方程的同時海森堡發展出的矩陣力學其實與他的波動力學是等價的，後來也有人說海森堡的矩陣力學其實與狄拉克開創的量子場論也是等價的，但現實的狀況是沒有人再去搭理海森堡的那個矩陣力學了。。。。
【[1]】戴榕菁 （2023.7）E等於二分之一mc2的一個直接的量子力學結果
【[2]】戴榕菁 （2023.9） 波長加倍了？
【[3]】 De Brogile, L. (1929). “The wave nature of the electron”. Nobel Lecture, December 12, 1929. Retrieved from: https://www.nobelprize.org/uploads/2016/04/broglie-lecture.pdf
【[4]】 Einstein A. (1905) “On the Electrodynamics of Moving Bodies”. Zur Elektrodynamik bewegter Körper, in Annalen der Physik. 17:891, 1905, translations by W. Perrett and G.B. Jeffery. Retrieved from: https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/
【[5]】 De Brogile, L. (1923). “Waves and Quanta”. Nature volume 112, page540 (1923). Retrieved from: https://www.nature.com/articles/112540a0
【[6]】 De Brogile, L. (1925). “On the Theory of Quanta”. Ann. de Phys., 10e s´erie, t. III (Janvier-F ´evrier 1925. Translated by A. F. Kracklauer 2004. Retrieved from: https://fondationlouisdebroglie.org/LDB-oeuvres/De_Broglie_Kracklauer.pdf
【[7]】 Wikipedia. “Matter wave”. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Matter_wave. Last edited on 6 December 2023, at 10:29 (UTC).
【[8]】 Schrödinger, E. (1926). “An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules”, The Physical Review, Vol. 28, No. 6, December, 1926. Retrieved from: https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
【[9]】Dirac, P. A. M. (1928). "The Quantum Theory of the Electron". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 117 (778): 610–624. Retrieved from: https://royalsocietypublishing.org/doi/epdf/10.1098/rspa.1928.0023
【[10]】戴榕菁（2023.6）薛定諤貓的跳躍
【[11]】Dai, R. (2023). “The Genetic Defect of Schrödinger's Cat”. Retrieved from: https://www.academia.edu/104037882/The_Genetic_Defect_of_Schr%C3%B6dingers_Cat
【[12]】戴榕菁（2023.10） 假如海森堡被挑戰了。。。。
【[13]】戴榕菁（2023.10） 看來是實錘了。。。。
【[14]】Dai, R. (2023). “Attosecond or Copenhagen”. Retrieved from: https://www.academia.edu/108181647/Attosecond_or_Copenhagen
[The theory which is reported in the following pages is based on the very interesting and fundamental researches of L. de Broglie on what he called "phase-waves" ("ondes de phase") and thought to be associated with the motion of material points, especially with the motion of an electron or proton.]
But at the end of that paper, he claimed the following:
[In the foregoing report the undulatory theory of mechanics has been developed without reference to two very important things, viz. (1) the relativity modifications of classical mechanics, (2) the action of a magnetic field on the atom. This may be thought rather peculiar since L. de Broglie, whose fundamental researches gave origin to the present theory, even started from the relativistic theory of electronic motion and from the beginning took into account a magnetic field as well as an electric one.
……
There are two reasons why I did not think it very important to enter here into this form of the theory. First, it has until now not been possible to extend the relativistic theory to a system of more than one electron. But there is the region in which the solution of new problems is to be hoped from the new theory, problems that were inaccessible to the older theory.
Second, the relativistic theory of the hydrogen atom is apparently incomplete; the results are in grave contradiction with experiment, since in Sommerfeld's well known formula for the displacement of the natural fine structure components the so-called azimuthal quantum number (as well as the radial quantum number) turns out as "half-integer," i.e. half of an odd number, instead of integer. So the fine structure turns out entirely wrong.]