E等於二分之一mc2的一個直接的量子力學結果

戴榕菁

量子力學中直接受到把著名的愛因斯坦質量能量關係E=mc²改為E=mc²/2影響的非作為量子力學的核心內容的德布羅意波假設莫屬了。這是因為德布羅意波的波長由下式給出：

λ= h/p                                                  （1）

其中λ是波長，h是普朗克常數，p是動量。（1）是將量子力學關於光子的波長與動量關係直接引申到有質量的粒子而得到的。與光子不同的是，（1）中的動量p由所謂的相對論動量表達式給出（參見【[1]】的討論）：

p = γmv                                               （2）

v是粒子運動速度，γ是所謂的洛倫茲因子，由下式給出：

γ = 1/√(1-v²/c²)                                    （3）

而在所謂的相對論力學中，能量E的表達式為：

E = γmc²                                              （4）

所以，對於一般的粒子由（2）和（4）得出：

p = Ev/c2                                             （5）              

對於光子來說，v = c, 所以

pc = E                                                  （6）

同時由普朗克-愛因斯坦公式得：

E = hf = hc/ λ                                       （7）

由（6）和（7）得出 （1）。

因為在量子力學中不承認光子有質量，將有（2）和（4）得出的（5）用於光子並令v = c來得到（6）式實際是一種延拓，一種新的定義。然後，1924年德布羅意又將由（6）和（7）得出的（1）直接用回到有質量的粒子，那就是第二次延拓，又一個新定義。20世紀的物理學充滿了這樣的延拓來延拓去的操作，有時他們明確將這些延拓稱之為“假設”，德布羅意的波理論就是被明確稱為假設的一個例子，但有時他們連假設都不提，著名的狄拉克方程及狄拉克所模仿的克雷恩高登方程就是一例。

我們之所以能用E = mc²/2來取代E = mc²【[2],[3],[4],[5],[6]】的前提就是否定所謂的洛倫茲因子的意義，因此似乎應該與德布羅意波沒有直接關係。但如我之前多次指出的，20世紀物理學的一大特點就是具體（數學關係）上的錯誤可以通過符號腳手架（semiotic scaffolding）來得到哲學上的正確結論（盡管否定哲學的價值很不幸地是20世紀物理學的一個重要特征）。因此，上麵的推導和延拓中涉及到洛倫茲因子這一點本身並不構成對德布羅意波假設的哲學定性的否定。其實如果我們在（2）和（4）中令洛倫茲因子為1，便可得到：

p = mv                                     （2a）

E = mc²                                                （4a）

由（2a）和（4a）我們仍可得到（6）式樣，將（6）與（7）結合仍可得到（1）式。

但顯然，當我們將（4a）換成E = mc²/2後，（1）便要相應地改為：

λ= 2h/p                                                （8）

（8）式就是將E = mc²換成E = mc²/2後的德布羅意波的波長公式。

兩點討論

1. 德布羅意波被認為是一個得到實驗證明的假說，雖然從維基百科等科普材料上我隻找到如何計算德布羅意波長或頻率而沒有找到如何實測德布羅意波長或頻率，我在具體的專業文獻看到人們聲稱可以高精度地測德布羅意波的頻率並計算波長。另外，如今紅遍世界的芯片光刻技術也表明人們確實在具體實踐中實際處理了德布羅意波。

對於這一點，我的評論是：首先，還是那句老話，我相信邏輯的一致性，不可能在某個領域已被證明明顯錯誤的邏輯到了另一個領域突然又成立了。

第二，與光波不同，準確測量頻率未必等於就能準確測量波長。

第三，工業上直接應用的主要是波長而不是頻率這點沒錯，但工業上估算波長所考慮的因素很多，諸如所謂的原子間距，光波頻率等等，而不是簡單地象丈量土地那樣地直接測量德布羅意波長。根據我們對於20世紀物理學界的種種鬧劇的了解，我們應該知道隻要涉及的參數多了，就可能會出現各種偶然的因素，甚至會出現不同的錯誤相互抵消的現象。

如果所有的參數都可以按照教科書給出公式計算，今天的光刻技術就不會被認為那麽高端了。今天的光刻機那麽搶手本身說明先進的光刻機製作公司掌握了別人不知道的實驗參數。說不定將波長放大一倍就是他們的秘密，而我相信他們之所以能夠準確地進行光刻，他們所真正內部遵循的最後公式一定是（8）而不是（1）；即便他們的起點公式是（1），也一定會在某些具體的處理上起到了將波長放大一倍的效果而實際成為了（8）----我這麽說還是因為我相信自然邏輯總是自洽的。

2. 在前文“醉拳師傅的理論之三大重要意義”中我提到“當然，因為他討論的是光子而不是一般的物質，所以他的文章對於作為一般物質的質量能量關係的E=mc²/2的印證是非常有限的。不過他的結果的正確性至少在一個極端的狀態下驗證了我的理論。”

但實際上，從量子力學中對於光子動量公式（6）的推導以及德布羅意將（1）延拓為物質波長的過程我們可以看到他們實際上是明確用到了E = mc²  的（E = γmc²是對E = mc²的延拓），所以，Henri的模型的結果之出奇的漂亮對於E=mc²/2的印證雖說比不上直接由非光粒子的實驗能夠得到的印證，但也還是超出了我在那裏說的“在一個極端的狀態下驗證”，是非常值得高興的一件事。

 

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【[1]】 E=mc2/2要求的糾錯

【[2]】 沒了洛倫茲，能量減半。。。。

【[3]】 關鍵是如何計算多普勒效應

【[4]】 1905之前的牛人們及正確的答案。。。。。

【[5]】 E=mc2/2之明確的物理意義，還有。。。唉

【[6]】 Dai, R. (2023). “Modifying Mass-Energy Relationship”. Retrieved from: https://wp.me/p9pbU7-gG