康托集合論之哲學誤區

戴榕菁

 

1873年集合論的重磅人物康托證明了自然數與有理數一樣多。他將所有的有理數排列成下麵這個方陣：

1/1  1/2  1/3  1/4  1/5  ...

2/1  2/2  2/3  2/4  2/5  ...

3/1  3/2  3/3  3/4  3/5  ...

4/1  4/2  4/3  4/4  4/5  ...

5/1  5/2  5/3  5/4  5/5  ...

...    ...    ...    ...    ...

 

然後，給出一個瀏覽這個方陣的法則：從1/1開始，按45度角從左到右，從上到下數過來：

1/1, ½, 2/1, 3/1, 2/2, 1/3, ¼, 2/3, 3/2, 4/1, ….

有了這個法則，我們就可以從一個一個地將有理數進行排列：

(1) 1/1,

(2) 1/2,

(3) 2/1,

(4) 3/1,

(5) 2/2,

(6) 1/3,

(7) 1/4,

(8) 2/3,

(9) 3/2,

(10) 4/1,

….

康托聲稱，既然我們可以按照自然數序列來將有理數進行排列，那麽我們就可以認為自然數和有理數一樣多。由於康托這個荒唐的結論看似非常合理，它被之後的眾多數學大咖們接受，而反對康托做法的人也未能找出有力的反駁的理由，其中有些人還因此被看作是挾個人恩怨的小度量。而康托按照是否能找到自然排序來衡量無窮集合大小的做法也就成為了集合論的基礎之一。當那些大咖們看到康托的做法可能帶來邏輯矛盾時，他們就想辦法解決那個“悖論”，就如同羅素，圖靈，哥德爾他們所做的，並因此創立了所謂的“自我指涉”悖論理論。但遺憾的是，盡管他們那些悖論想的很大而實際意義其實很有限，卻沒有一個人願做戳破皇帝新衣的那個小孩，象我在“一不小心破解連續性假說（CH）？”一文中所做的那樣來用最簡單的數學例子對康托的理論進行檢視，否則的話，他們應該早已發現我下麵將要指出的康托理論的哲學錯誤。

（一） 研究的便利與實際數學意義之界線

康托的編號（denumerate）法則為人們研究無限集合提供了方便，最令人印象深刻的是根據他的編號法則，人們可以有一個區分無限大等級的依據：實數無法編號而代數數（algebraic number）因為可編號所以它們的長度不等。而有理數可編號所以與自然數一樣多，或者說所有可以用自然數進行編號的序列都和自然數一樣多。

但是，這樣用編號來給無限集合提供判斷“大小”的方法顯然存在著哲學上的荒唐性：首先，在有理數的任意有限的長度範圍內，不論它含有多少億還是多少百萬億個元素，有理數一定比自然數多很多，所以，用康托編號法則得出的有理數和自然數一樣多不具有任何物理實際意義；其次，如下麵的（二）中將要指出的，用自然數編號判斷無限大集合的大小本身在邏輯上是錯誤的。

（二）對於無限多的集合我們可以有無限多種排列

上麵康托對於有理數與自然數一樣多的證明中，他找到了一種為有理數進行排列的法則，按照這個法則，我們似乎可以給所有的有理數分配一個自然數編號，因此有理數似乎就與自然數一樣多。但是，這裏的前提是我們要將集合的元素數目延申到無限大。而當我們把集合的元素數目延申到無限大的時候，我們就可以有無限多種對於其中的元素進行排列的方式。我在“一不小心破解連續性假說（CH）？”一文中給出的就是將有理數的一個子集進行排列的一種方式，按照那種排列，很顯然有理數的一個純子集的元素絕對多於自然數。而我給出的那種按照自然數的大小發展進行排列的方式顯然比康托編號法則更有實際意義，因為它在自然數的任何有限範圍內都成立。

我在那個被academia.com刪掉的討論中將這一現象稱為“假如希爾伯特的大飯店中有無限多個房間，那麽我們就能有無限多種排列那些房間的方式”。我的意思是，康托找到了一種方便使用的排列方式，便將這種排列方式定義為衡量無限大集合的大學的法則在哲學上是錯誤的！我是先給出了這個論點，然後寫了“一不小心破解連續性假說（CH）？”，再將其中的數學論證翻譯成英文放到那個討論中。不久那個討論便被刪掉了。

（三）數學與美學之間的區別

近代學術界有一個誤區，就是用美學標準作為判斷數學和物理學理論的價值的最根本的標準。這一誤區的本質可用兩個字來形容：“膚淺”。要特別強調一下，不是不能用美學標準來幫助判斷數學和物理學理論的價值，因為自然界的很多現象都具有特殊的數學美；但是，如果將美學標準作為判斷數學與物理學理論價值的最根本的標準那就不對了。這不是因為數學理論和物理學理論的價值在最根本的層麵上不具有美學價值，而是因為人類的審美能力本身是有缺陷的，是膚淺的。

前麵所介紹的康托給出的有理數方陣以及瀏覽該方陣的法則確實很漂亮。但這種漂亮更主要的是心理層麵的衝擊力，而不能代表有理數與自然數在本質層麵上多少的全部意義，更確切地說它不能代表有理數與自然數數目多少之對比的實際意義。

（四）局部邏輯無限延申之誤導

上述康托的編號法則是康托度量哲學的一個特例。康托度量哲學的基本思路是隻要他能找出一對一的對應，那麽那兩者所含有的元素就是一樣的。1877年康托另一個驚人之作便是“證明”了正方形的邊長與正方形所含有的點數是一樣的。這明顯就是將基於現實的知識延申到超出現實的無限大領域而產生的哲學謬論，一個織布女工就能輕易地指出康托的上述結論有多荒唐，但是這個熱衷於皇帝新衣的世界就是喜歡這種稀奇的作品，直到今天，康托的這一定理仍是集合論及與其相關的幾何學的重要的基礎理論之一。而這裏康托的遊戲之所以能成功，就在於那個希爾伯特大飯店裏有無限多個房間，你想怎麽玩都行。在這樣的前提背景下，康托又找到了用邊長上的點對長方形裏的點進行“編號”的法則。既然邊長上有“無限”多個點，他怎麽玩都不會出現資源不足的問題，關鍵在於要找到那個法則。

（五）數學與自然現實的界線

人們除了因抵擋不住表麵美的震撼力而混淆表麵美學標準與實際的數學及物理學理論價值之外，也容易混淆數學的邏輯可能性與實際的自然現實。康托度量哲學的種種缺陷其實都與這種混淆有關。對於康托來說，隻要找到一種法則或某個函數，就是在自然界有意義的現實。

這裏我們要注意不要走到另一個極端去輕易地否認數學現實主義（mathematical realism）的合理性，因為這直接涉及到宇宙的根本特質的問題，而對於這個問題人類今天的知識是遠遠無法理解的。基於這個原因，我這裏不會否認任何數學上存在的形式在現實中都可能具有某種對應的哲學觀。但是，對於這一哲學觀的肯定是建立在這樣一個前提之下的：我們並不總是能夠在特定的時間段裏確定任何一種數學形式在自然中實際對應的現實意義。這與前麵提到的人類審美能力的不足一樣，並非數學與物理上合理的存在不美，而是人類的審美能力有局限。以正方形邊長與正方形所含點數的對應來說，或許在某個未知的領域它具有一定的實際意義，但絕非在我們對於正方形和邊長的幾何關係的認識上有任何意義，更不能作為否定正方形含有無限多個邊長上的點的結論的正確性的依據，也不能作為否定“正方形含有無限多個邊長上的點的結論比康托的結論更具有現實合理性”的結論的依據。

。。。。。。

[慕容青草]

舉個學過微積分的人都熟悉的簡單例子：當n趨於無窮大時，根據洛必達法則，（n^2+1)/(n+1)將趨於無窮大。。。但是，按照康托告訴你的，它應該是趨於1，因為正方形邊長上的點數與麵上的點數一樣。。。。

[慕容青草]

過去一百多年裏包含眾多學術界巨星在內一幹人眾參與的皇帝新衣大戲的一個共同特點就是那些戲劇中還常伴隨著假訊息！

比如，有關能量守恒，一個流行的假訊息是說諾伊德證明了能量守恒，但實際真相是，如我在之前的文章中指出的那樣，諾伊德定理的原文中根本沒有說她證明了能量守恒，恰恰相反，她在那篇文章中明確指出廣義相對論違背了能量守恒。。。

對於康托集合論。。。你今天上網隨便一查，哇，一個個都說康托宣告了無限大並非都是一樣大，打破了人類之前的誤解。。。。但事實真相為比康托早兩百年的洛必達法則就是教人們比較不同的無限大之間的大小的。。。而康托恰是在很大程度上混淆了很多不同的無限大之間的區別，比如本文所指出的幾個例子。。。

[慕容青草]

對於不熟悉集合論和數論因而感到最近這三篇關於破解希爾伯特第一問題及討論康托集合理論的文章不易懂的讀者，這裏是提示：

你按照本文所介紹的康托用來對有理數進行編號的法則來編號會發現，用不了多久，用來編號的自然數就遠遠大於（注意：不是大於，而是遠遠大於）所編號的對象。。。。。。這本身就表明拿自然數給有理數進行編號是超支的，是赤字經濟，是入不敷出的。。。而康托之所以可以這麽玩是因為他的庫存裏的貨是無窮多，盡管他的無窮多根本比不上被編對象的無窮多，反正誰也不會真地去編無窮多的號。。。。。。這在哲學上是典型的詭辯（sophistry）。。。但詭辯在過一百多年的哲學界，物理學界和數學界已經成為一個常態。。。

你認為這樣下去，人類文明還有希望？你認為這樣下去世界末日還不會到來？？？