用數學取代哲學之混亂--談兩則著名現代悖論

過去一個世紀裏隨著專業哲學的衰敗，學者們越來越傾向於試圖用數學幫助他們理解哲學，卻常常忘記了他們仍然需要有正確的哲學來幫助他們理解數學從而引發一些哲學上的亂象。

我曾在一篇關於形而上學的發展史概略的文章中指出，今天的主流哲學之缺少智慧的重要表現就是他們在形而上學（metaphysics），唯心論（idealism），辯證法（dialectics），和悖論（paradox）這幾方麵遠落後於古希臘的哲人們。但在悖論這一項上，今天的哲學界可能會自以為比古希臘的哲人要強出許多來，不但因為牛頓所創立的微分學讓他們感到可以在一些悖論上傲視古希臘悖論大師芝諾，而且因為他們似乎以為在掌握了現代數學邏輯之後，他們就可以用數學邏輯來解決一切悖論問題了。

本文將要討論的兩則上世紀產生的被主流哲學界拿來大肆吹捧的現代悖論就在不同的層麵上反映出用數學來取代哲學可能帶來的亂象。

（一）可知性悖論

著名的Fitch可知性悖論（Fitch's paradox of knowability）被稱為是認識邏輯學（Epistemic Logic）的一個基本悖論[1]。按照斯坦福哲學百科全書上的介紹[2]， Fitch最初的結論為：“目前不知的真理都是不可知的（the existence of truths in fact unknown entails the existence of truths necessarily unknown）”，用符號邏輯表達出來為：

∃p(p∧¬Kp)?∃p(p∧¬◊Kp)

但是，現在流行的所謂的Fitch可知性悖論的實際表達為：“如果存在有可知的真理，那麽所有的真理都是已知的。（if any truth can be known then it follows that every truth is in fact known）”。

很顯然，不論是Fitch最初的結論還是人們通常所說的大名鼎鼎的Fitch悖論都與常理不符，因此，一定是 Fitch或者後來用不同的方法對其結果的進行推導論證的人在推導論證的過程中有邏輯上的錯誤。但是，自1963年Fitch的推導和結論被第一次發表以來，它卻被學界正兒八經地當作了一個悖論。滑稽的是，在這個悖論中，被認為所悖的不是Fitch的結論有悖於正確的常理；如果那樣的話，恐怕大多數人都會馬上質疑它的推導論證的邏輯是否有問題。。。

今天Fitch悖論中被認為所悖的是“所有真理都是可知的”這麽一句所謂的常理。

但問題是“所有真理都是可知的”這句話本身就不是一個正確的常理，隻不過是某些人所持有的對於真理特性的誤解而已。因此，即便Fitch的結論是正確的，那也隻能算是糾正了某些人的錯誤觀點而已，又怎麽能算是悖論呢？

更何況Fitch的結論本身就是錯誤的，因此，所謂的Fitch悖論其實是學界把一個錯誤的結論作為另一個錯誤的“常理”的對立麵，然後就把它形塑成一個了不起的現代悖論。

最初的推導者Frederic Fitch本人似乎並不認為那是個悖論，但學界卻堅稱其為悖論。這樣一來，這個由數學邏輯推導出的一個完全不符合現實的結論經由故弄玄虛的哲學解釋之後就成為一個被稱之為顛覆了過去的常理的，可以作為所謂的認識邏輯學的基礎的大名鼎鼎的悖論了。

其實，學界也確實有人出來指出Fitch的數學推導過程中所用的假設的錯誤，因而否認Fitch的結論是一個悖論（Brogaard and Salerno 2019）。但迄今為止，沒有一個用來否認Fitch結論的數學推導論證得到了學界的公認，而學界討論的焦點並非指出我在上麵提到的將Fitch的結論作為悖論的可笑性，而是聚集在如何可以找出一個更合理地表達真理的可能性的數學模型，從而能避免Fitch悖論。因此，他們實際上與Fitch有著共同的出發點，那就是認為可以用數學的表達式來精準地描述人們在生活中對真理的表達，而其中的一個隱含的意思則是可以用數學的形式邏輯來完全表達哲學的問題。

即使是他們已經明顯陷入了一個無止境的沒有太多積極成效的爭論漩渦之中，他們試圖用數學取代哲學的熱情似乎也並未減少。而與此同時，所謂的Fitch悖論仍被很多人當作一個高大上的學術瑰寶傳播著[3]。。。。。。

（二）阿羅悖論

這個悖論源自諾貝爾經濟學獲獎者肯尼斯阿羅的博士論文[4]中提出的被譽為重要的社會選擇理論的“阿羅可能性定理（也被普遍地稱為不可能定理）”。在那篇文章中阿羅運用福利函數（welfare function）的概念通過將社會成員對社會效用（utility）的不同（alternative）的排序（ordering）的選擇的問題進行符號形式化而表達為一種簡單的公理結構，然後運用邏輯討論得出了結論說，人們無法設計一個體係來通過完全自由的投票選擇將個人的偏好反映為社會群體的偏好，其原因是無法消除被稱為投票悖論的孔多塞悖論[5]^,[6]。

所謂的孔多塞悖論說的是當一個社群對三個或以上的選項的順序進行兩兩對比投票來選出公眾的偏好順序時，可能因出現循環性選擇而無法確定結果。比如，要公眾對A，B，C三個選項進行投票，如果我們用大於號（>）來表示“優於”的話，那麽可能會出現多數人選擇A > B （選擇A>B的人多於選擇B>A的人），多數人選擇B>C，同樣也是多數人選擇C>A。因此，人們無法通過多數人選擇A>B和B>C得出多數人選擇A>B>C的結論。

阿羅的（不）可能性定理說的是當至少有三個可供社會成員以任何方式進行排序的選擇時，如果沒有對單個排序的性質進行任何先決的假設，那麽所得出的社會福利函數必然是強製性的或獨裁性的。

本文後麵的附錄中有對阿羅在他的博士論文中對他的可能性定理（或不可能定理）的原始表述及推導的簡介，文章後麵也給出了阿羅的博士論文原文的鏈接，有興趣的讀者可以自己去查閱。阿羅在他的博士論文中對他的不可能定理給出了如下的詮釋：

可能性定理表明，如果沒有對單個排序的性質進行任何先決的假設，那麽就沒有投票方法可以消除第一部分中討論的投票悖論，無論是哪種投票方式，無論是多重投票還是比例代表製，無論多複雜。類似地，市場機製無法產生理性的社會選擇。

（英文原文：The Possibility Theorem shows that, if no prior assumptions are made about the nature of individual orderings, there is no method of voting which will remove the paradox of voting discussed in Part I, neither plurality voting nor any scheme of proportional representation, no matter how complicated. Similarly, the market mechanism does not create a rational social choice.）

後來這個可能性定理之所以成為了一個可以被稱為是悖論的不可能定理是因為將“不存在獨裁投票者”和“不得強製規定某個排序為選項”這兩條加入到了定理的條件中。因為阿羅定理指出在所給出的條件下所得出的福利函數一定是強製性的或獨裁的，因此當加入了上述兩個條件後，它自然就成為了一個可以被稱為是悖論的不可能定理了。

從上世紀50年代初至今的70年中阿羅悖論一直享譽世界社會學和經濟學領域，著名的斯坦福哲學百科全書網站在相關的介紹文章[7]中對阿羅和他的不可能定理給出這樣的評價：“不可能定理本身為當代社會選擇理論設定了許多議程。阿羅還是一名研究生時就做到了這一點。 1972年，由於他的貢獻，他獲得了諾貝爾經濟學獎。（英語原文：The impossibility theorem itself set much of the agenda for contemporary social choice theory. Arrow accomplished this while still a graduate student. In 1972, he received the Nobel Prize in economics for his contributions.）”

最近我在網上找了幾篇英文和中文（包括中英文的維基百科在內）在內的介紹阿羅悖論的文章後發現，70年後的今天，學界的學者們對於阿羅悖論的認識之混亂令人錯愕。盡管這些專業性的網站的文章對阿羅悖論在文字上敘述還基本正確，有的甚至遠超出了阿羅悖論本身而引入的大量的相關或不相關的其它知識用來解釋阿羅悖論，但是從他們所舉的例子來看，竟沒一人真理解了阿羅悖論。

不過這些文章往往具有這樣的共同特點：1）還沒理解悖論本身的哲學意義及適用條件，就直接跳到舉例，因而出現舉例不當的現象。這可以說是缺少了哲學理解的所謂現代經驗科學（empirical sciences）比較容易出現的問題；2）與70年前阿羅的簡單的形式論證相比，後來的人傾向於用更複雜的數學邏輯形式來證明阿羅悖論，這是現代學者們試圖用數學邏輯來處理所有悖論問題之迷思的典型表現。

幾點討論：

首先，目前介紹阿羅悖論的文章常喜歡直接用特例來說明阿羅悖論。其實，與人們所熟悉的諸如理發師悖論等一些其它的悖論不同，阿羅悖論以及作為它的核心邏輯的孔多塞悖論並非是針對具體特例，而是在一般的開放條件下的悖論。因此，如果你用一個特例來說明阿羅悖論，我也可以用一個特例來否定阿羅悖論。以前麵在介紹孔多塞悖論時提到的人們對A，B，C三個選項的投票為例，你可以用一個特例來說明人們因循環邏輯而得不出一個一致結論的特例，我也可以說投票的那天偏巧所有的人都同意A>B>C，所以無異議通過。因此，用具體的一個特例來說明阿羅悖論或孔多塞悖論都是不對。這兩個悖論的意義是在給定的條件下人們無法設計一種投票方式來徹底排除出現那種循環邏輯的可能性。

第二，其實，我們並不需要象阿羅那樣地來論證，更不需要象後來的人那樣大動幹戈地用數學邏輯進行證明，就應該能知道阿羅悖論的結果。這是因為前麵提到過阿羅可能性定理所麵對的是開放性的一般社群，並不是某個特例，而他在推出那個定理的過程中所假設的所有條件（見附錄）都是對所有的選項x來說是同等的（即對稱的），而對於投票者他也通過加入沒有獨裁者條件使得所有的投票者不但同等而且獨立的，在這種情況下不用進行任何數學的推導，僅憑哲學思辨就應該知道不可能得到滿足所有條件的能夠決定一個排序的福利函數，因為任何一個確定的排序對於所給出的選項來說都是不對稱的，或者說在任何一個確定的排序中的選項的地位是不同等的，而你在得出這個結果時所涉及的條件卻是完全平等對稱的，那是不可能的。

第三，目前介紹阿羅悖論的文章常喜歡直接用對人們僅有的三個選項A，B，C的排序進行投票來對阿羅悖論進行說明，甚至幹脆還用三個人a，b，c對僅有的三個選項A，B，C的排序進行投票而出現A>B>C，B>C>A，及C>A>B 的狀況來作為例子。這又是沒有正確理解阿羅悖論及孔多塞悖論的表現。

其實在對僅有的三個選項A，B，C的排序進行投票的結果中出現上述這種因循環邏輯而完全無法決定結果的可能並不高，因為隻有當各有嚴格的六分之一的人選擇A>B>C，B>C>A，C>A>B， B>A>C, A>C>B, C>B>A時才會出現，否則的話，至少有一種排序可以馬上給排除掉，通常來說，通過這種投票來淘汰掉幾個或選出一個的機會還是很大的。

而阿羅悖論或孔多塞悖論中討論的是針對兩兩比較進行投票的情況，這時就很容易出現那兩個悖論所提到的循環邏輯。也就是說，當要人們決定A與B哪個更好的時候，可能會出現多數人選擇A>B的情況，當要人們決定B和C哪個更好的時候，仍然可能會出現多數人選擇B>C的情況，但是這並不等於多數人一定會認為A>C，也就是說同樣可能會出現多數人認為C>A。而在這三種情況下的多數人並不一定是同一組人。比如，在對A和B投票時的少數人有可能與對B和C投票時的多數人結合在一起選擇C>A，等等。在現實生活中同一組人選擇A>B，B>C，和C>A也是可能的，不過那不是阿羅和孔多塞所考慮的狀況。

一般來說，隨著總的選擇項的數目的增加，通過兩兩比較而出現某種循環邏輯的機會也增大。實際上對於N個選擇項來說，如果要民眾投票決定N-1個或更少個（隻要>=2）個排序的話，出現某種循環邏輯的機會就比較大，隻不過一般人們不會去進行這樣的選擇，而是要對全部N個進行排序，要就對兩兩進行比較。

第四，對排序進行公眾投票屬於是一種理想的研究經濟的模型。如果象一般的民主政治選舉那樣對所有的選項進行投票，而不是對排序進行投票，然後按照得票多少來進行相關的排序的話，就不會出現阿羅悖論或孔多塞悖論的狀況。因此，如阿羅自己在他的論文中指出的，他的可能性定理所針對的僅是如何將社會上的個人偏好通過自由投票的機製來轉換成社會整體的偏好這個議題而已。而今天介紹阿羅悖論的文章通常沒有指出這一點，而是經常誇大了它的適用性。

結論：

在阿羅悖論被提出了70年之後，學者們表現出的對於阿羅悖論的理解上的混亂表明用數學形式的論證取代哲學的思辨並不能讓問題變得對公眾來說更容易理解，但是卻更能吸引公眾的注意力。如果當年阿羅沒有將問題進行形式化的表達並進行簡單的形式邏輯的論證而隻是用我上麵的那幾句哲學的思辨來說明相關的不可能性，恐怕就不會引起社會及學界的相同的興趣，甚至可能都難以通過他的博士答辯。換句話說，過去幾個世紀裏在專業學界（首先是專業哲學界）的帶領下人們放棄哲學思辨而追求所謂的形式的（formal）表達和經驗的（empirical）的調查並非完全是為了能使問題顯得更容易理解和把握，而是在很大程度上為了獲得一種不同於日常對話的特殊的專業感覺。這種文化現象的重要起因是專業哲學界無力帶領社會整體的哲學思辨能力的提升，而這種文化的一個嚴重的直接後果便是社會整體的哲學思辨能力的大幅衰退。

（三）附錄 阿羅在博士論文中給出的關於他的可能性定理（不可能定理）的推導

阿羅在他的博士論文中對社會福利函數做了如下的定義：

定義3：“社會福利函數”指的是針對任何一組個人社會狀態選擇排序R1,. . . ，Rn （每個人一個排序）而言的過程或規則，通過這個過程或規則得出相應的整體的社會狀態的排序選擇， R。

（英文原文：Definition 3: By a "social welfare function" will be meant a process or rule which, for each set of individual orderings R1,. . . ，Rn for alternative social states (one ordering for each individual), states a corresponding social ordering of alternative social states, R.）

他在該論文中給出的可能性定理的表述如下：

如果至少有三個可供社會成員以任何方式進行排序的選擇，那麽每個滿足條件2和3並能給出滿足公理I和II的社會性排序的社會福利函數必然是強製性的或獨裁性的。

（英文原文：If there are at least three alternatives among which the members of the society are free to order in any way, then every social welfare function satisfying Conditions 2 and 3 and yielding a social ordering satisfying Axioms I and II must be either imposed or dictatorial.）

其中的條件2和3如下：

條件2：如果一個社會狀態選項x在每個人的排序選擇中上升或不下降，而這些順序沒有任何其他變化，並且x在單個排序變化之前比y優先，那麽x仍然比y更優先。

（英文原文：Condition 2: If an alternative social state x rises or does not fall in the ordering of each individual without any other change in those orderings and if x was preferred to another alternative y before the change in individual orderings. then x is still preferred to y. ）

條件3：令R₁，R₂和R₁'，R₂'為兩組單獨的排序。 如果對於一個給定的集合S中的個體i以及所有x和y，當且僅當xR_i'y時，xR_iy，則由S做出的社會選擇是相同的，無論個體順序是R₁，R₂還是R₁'，R₂'。

（英文原文：Condition 3: Let R₁, R₂, and R₁', R₂' be two sets of individual orderings. If, for both individuals i and for all x and y in a given set of alternatives S, xR_iy if and only if xR_i'y, then the social choice made from S is the same whether the individual orderings are R₁, R₂, or R₁', R₂'.）

其中，xR_iy的意思是在R_i中x不會排在y後麵。阿羅將這條件3稱作獨立於無關變量的條件（Independence of irrelevant alternatives），他的解釋是：公眾對於x和y的排序的選擇不會受到其它選擇項的變化的影響。他特別用一個不滿足條件3的例子來對條件3進行解釋，在那個例子中共有四個選項x，y，z，w，和三個選民。投票結果的順序是x，z， y，w；但如果把y從選項中除去，則x和z成為並列第一，因此不滿足條件3。

而上述的可能性定理中所說的公理I和II如下：

公理I：對於所有x和y，xRy或yRx。

（英文原文：Axiom I: For all x and y, either xRy or yRx. ）

公理II：對於所有x，y和z，xRy和yRz表示xRz。

（英文原文：Axiom II: For all x, y, and z, xRy and yRz imply xRz. ）

其中R表示對所有被選擇元素的一種排序，xRy則表示x不會排在y後麵。

 

 

 

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[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Fitch%27s_paradox_of_knowability?fbclid=IwAR3p80whYpn5xvn2RBIf6J4IYFMRIxutXibGIvk5Z8GD8cTnbaVLMGrWzlg

[2] Brogaard, Berit and Salerno, Joe. "Fitch’s Paradox of Knowability", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/fitch-paradox/>.

[3]http://thiseven.blogspot.com/2013/07/fitchparadox-of-knowability.html

[4] Arrow, Kenneth J. (1950). "A Difficulty in the Concept of Social Welfare" (PDF). Journal of Political Economy. 58 (4): 328–346. doi:10.1086/256963. JSTOR 1828886. S2CID 13923619. Archived from the original (PDF) on 2011-07-20.

[5] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%95%E7%A5%A8%E6%82%96%E8%AE%BA （這篇中文的介紹過於簡單，如感到困惑，請看下麵一篇英文的）

[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Condorcet_paradox

[7] Morreau, Michael, "Arrow’s Theorem", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2019 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/win2019/entries/arrows-theorem/>.

[慕容青草]

現代的專業哲學界在成功地用數學邏輯解釋了一些傳統的悖論後，由於其哲學思維的普遍低下而對數學邏輯與悖論之間的關係產生了兩方麵的錯覺：

1）過度誇大了用數學邏輯解釋悖論的適用性。其典型的例子是用什麽模糊數學邏輯來解釋那麽著名的沙丘悖論，把好好的一個有著幾千年曆史的傳統悖論搞得不倫不類。。。那根本不是一個可以用數學邏輯解釋的問題。。。

2）完全混淆了用數學邏輯解釋悖論與用數學邏輯來推導出悖論這兩類不同性質的問題。用數學邏輯解釋悖論，盡管其有效性是有限的，但畢竟在一些條件下還是合理的。而用數學邏輯來推出悖論，那本身就是荒唐的。

一個人如果能用數學推導出一個悖論，那基本上就隻有兩種可能：

（一）推導論證中存在邏輯錯誤，比如那個Fitch悖論。

（二）推導論證中出現循環邏輯，比如那個不用數學推導就知道不可能的阿羅不可能性定理---盡管它的作者是諾貝爾獎獲得者。

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