正文
本節介紹朱載堉在物理、數學和天文曆法方麵的成就
朱載堉所創立的創立十二平均律理論從現在的物理學角度看是頻率和弦長關係的一維問題，適用於弦樂器，他在研究管樂器的音律時又發現了以管定律與以弦定律的差異。《律呂精義》一書中指出，各音律以半音進入較高的次一音律時，管不僅要縮短長度，同時要縮小圍徑，在規定各律管長度的同時，也必須規定律管內徑的大小。這是由於管與弦的振動發音方式不同，管的發音體是氣柱，必須要測 定出氣柱實際振動尺度與管的尺度之間的差數，也就是“管口校正數”，這樣才能正確地製造出所需要的律管。於是他提出了“異徑管律”論，這個理論實際上是一種管口校正方法。從現在的物理學角度看，氣柱振動問題是一個頻率和氣柱的長度及半徑都有關係的軸對稱體振動問題，朱載堉在“異徑管律”理論中，將他的密率理論係統地應用在律管的管口校正上，成功地製造出了符合其理論的律管。比利時聲學家馬容於 1890 年發表了一篇報告，他說依照朱載堉提出的律管長度和內徑數據，在黃鍾的倍律（低八度）、正律和半律（高八度）上加以實驗，認為三律在八度關係上都符合要求，完全準確。因此可以說朱載堉成功地解決了軸對稱體振動的頻率和它的長度及半徑的關係。
為驗證“異徑管律”理論，朱載堉製作36 支律管。由於強調音律的精確性和律管製作的精密度，他對律管的材料——竹管的選擇作了十分詳盡描述，如“大竹不堪用，惟用小竹長節者耳”、“ 甜竹最佳”、“新采濕竹， 使幹極乃造，濕造則不佳”等等。律管造出後，在實驗時，有一個不可忽 視的條件：吹氣要適當。朱載堉說：“吹時不可性急，急乃焦聲，非自然聲也。”又說：“吹律人勿用老弱者，氣與少壯同，必不相協。然非律不協也。”指出了吹氣強弱對發音影響。這與現代科學知識是相符合的：當急吹時，吹口處壓強過大，管的另一端逸出的氣流形成了渦流，而老弱者吹氣不足，吹口處空氣壓強過小，管的另一端甚至無氣流逸出，這兩種情況都對管的正常發音有影響。從物理上說朱載堉解決的是均勻氣柱的振動問題，其結果對非均勻氣柱不合適。 朱載堉不僅用竹製作律管，還製造了銅質的金屬律管，為了保證製造過程中的準確性，他寫了一份類似現代工藝流程的報告，其中對沙模、焙幹、 澆鑄、鑽孔、拋光和截斷等有關技術問題一一作了解釋和交代。在當時技術條件的限製下，朱載堉能做到這樣嚴謹，是非常了不起的。所以朱載堉不僅是一個隻動腦的理論家，而且也是一個會動手的實踐家，他非常注重實驗的驗證。朱載堉注重實踐、實驗和實測。他特別注意把自己的理論放在實踐中去檢驗。他的書中記述了大量的實驗事實，如管口校正實驗、和聲實驗、累黍實驗、度量實驗等，就充分反映了他的這一思想方法。
在聲學方麵，朱載堉對樂器的共振現象作了細致的分析。根據現代物理學理論，二個聲波的振動頻率成整數比或簡單分數比，可以發生共振，在音樂學上，就能產生悅耳的和聲效果。朱載堉把成整數比的二個音稱為“正合”， 成簡單分數比的二個音稱為“旁合”，“正合”也稱為“應”， “旁合”也稱為“和”，“彈宮宮應，彈徵徵應，曰應；彈宮徵和，彈徽商和，曰和。”，這段話就是說宮音，高八度和低八度都能共振，徵音也是如此；宮音和徵音，徵音和商音都能起到和聲的效果。他又說，“凡絲弦之屬，宮與宮協為正合（商以下仿此）；宮 與徵協為旁和（商與羽協，羽與角協仿此）。正合為同，旁合為協。”“箏弦隔六為正合，隔三隔四為旁合。”隻用一次三分損益法（不是反複使用求所有的十二律）得到和用十二平均律得到的兩個律位上的音的頻率比非常接近，而前者的比值是3/2（三分損一）或3/4（三分益一）都是簡單分數，宮音和徵音，徵音和商音，商音和羽音，羽音和角音正是這種情況。類似地在瑟中，他又詳細舉了撮八（又稱隔八）為正合，而上生撮四、下生撮五為旁合。例如，瑟第1，第8，第15與第22弦皆為宮音，第2，第9，第16與第23弦皆為商音；第3，第10，第17與第24弦皆為角音；第4，第11，第18與第25弦皆為變徵音（比徵音低半音叫變徵音）；第5，第12與第19弦皆為徵音；第6，第13與第20 弦皆為羽音；第7，第14與第21弦皆為變宮音（比宮音低半音叫變宮音）。這些弦都是撮八正合音。這些音是純八度相合。由弦線較長的音生弦線較短的音為下生，即由低音生高音，如宮與徵，商與羽，角與變宮等為旁合，亦即撮五旁合，反之為上生， 則是撮四旁合，如變宮與變徵，羽與角，徵與商等。這些音是純五度相和。 這些發音分析，在物理學上稱為諧波分析，也是和聲學中的基本內容之一。在音樂實踐中，朱載堉吸取了民間笙師的經驗，利用複音樂器笙的幾個和聲管來驗證律管和其它樂器的發聲，作了極好的和聲實驗。
朱載堉的又一個物理學工作是測定了地磁偏角。在世界上最早發現地磁偏角的是宋代沈括，但他沒有具體記下偏斜角度及地理位置。朱載堉用“正方案”對地磁偏角作了具體的測定。所謂“正方案”，它是由郭守敬發明的 一種利用竿影來測定南北方向的儀器。竿置於該儀器平板的中心，以此中心為圓心畫有同心圓若幹。同心圓可按需要畫上刻度，如朱載堉將圓分為百刻，然後根據正午的日影測定南北方向。 當南北方向測定後，指南針的方向與南北方向的夾角即是磁偏角。朱載堉是在 1567—1581 年間在北京進行測量，根據朱載堉的測量，當地磁偏角為一又三分之一刻，容易換算得 360°x4/3/100=4.8° = 4°48′，也就是說，在那個時候北京的磁偏斜為偏離地理南北方向朝東 4 度 48 分。
為了要測定準確的黃鍾律管，朱載堉認為，不能按傳統做法以黍粒決定它的容積， 而改用水銀。因此，他相當準確地測定了水銀密度。他所測定的水銀密度與 現代測定的水銀密度比較，當 0℃時，誤差為+0.2672 克/立方厘米。當 20℃時， 誤差為+0.3165 克/立方厘米，平均誤差為 0.2912 克/立方厘米其精確性令人驚訝。
由於朱載堉要確定律管的內外周、內外徑、橫截麵和容積，圓周率取何種數值，是一個很重要的問題。朱載堉在《律呂精義》中敘述了“新法密率 算術周徑冥積相求”之法，在其《樂學新說》中以口訣形式總結道：“訣曰：圓周四十方容九，勾股求弦數可知，遂以此求徑率、求周、求積亦如之。”這裏的徑率為圓周率，周為圓的周長，積為圓的麵積。這句話的意思是周長為40的圓，其內接正方形邊長是9，由勾股定理可求得直徑長，於是得到圓周率。有了圓周率的數值，就容易根據圓的直徑求出圓的周長和麵積。“周長為40的圓，其內接正方形邊長是9”這個結果則是他把內接正方形逐次擴大為內接正八邊形、內接正十六邊形……反複使用勾股定理得到。朱載堉求得的圓周率就是40除以9再除以2的平方根，這個數值是 3.1426964，他把這個數值稱之為“周公密率”。由於計算周長時所用的正多邊形的邊數還不夠多，朱載堉的“周公密率”遠不如祖衝之推算出的圓周率精確，導致他的關於律管的圓周、麵積和容積的計算值也就有誤差。可是，在實際使用上當以寸為單位測量時，毫位數（小數點下三位數）已是估計值了。 因此，朱載堉的圓周率數值並不影響他製造發音準確的律管。
在中國古代，音律學與度量衡分不開。朱載堉在研究音律學的同時，對計量學和度量衡的演變也做了考察。中國古代以農業立國，所以度量衡也和糧食密切相關：長度是用黍粒排列起來決定，橫排和縱排的長度不一樣，分別叫做橫黍尺和縱黍尺；容積是按黍粒的粒數來計量的。上麵說到測定準確的黃鍾律管的時候，由於律管容積小按黍粒的粒數計量誤差大，因此改用水銀。對於長度，他親自做了累黍實驗以確定古人所說的尺長，並從理論上辯證說明了“同律度量衡”之關係，對後世影響很大。“同律度量衡”的意思是用黃鍾正律管確定度、量、權、衡的標準。用黃鍾正律管的長度作為“度”（分、寸、尺、丈）的標準；用黃鍾正律管的容積作為“量”（龠、合、升、鬥、斛）的標準；用黃鍾正律管放滿的黍粒重量作為“權”（砝碼）的標準，從而製定衡器（秤），這確實有其一定的科學性。做計量用的黍粒，每粒的大小應該比較均勻，為此朱載堉親自種植和挑選了合格的黍粒，並按不同方向進行排列，這就是累黍實驗，為此他專門寫了一篇論文：《秬黍說》。據傳說，古代人以黍粒縱排 81 粒，剛好為一樂律尺。一尺為九寸，一寸為九分，稱為九進尺，一尺中共 81 分。在朱 載堉的《樂律全書》中稱它為“縱黍律尺”。 以黍粒橫排百粒，其長度剛好與日常用尺相同。一尺為十寸，一寸為十分，稱為十進尺，一 尺中共有 100 分。在朱載堉的《樂律全書》中稱它為“橫黍度尺”。因為它 是傳說，在先秦時期，日常 用尺與樂尺相等長度。也就是，一縱黍律尺等於一橫黍度尺，這兩種尺的長 度相同而進位不同。《樂律全書》中指出了三種不同進位尺：橫黍尺即平常十進尺；縱黍尺即九進尺，斜黍尺即混合進位尺。它是以斜排黍粒 90 粒而得到的一種尺，稱為“斜黍九十分尺”。它的尺單位長度與橫黍尺、縱黍尺相等，但尺以下各單位為每尺九寸，每寸十分。朱載堉在這裏的數學貢獻是用算盤完成了九進 製和十進製的小數換算，在數學史上是一項開創性的工作。他還解決了不同進位小數的換算方法，作出了有關計算法則的總結，這在數學史上是很引人注目的成就。
為了計算圓周率和十二平均律個律位的音高，需要用到開平方和開立方計算，例如2的十二次方根要對2進行一次開立方再進行兩次開平方計算，在現代沒有計算器或計算機這樣的計算都很困難。而朱載堉所有的數值計算，都算到24位有效數字，有人曾估計，按每天工作八小時，朱載堉所有的數值計算用人工計算需要不斷計算55年。為此朱載堉利用了中國古代“計算機”-------算盤。他製造了當時最大的“計算機”：雙層，每層橫跨81檔的巨型算盤，並設計了計算程序：開平方和開立方珠算口訣，在算盤上進行開平方和開立方的運算，得到了相應結果。
天文曆法是我國古代科學中發達最早和成就最大的學科之一，經過世代 天文學家的努力，天文曆法工作不斷取得進展。到元代，著名科學家郭守敬、王恂等人在進行大量觀測並吸取前人研究精髓的基礎上，於 1281 年編撰了十分精密的曆法——授時曆，從而把我國古代天文曆法的研究工作推向了新的高峰。可惜，明王朝建立以後，由於對天文曆法的研究工作采取了極其錯誤 的政策，兼之墨守成規、不思改革的思潮泛濫，致使具有優良傳統和雄厚基礎的天文曆法工作失去了生機，迅速從光輝的高峰上跌落下來，進入了一個 停滯不前甚至倒退的黑暗時期。
朱元璋為了加強明王朝的封建統治，采取了一係列思想控製措施，對於天文曆法的研究，也製定了極其嚴厲的法律條例，不許民間私自習曆、造曆，違者或充軍或處死。明代所采用的曆法叫大統曆，其實它就是授時曆，僅改變了名字而已。大多數曆官隻能依樣畫葫蘆，窮於應付皇曆的頒布。無論哪一種精密的曆法，經過長期使用，誤差的積累總會使預推結果與實際天象不符。雖然在使用過程中，也曾發現預推結果與實際天象不符的情況，但多無可奈何，不了了之。在朱載堉提出改曆之議前，也曾有人提出對曆法作小修小改的意見，但由於提議者本身學識膚淺，不能切中要害，更加上反對的勢力強大，這些人多以大統曆“理數極精，古今曆無過之者”為由反對改革祖宗之法，所以改曆之事一直束之高閣。這樣年複一年，恪守舊法之風益甚，造成了官方曆法研究死水一潭的狀況，用明孝宗的話說，已經形成了“朝士鮮知星曆者”的可悲局麵。朱載堉正是這樣的曆史背景下，開始他的天文曆法研究工作的。首先朱 載堉要冒很大的風險才能從事天文曆法的研究，沒有足夠的膽識是不敢問津 天文曆法這一禁區的。其次，朱載堉必須突破祖製不可變的思想藩籬，與盲目迷信授時曆或大統曆的社會思潮相抗爭。如果沒有這樣的精神，即使涉足於天文曆法這一領域，也將一事無成。再者，朱載堉麵對著朝野人士對於天文曆法基本無知的形勢，他必須從頭開始，靠自己的努力，一點一點地學習、摸索，以期解其術、通其法，進而“采眾說之所長”。
朱載堉從研究史誌所載各家曆法入手，步入天文曆法領域。通過刻苦的學習和研究，先後編撰了兩種曆法——黃鍾曆和聖壽萬年曆。 黃鍾曆和聖壽萬年曆均取中國古代傳統曆法的經典形式。黃鍾曆共分九篇，分別解決24節氣、72 候的計算；月朔和閏月的安排；每日日影長度、漏刻更點和南中天星象的推求；日、月交食的預報，日、月五星運動的計算及其在恒星間所處位置的預報等等天文曆法問題。聖壽萬年曆與之大同小異，共分八篇。
黃鍾曆和聖壽萬年曆對授時曆最有意義的修正，是關於回歸年長度及其古今變化的研究。回歸年長度（T）並非恒量，而是一個隨時間而變化的變量，任一年（t）的回歸年長度值由現代天體力學推導出的理論公式可表達為：
T=365.24219878-0.0000000614（t-1900）
在我國古代，關於回歸年長度古大今小的概念，是由南宋天文學者楊忠輔首先提出的，在他的統天曆中，他建立了求任一年回歸年長度值的公式：
T=365.2425-0.000002116（t-1195）
式中1195時這個計算公式開始用的公元年份，在曆法上叫做曆元。元代郭守敬等人，接受了楊忠輔的這一概念，並在他們的授時曆中給出了經過修正的新算式：
T=365.2425-0.0002t0
式中 t0 為以 1281 年起算的整世紀數。
朱載堉批判地繼承了楊忠輔、郭守敬等人的成果，建立了回歸年長度古今變化的新公式：
T=365.2425-0.00000175（t-1281） （黃鍾曆）或
T=365.25-0.00000175（t+3006） （聖壽萬年曆）
這兩個公式基本上是等價的，在黃鍾曆中曆元為公元1281年，在聖壽萬年曆中，曆元為公元前3007年，根據它們分別計算，T值僅有約 0.000002 日之差。這樣，朱載堉糾正了郭守敬等人回歸年長度消長法的不當之處。
在編撰黃鍾曆的過程中，朱載堉幾乎對古代曆法的所有重要問題都作了評述，其心得載於《黃鍾曆議》之中。後來在編撰聖壽萬年曆時，他又對曆 代冬至時刻、晷影測量和交食記錄作了詳細的考證，而寫成《萬年曆備考》。 這些研究工作的方法，正如朱載堉自己所說的是：“輯名曆五十家，傾心考證，時刻分秒，期吻合於璣衡”，其目的則是“采眾說之所長，羽翼大統，廣其未備”。《黃鍾曆議》共有 36 篇，其中前 12 篇主要論述音律與曆法的關係，後24 篇則論述曆法的各種問題，並對地理緯度測量新法進行了探討。
在編撰聖壽萬年曆的過程中，朱載堉又進行了許多天文曆法的研究工作。特別是對冬至時刻和交食的分析測算。冬至時刻的測定，也就是24個節氣的測定，它與農業生產有較密切的關係。而交食是最明顯的天象之一，其預報準確與否，是檢驗曆法的最可靠方法。朱載堉對這兩個重要問題進行了深 入的研究，其成果就是《萬年曆備考》中收載的《諸曆冬至考》、《二至晷 景考》和《古今交食考》等 3 篇專題論文。
朱載堉深知曆法“欲求精密，則須依憑象器測驗天文，積日累月，務得其實，而後綴以算術，立為定法，方可成一代之懿製，傳之萬世而無弊也”。 可是，朱載堉是一個藩王，按祖製不能隨意亂走，不能到京師欽天監用那裏的儀表之具，這無疑限製了朱載堉天文才能的施展。所以他遺憾得說：“儀表之具，生來目所未睹，況能知其距度 之疏密，展次之廣狹乎。”雖然如此， 朱載堉還是作了力所能及的努力，他動手製作了一些小型的天文儀具，設計 了新的測量方法，取得了很好的結果。邢雲路是明末一位著名天文學家，著有《古今律曆考》一書，朱載堉為之作序，序文中稱，他曾和邢“麵講古今曆事，夜深忘倦”，邢“摘曆史緊要處問難”，朱“於燈算以答”，二人“攜手散步中庭，仰窺玄象。”生動地描寫出了他們協力鑽研天文的情形。
朱載堉的天文曆法工作不隻在於曆法的編撰本身，還在於他吸取了先輩天文曆法家許多寶貴的思想和成果，並加以發揚光大，不但給當時處於凋零枯萎的天文曆法界注入了生機，也為後世天文曆法的發展開拓了道路。萬曆二十三年（1595年），他上書皇帝，進獻《聖壽萬年曆》、《律曆融通》二書，提請改曆。其見解精辟，深得識者稱許。《明史•曆誌》曾大段摘引他的議論。禮部尚書範謙向皇帝建議說：“其書應發欽天監參訂測驗。世子留心曆學，博通今古，宜賜敕獎諭。”得到皇帝允許。
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