以下是從數學的角度分析，分析過程中把各種條件極端簡化。而在現實世界裏，各種條件要複雜得多，所以，以上結果並不是在所有的情況下都成立。
以下是把各種條件極端簡化的幾個假設：
在第一年，你從工資裏拿出一筆價值為 principal 的錢，準備存入退休賬戶。
存 years 年。
賬戶裏年增長率是 growthrate。
國家稅率是 taxrate。
稅前 401k
價值為 principal 的工資沒有交稅，全部存到稅前 401k 退休賬戶裏。
過了 years 年，總額變成
取出後，交完稅，到手的總額是
稅後 Roth
價值為 principal 的工資，等交完了稅，還剩下
principal x (1 - taxrate)
把這筆錢作為本金存到稅後 Roth 退休賬戶裏。
過了 years 年，取出（不用再另交稅）的總額為
根據乘法交換率，以上結果又可寫成
可以看出，和稅前 401k 的結果完全一樣。
舉例
稅前 401k
假設價值為 $100 的工資沒有交稅，全部存到稅前 401k 退休賬戶裏。
假設年增長率是 10%。
假設稅率是 20%。
過了 40 年，總額變成
取出後，交完稅，到手的總額是
$4525 x (1 - 0.2) = $3620
稅後 Roth
價值為 $100 的工資，交完稅，還剩下
$100 x (1 - 0.2) = $80
把這筆錢作為本金存到稅後 Roth 退休賬戶裏。
過了 40 年，取出（不用再另交稅）的總額為
和稅前 401k 的結果完全一樣。
現實世界裏更複雜的情況
現實世界裏更複雜的情況主要是稅。
我在分析中假設了 flax tax rate 20%。而現實世界裏顯然不是這樣，所以，現實世界裏的結果肯定會與我以上的結論有出入。某些情況下，可能稅前 401k 更好。在另外一些情況下，可能稅後 Roth 更好。因為稅的規則太複雜，那些情況下哪個選擇更好不在本文討論範圍之內。
本文的結論是：在把稅極端簡化的假設下，稅前 401k 和稅後 Roth 結果完全一樣。
