讓人心裏不踏實的數學 - “數學在自然科學中不可理喻的有效性”

因著John Nash的緣故，腦子圍繞著'數學'這件事情再多打了幾個轉兒。

數學，可真是件讓人不可思議的事情。

 

Brian Greene和Neil deGrasse Tyson倆人有一回在一個講座上鬥嘴，爭論的是數學這個東西到底是不是個宇宙普適的語言。Tyson和Greene，一個天體物理學家，一個理論物理學家，Greene同時還是個數學教授，兩個人的數學當然都好得不得了。Tyson先來一個半玩笑的信徒式宣言，說俺研究宇宙的，數學呢它絕對就是宇宙語言。這是宇宙它老人家親口告訴我的。我倒知道Tyson的信心打哪裏來，他的終極偶像是牛頓先生。牛頓發明了微積分，他就是我們現代數學的老祖宗，玩數學的如果搞祖先崇拜的話牛頓的牌位是當然要供奉的，Tyson他就專門收藏了一部仿古的《數學原理》。對他來說，宇宙就是牛頓他老人家，牛頓就是宇宙總代表。如同Alexander Pope的詩句：'自然與自然之道隱於暗夜之中。上帝說，使牛頓去！於是光明來到世間'。微積分，就是牛頓帶給人間的那一道光明，也當然就是宇宙通用語言。Greene卻不十分放心，說這數學畢竟是人腦子的主觀意識產物，不是誰教給我們的。不敢說它就到哪兒都通用。假如有一天我們遇到了外星人，人家說，把你們的看家本事抖摟抖摟讓咱見識見識，都會啥？咱們就把《數學原理》拿出來給外星人看，說怎麽樣？牛X吧！人家一看說，這玩意兒，初小水平呀，也就能解決點子雞毛蒜皮的小問題。我們家Johnny該上一年級了。過來過來，給你地球大叔解道偏微分方程看看。

 

美國人有句俗語：If it sounds too good to be true, it probably is。天橋兒擺攤賣大力丸的發誓說他那藥上治口瘡下治痔瘡頭頂長瘡腳底流膿全都管隻要是你能說得出名兒的病吃它一概包好。我們一聽它這麽包治百病，就明白它無疑的絕對是個假藥兒 - 人世間哪件東西會有這麽十全十美？但有一件似乎在例外著，那就是數學。數學在違反人類的常識，這讓人心裏不能踏實。一直以來總有人在爭論著這個問題：數學這東西，它到底是個發現呢，還是個發明？Tyson自然認為它是個發現。就好比老上帝本尊就是個數學家，他造萬物時都是循著數學原理的，萬物運轉起來也循此理，再後來這事通過牛頓他老人家透露給了人類。而Greene顯然認為數學純粹是人腦子的產物，但同時也覺得這事簡直神奇得不得了讓人摸不著頭腦，它怎麽會像傳說中的大力丸一樣這麽好使呢？諾獎得主、物理學家Eugene Wigner有一本書的書名叫《數學在自然科學中不可理喻的有效性》。這句話也基本上涵蓋了關於數學的這個悖論：一是它能如此精準地描述現實世界，實在讓人頂禮膜拜。二是這個人腦意識的產物竟能如此精準地描述現實世界，簡直的不成道理！

 

認為數學是人腦意識的產物，並非必然實屬偶然，這是當下認知界的一個共識。有一位學者是這樣論證數學的'偶然性'的：人類湊巧生活在一個離散化的世界裏，一手摸到了五顆豆子另一隻手抓到三顆，5+3=8，數字的概念就形成了。如果人類不巧是一種生活在深海裏的軟體動物，周圍隻有連續介質 - 海水，五滴水是一灘水，再加三滴還是一灘水，加法就根本發展不出來。但我覺得他這是一個讓人臉紅的論證。數學的基本要求是至少有一點點抽象思維能力，這個抽象思維能力使得幾滴水和一灘水有可能發生關聯。沒有這個能力數學當然發展不出來。所以他隻是說明了數學的必要條件是有抽象思維能力，別的什麽也沒能論證出來。還有就是當人們討論數學是否宇宙語言的時候，我總感覺他們在說'語言'這個詞的時候，潛意識裏有'福音'這個念頭。原因大概是大家都是一個宗教文化的大背景下長大的，不管信教還是不信總不免被它熏陶著。這樣一來就把問題越討論越玄虛。倒不如退一步，從'語言作為一種工具'的角度思考一回。這就是我想試一試的。

 

自從牛頓把力學和微積分介紹 - 我既不想用'發現'也不想用'發明'，就說是'介紹'吧 - 給了人類，科學家們用它們開發出很多解釋大自然研究大自然的工具，其中的一個精品是Navier-Stokes方程



這個以一個法國人和一個愛爾蘭人的名字命名的方程式用來描述我們身邊的流體流動現象 - 所有我們身邊的流動，所！有！的！從江河湖海到血管流動，從大氣環流到抽水馬桶、飛機設計、發動機製造，它樣樣都管管得就是寬。這樣的方程我們叫它governing equation，總督全體跟流動有關活動的意思。在今天，N-S方程是航空人的吃飯的家夥幹活的工具，沒了它我們立刻會有赤身裸體手無寸鐵的感覺。有意思的事情是，雖然N-S方程已經有了快二百年的曆史，我們也幾乎是認為它是普適的，但也不敢拍胸脯百分百保證沒例外，並且也不敢說它永遠一定有解。這是因為它是經由一些假設推導出來的，也就是說是人類抽象思維的產物。它能在我們身邊的所有流動現象中得到印證已經是個奇跡。特別要提的是紊流流動問題。關於紊流有一個不懂流體力學的人也會知道的故事，物理學家海森堡死前說，要帶著兩個為什麽去見上帝，一個是為什麽相對論，另一個就是紊流。他還說，第一個問題老上帝估計有答案，第二個問題就難說。他終於問沒問老上帝有沒有得到答案，我們至今還沒有聽到什麽消息，所以大家還是不明白紊流這件事。到目前為止，一般認為N-S方程也是適於紊流的，隻是我們不知道為什麽。

 

說到這裏已經挺神奇，然後我們讓視線離開地球去察看太陽係，不隻我們身邊的流動，天王星上的大紅斑也印證了N-S方程。不過這倒也不算什麽，那是我們太陽係裏的親戚不是？接著再把視線向外放射，渦旋星係的形成，星係中恒星的運動也都可以用它來描述，這就有些驚天地泣鬼神的意思了。人類的抽象思維與宇宙絲絲相扣，這意味著什麽？N-S方程真的僅僅是人的主觀意識產物嗎？

 

接下來離開現實開始海闊天空。假設我們真的遇上了一幫外星人 - 一些智力不低於人類的外星人，坐下來和它們聊聊各自星係的形成年代。我們住銀河係他們住在Andromeda - 離開我們最近的那個渦旋星係，既然是鄰居一起拉拉家常很有必要的。當然了，也不可以是雞同鴨講式的對話。古代中國有個說法叫'狼狽為奸'，據古人說是有這麽一種名叫'狽'的動物，前腿短後腿長自己跑路不方便，於是它把前腿搭在狼的背上，兩個家夥合作一起幹壞事。這當然是胡扯，典型的狗屁文人閉門臆想出來的天方夜譚。真實的是這是兩匹狼在性交，狼在交配的時候會相互'鎖'起來，打也打不散。即使有人拿著棍子追它們也隻能以這個姿勢'狼狽逃竄'。根據這個典故，我總是把一切異想天開加無知弱智的理論稱之為'狽論'。當我們談論星係形成的時候，我們很確定自己是在談'狼'而非'狽'。我們可以拿出數學方程來解釋，而且這個方程不是僅僅描述現象而是在揭示機理，它是關於某些場與一些量的變化率之間的內在（intrinsic）關係，可以演示現在、模擬過去、預測未來。外星人們如果不比我們的智力差，想必就不會向我們宣講'狽論'。它們也會是在談'狼'，和我們說的是一回事。很可能它們不會像我們一樣用到'場'、'量'、'變化率'這些特定的表達，但因為大家描述的是同一件事的同一內在機製，不用懷疑這時就可以準確地互相翻譯，好像我們和它們在各自說一種宇宙方言，有可能互相交流，更可以相互補充。從巴別塔的經驗看，相信老上帝不會希望有一個統一的宇宙語言。那沒關係，我們隻要和外星人達成共識，我們的數學和它們的數學都各自是一種宇宙方言，平等對待互通有無相安無事就好了，語言作為一種工具的目的已然達到。不過呢，如果不幸它們對我們開講的是'狽論'，我們就可以考慮到它們的星球去殖民，也幫它們開化開化。

從工具的角度看，數學在我們這個有限宇宙中無疑具有認識世界交流知識的功能，我們也就不妨把它當作一種宇宙語言來看待。除非老上帝是在和我們惡作劇。有人說，不能排除這種可能性：人類所觀察到的一切都是他老人家布置的幻象。這就是為什麽我們主觀意識和觀察到的現象能驚人地吻合 - 他在逗我們玩呢！地球就是一個大舞台，好像那個電影《The Truman Show》。隻是我們連觀眾是誰或者是什麽都不知道。還有一個不同就是Truman可以挑戰大導演：You never had a camera in my head! 導演也隻好承認他雖然有成千上萬架錄像機，沒有一台能裝到Truman的腦袋裏去。但是在這裏老上帝在每一個地球人的腦袋裏都裝有一台監視器，誰在想什麽他全知道。如果有外星人存在，它們那裏上演的完全是另外一出戲，和我們這台的劇情徹底不同它們看到的'宇宙'也和我們看到的毫無相似之處。或者，連外星人這個想法都是他在逗我們玩。按照這個假想，我們就推不出任何有用處的結論。所以這不是一個科學假說，還是把它留給哲學家們去鑽牛角尖吧。