22 Julius Wilhelm Richard Dedekind(1831—1916)
大家一定還記得，古希臘數學家Pythagoras曾經以為萬物皆數，就是我們現在的有理數。當門徒發現了無理數時，一時不知所措。他們沒法解決出現的問題，於是先解決了發現問題的人：將那個倒黴蛋拋進大海喂魚了。
無理數並非是不講理的數，它隻是不能表達成兩個整數之商的數。以後我們會知道，無理數其實很多。和無理數相比，有理數簡直少得可憐，少得微不足道。這是德國數學家Cantor告訴我們的。
萬物皆數是太樸素了一點，有點too simple, sometimes naive。不過，如何讓直線上每個點都對應一個數，還是大家熱衷和追求的。 微積分的數學基礎就需要對實數有個嚴格的定義。它需要讓直線上的每個點對應唯一的一個實數。這正是著名的Cantor-Dedekind公理所要求的。
經過兩千多年的沉澱，大家對有理數已經很清楚了，但對無理數還是琢磨不透。如何進一步描述無理數，一直困擾著大家。直到德國數學家Dedekind提出了有理數分割的概念，大家才如釋負重，終於喘了一口氣。
什麽是有理數分割呢？
給定一條兩端無限延伸的直線，並在直線上選定一個原點，直線上的有理數就清楚了。不妨假定直線是水平放置的，原點對應整數0，0左邊的數都小於0，0右邊的數都大於0。接下來在直線上隨便給一個點x，我們在這個點上用剪刀把線剪斷，這樣就得出兩根線，左邊的線向左無限延伸，右邊的線向右無限延伸。左邊線上的所有的有理數構成一個集合A(x)，並且約定，如果x是有理數，則x不在A(x)中。自然，如果x不是有理數，x更不可能在A(x)中。這樣直線上的每個點x都唯一對應了一個有理數集合A(x)。有了這種一一對應，我們幹脆就把A(x)和x等同起來，也就是說，有理數集合A(x)就是實數x。所以有理數x就等同於所有小於x的有理數集合。在日常生活中，也有把一個集合和集合中某個元素等同起來的例子。比如一個家庭，指的是這家庭裏的所有人，但我們也常用戶主和家庭等同起來，盡管戶主隻是家庭的一成員，一分子。不同的是，我們是用不在集合中的數來等同一個有理數集合。通過這樣的等同，直線上的每個點x定義了唯一的一個實數x，也就是對應了一個實數x。
比如，我們可以定義什麽是根號2。它所對應的集合A就是所有小於0的有理數和所有的平方小於2的有理數之合集。
自然，我們目前隻是定義了什麽是實數，我們還必須給這些數賦予加減乘除等運算以及如何比較兩個數的大小。並且驗證這些運算完全符合我們已知的常識。比如，當限製在有理數時，所有運算結果和我們以前的結果相同。這些都經過了數學上的嚴格證明，我們就不細說了。
這樣一來，分析中曾經困擾我們的問題都解決了。為了記住Dedekind的貢獻，大家也把有理數分割叫做Dedekind分割。
Dedekind的全名是Julius Wilhelm Richard Dedekind，生於1831年10月6日，終生未婚。Dedekind是四個孩子中的老幺，爸爸叫Julius Levin Ulrich Dedekind，是法律教授。Dedekind出生在德國的Brunswick，那裏也是數學王子Gauss出生的地方。
從七歲到十六歲都在老家的學校接受教育。早年的興趣是物理和化學，並未展現數學上的天賦，十七歲時進了Caroline學院，Gauss也在那裏上過學。他在那裏學習了解析幾何，高等代數，微積分等數學課程，為以後在哥廷根大學的進一步深造打下了良好的基礎。1850年他十九歲時進了哥廷根大學。
Dedekind是Gauss的關門弟子，於1852年獲得博士學位。當時德國數學最好的大學是柏林大學。獲得博士學位後，Dedekind就去了柏林，在那裏繼續學習了兩年。
Dedekind的數學成就很大，但他的職業生涯卻很一般，下麵是他的簡曆。
- 1854年—1858年，哥廷根大學的無薪講師。在這期間，他第一次講述了Galois理論。經常旁聽Dirichlet的數學講座。1855年Gauss去世後，Dirichlet填補了Gauss留下的空缺。
- 1858年—1862年，瑞士Zurich polytechnic的教授。
- 1862年—1894年，Dedekind在他的家鄉Brunswick 一所職業中學任教，1894年退休。退休後還時有教學，數學研究沒有間斷。
1899年德國的數學家年鑒報道：Dedekind於1899年9月4日不幸去世。Dedekind看到後給雜誌編輯寫了一封信，風趣地說：貴刊關於本人去世的日期也許沒錯，不過年份好像不實。“據本人所知，那天我健康安好，與好友Georg Cantor教授共進了午餐並一起探討過數學問題。”
Dedekind於1916年2月12日在出生地Brunswick 去世，享年八十四歲。
更多我的博客文章>>>
