問了一下ChatGPT, 你這個解法是其中之一，也包括了我的柯西和三角（極坐標）：

解法一：

從 x^2 + y^2 = 17 得到 y = sqrt(17 - x^2)。

將 y 的表達式代入目標函數得到 f(x) = 3x + 5 * sqrt(17 - x^2)。

注意到 sqrt(17 - x^2) 取值範圍為 [0, sqrt(17)]，因此可以將 f(x) 的定義域限製為 [-sqrt(17), sqrt(17)]。

f(x) 在其定義域內連續可導，因此可以求出其導數 f'(x)：

f'(x) = 3 - 5x / sqrt(17 - x^2)

令 f'(x) = 0，得到 x = 3sqrt(17) / 17。

此時 f(x) 取得最大值：

f(x) = f(3sqrt(17) / 17) = 8sqrt(17) / 17

因此，3x + 5y 的最大值為 8sqrt(17) / 17。

解法二：

考慮將 x^2 + y^2 = 17 轉化為極坐標下的形式。

令 x = rcosθ，y = rsinθ，則 x^2 + y^2 = r^2，因此 r = sqrt(17)。

因此，目標函數可以表示為：

f(r, θ) = 3rcosθ + 5rsinθ

使用三角函數的和差公式化簡得：

f(r, θ) = 5sqrt(17)sin(θ + θ0)

其中 θ0 = arctan(3/5)。

因此，當 θ + θ0 = π/2 時，f(r, θ) 取得最大值。

解得 θ = π/2 - θ0，代入 f(r, θ) 得到最大值為 8sqrt(17) / 17。

解法三：

使用 Cauchy-Schwarz 不等式：

(3x + 5y)^2 <= [(3^2 + 5^2)(x^2 + y^2)]

將 x^2 + y^2 = 17 代入得：

(3x + 5y)^2 <= 17 * 34

因此：

3x + 5y <= sqrt(17 * 34)

最大值為 sqrt(17 * 34) / 2 = 8sqrt(17) / 17。

解法四：

我們可以將目標函數寫成向量的形式，令：

u = (3, 5), v = (x, y)

則目標函數可以表示為：

f(u, v) = u · v

其中 · 表示向量的點積。

由於 |u| = sqrt(3^2 + 5^2) = sqrt(34)，|v| = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(17)，因此：

|u · v| <= |u| * |v|

即：

|3x + 5y| <= sqrt(17 * 34)

最大值為 sqrt(17 * 34) / 2 = 8sqrt(17) / 17。

解法五：

我們可以使用 Lagrange 乘數法求解最大值。

設函數：

f(x, y) = 3x + 5y

約束條件為：

g(x, y) = x^2 + y^2 - 17 = 0

構造 Lagrange 函數：

L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = 3x + 5y - λ(x^2 + y^2 - 17)

求解 L(x, y, λ) 的偏導數：

Lx = 3 - 2λx = 0 Ly = 5 - 2λy = 0 Lλ = x^2 + y^2 - 17 = 0

解得：

x = 3sqrt(17) / 17，y = 5sqrt(17) / 17，λ = 2sqrt(17) / 17

此時 f(x, y) 取得最大值：

f(x, y) = f(3sqrt(17) / 17, 5sqrt(17) / 17) = 8sqrt(17) / 17

因此，3x + 5y 的最大值為 8sqrt(17) / 17。

解法六：

我們可以使用極值定理來求解最大值。

首先，目標函數 f(x, y) = 3x + 5y 在有界閉區域 D: x^2 + y^2 = 17 上連續，因此在 D 上必有最大值和最小值。

其次，我們可以對 f(x, y) 求偏導數：

fx = 3，fy = 5

這兩個偏導數都不為零，因此 D 上最大值和最小值必須出現在邊界上。

我們需要在 D 上找到 f(x, y) 的最大值。注意到 x^2 + y^2 = 17 是一個圓形，而 3x + 5y 是一個平麵上的直線，因此 D 上的最大值必須出現在圓形的邊緣上。

我們可以使用參數方程表示圓形的邊緣：

x = sqrt(17)cosθ y = sqrt(17)sinθ

代入目標函數得到：

f(θ) = 3sqrt(17)cosθ + 5sqrt(17)sinθ

使用三角函數的和差公式化簡得：

f(θ) = 5sqrt(17)sin(θ + θ0)

其中 θ0 = arctan(3/5)。

因此，當 θ + θ0 = π/2 時，f(θ) 取得最大值。

解得 θ = π/2 - θ0，代入 f(θ) 得到最大值為 8sqrt(17) / 17。

所有跟帖： 

• 看來要學學Chat GPT。能找到三圓覆蓋問題的解嗎？傳說它不會解題。沒想到進步這麽快。 -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 03/01/2023 postreply 18:53:09

• ChatGPT最後沒算對啊，為什麽都是8sqrt(17) / 17？應該是17sqrt(2） -萬斤油- ♂ (0 bytes) () 03/01/2023 postreply 21:28:37