謝魁兄,推廣90題,再解85,86題,望亂兄多來,想當年,真熱鬧.

90題可推廣為所有兩數的最小公倍數的平均數不小於(m/2)^2.   Creative?
m=2,顯然...,m=k,ok N(k)>=(k/2)^2, N(K+1)=[c(k+1,1)c(k,2)*(k/2)^2]/c((k+1),2)=...>=[(k+1)^2. OK.
85)a>=b>=c>=d>0, a+b+c+d=9, a^2+b^2+c^2+d^2=21, show ab-cd>=2.
求ab-cd 最小值:若a+b定a-b越大a*b越小,c+d定c-d越小c*d越大.所以,a,b=c=d,ab-cd有最小值:a+3b=9,a^2+3b^2=21
得a=3,b=c=d=2,ab-cd=2.
86)a>=b>=c>=d>0,a*b*c*d=4,a^2+b^2+c^2+d^2=10,求ab+bc+cd+da 最大最小值.
ab+bc+cd+da=[(a+b+c+d)^2-10)/2]-ac-bd, -ac-bd=-ac-4/ac, ac=4/ac 有極小,ac=bd=2.得a=b,c=d....a=b=2,c=d=1.
得ab+bc+cd+da最大值9.最小值b=c=d,得高次方脭ab^3=4,a^2+3*y^2=10, 得a=2.401,y=1.185.
....最小值8.045.
我在網上答題,太隨意,望不要見笑.

所有跟帖： 

• 那就弄些不等式來做做？ -魁北克人- ♂ (128 bytes) () 02/06/2015 postreply 08:10:44

• 問題比90題高,證明了,90題也不言而知了.其他兩題是算數. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 02/06/2015 postreply 17:51:34

• “N(K+1)=[c(k+1,1)c(k,2)*(k/2)^2]/c((k+1),2)=...>=(k+1)^2”是如何得來的？ -wxcfan123- ♂ (43 bytes) () 02/06/2015 postreply 12:25:11

• 謝,K>=3,OK請看.m=2,不用做.原式可能有小筆誤. -jinjing- ♀ (415 bytes) () 02/06/2015 postreply 18:52:16

• should prove case m=3 as the first step of mathematics induction -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 02/06/2015 postreply 19:56:54

• Thanks,though it is trivial. -jinjing- ♀ (0 bytes) () 02/07/2015 postreply 08:08:36

• 望不吝賜教。之所以好奇，是因為整個證明與LCM無關。太神了。 -wxcfan123- ♂ (0 bytes) () 02/07/2015 postreply 10:38:56