讓我來解解這個問題。

 

大燒杯中有適量水，水中漂浮著一個小木塊，目測水位在燒杯中間位置，小木塊離燒杯底部有足夠大的距離，現在用手平托燒杯底往上方做豎直勻加速運動，問此過程中燒杯中的水位如何變化？

解：

 

一．設木塊密度為d0，體積為v0，則質量m = v0*d0。-----------------------(1)

木塊重量P = m*g = v0*d0*g。(將(1)代入)-----------------------------------------(2)

g是重力加速度。設水密度為d1  〉d0。

 

二．靜止時，設水被木塊排開的體積為v1。

根據阿基米德定律，物體在水中所受浮力等於物體排開水的重量。因此，靜止時，木塊所受向上浮力F1 = v1*d1*g， -------------------------------------------------------(3)

木塊隻受重力P和浮力F1。根據靜力學原理，物體靜止時，所受合力為0，所以，F1 = P，將(2)， (3)代入

v1*d1*g = v0*d0*g。----------------------------------------------------------------------(4)

v1 = v0*d0 /d1。----------------------------------------------------------------------------(5)

也就是說，靜止時，小木塊僅有d0 /d1（木水密度之比）的體積浸在水中。

 

三．當燒杯往上方做豎直勻加速運動，設加速度為a。木塊要保持加速度為a往上運動，根據牛頓第二定律，木塊受向上合力

F = m*a = v0*d0*a。(將(1)代入)-------------------------------------------------------(6)

在木塊沒有沉到燒杯底時，木塊仍然隻受重力P和浮力F2。設此時，水被木塊排開體積為v2，再次根據阿基米德定律，

F2 = v2*d1*g。-------------------------------------------------------------------------------(7)

這樣，合力F = F2 – P = v2*d1*g -  v0*d0*g。(將(7) ，(2)代入)- -------------(8)

將此式代入牛頓第二定律式(6)，得

v2*d1*g  -  v0*d0*g = v0*d0*a。---------------------------------------------------------(9)

合並同類項，v2*d1*g = v0*d0*（a + g）。----------------------------------------(10)

v2 = v0*d0*（a + g）/ d1*g --------------------------------------------------------------(11)

將(5)代入(11)

v2 = v1*（a + g）/ g。----------------------------------------------------------------------(12)

 

四．討論：

1． 靜止時，小木塊靠浮力支撐。

2． 燒杯往上方做豎直勻加速運動時，浮力除了支撐小木塊重量，還要產生小木塊加速度a，以維持小木塊往上方做豎直勻加速運動。

3． 從(12)，由於（a + g）/ g  〉1，v2 〉v1。這說明，往上方做豎直勻加速運動時，小木塊浸入水中的體積增加，以增加所受浮力。即小木塊下沉，水麵上升。

4． 加速度a越大，（a + g）/ g  越大，v2越大，小木塊下沉越多，水麵上升越多。

5． 從(11)，當a大到（a + g）/ g  = d1  /  d0，即水木密度比，時，v2 = v0。此時，小木塊完全浸入水中。

6． 當a再加大，（a + g）/ g   〉 d1  /  d0時，因為小木塊已經完全浸入水中，排開水的體積不能再增加了，v2 = v0。浮力也不能再增加了，水麵也不能再上升。推演上式，

d0*（a + g）〉d1*g

兩邊同乘v0，得

v0*d0*a + v0*d0*g 〉v0*d1*g

因為v0 = v2，將右邊v0換成v2，得

v0*d0*a + v0*d0*g 〉v2*d1*g

將(1)，(7)式代入，得

m*a  + m*g 〉F2。

此式說明，當（a + g）/ g   〉 d1  /  d0時，小木塊所受浮力F2不足以支撐小木塊重量m*g，同時還要維持小木塊往上方做豎直勻加速運動a。

小木塊不得不沉底，從燒杯底提供支撐，以彌補這個差額。

7． 從5，6可看到（a + g）/ g  = d1  /  d0，是加速度a的一個臨界點。

7.1．如果燒杯盛的是水銀，密度比水大，即d1加大，則需要更大加速度a才能達到這個臨界點。

7.2．如果燒杯盛的是酒精，密度比水小，即d1減小，則需要較小加速度a就能達到這個臨界點。

7.3．如果在月球上，重力加速度變小，即g減小，則需要較小加速度a就能達到這個臨界點。

7.4．當然，小木塊的密度d0，對加速度a能達到這個臨界點也有類似影響。

8． 如果燒杯往下方做豎直勻減速運動，結果應該一樣，因為向下的減速度與向上的加速度起因都是受到向上的力。但沒有作具體的驗證。

9． 如果燒杯往上方做豎直勻減速運動，或往下方做豎直勻加速運動，結果又將如何？小木塊會不從水中，乃至燒杯中彈出呢？手拿燒杯往上潑水的最後一刻就是一個往上方做減速運動的動作。

完畢。< > △ ∠

所有跟帖： 

• 對,是這樣的... a 大於一定值後,木塊應該會全部沉沒並觸底~~ -與數學無關- ♂ (0 bytes) () 10/17/2010 postreply 06:00:10

• 謝。 -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/17/2010 postreply 12:19:25

• 支持 -guest007- ♀ (323 bytes) () 10/17/2010 postreply 06:31:09

• 謝支持！類似於坐在汽車有彈簧靠背的座上，彈簧稍微受到壓縮。加速前進，壓縮更多，直到彈簧無法壓縮。 -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/17/2010 postreply 12:17:57

• 小心，好像此題不簡單，比“彈簧“要有內涵， 不可類比。。。 -guest007- ♀ (0 bytes) () 10/18/2010 postreply 05:18:28

• （7）在加速的液體中 -布衣之才- ♂ (71 bytes) () 10/17/2010 postreply 20:57:54

• 這兒有個鏈接。我沒仔細讀。看意思好像是成立... -與數學無關- ♂ (94 bytes) () 10/17/2010 postreply 22:18:03

• 此題很不簡單。。。 -guest007- ♀ (0 bytes) () 10/18/2010 postreply 05:12:39

• 問得好！大膽假設，小心求證。 -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 10/18/2010 postreply 05:15:44

• 反對 -wushuihe- ♂ (1308 bytes) () 10/20/2010 postreply 06:35:30

• 回複：反對 -wushuihe- ♂ (3199 bytes) () 10/20/2010 postreply 07:10:41