三位出色女子
現有A、B、C三位出色女子，她們中兩人很富有，兩人很聰明，兩人很有藝術才華，兩人很漂亮。每人有不超過三種上述特質。如果A很聰明，那她就很富有；如果B或C很漂亮，那麽她就很有藝術才華；如果A或C很富有，那末她就很有藝術才華。試問：她們中誰最窮？
解：
1．細列條件
1.1．四種特質中，每人有不超過三種；
1.2．三位女子中，每種特質恰有兩位擁有；
1. A.1．如果A聰明，那末她就富有；
1. A.1.0．如果A不富有，那末她就不聰明；
1. A.2．如果A富有，那末她就有藝術才華；
1. A.2.0．如果A沒有藝術才華，那末她就不富有；
1. B.1．如果B漂亮，那麽她就有藝術才華；
1. B.1.0．如果B沒有藝術才華，那末她就不漂亮；
1. C.1．如果C漂亮，那麽她就有藝術才華；
1. C.1.0．如果C沒有藝術才華，那末她就不漂亮；
1. C.2．如果C富有，那末她就有藝術才華；
1. C.2.0．如果C沒有藝術才華，那末她就不富有。
2．女子-特質矩陣
由“女子擁有特質”這一命題可將問題其轉換成“女子-特質”矩陣。
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A x
B y
C
矩陣每一行代表了一個女子擁有哪些特質；每一列代表了一種特質被哪些女子所擁有。上表中，A-富有 = x, 代表了“女子A富有”；B-漂亮 = y代表了“女子B不漂亮”。
3．將女子-特質矩陣所代表的意義應用於本題的條件，得出關於矩陣的相應規則。
3.1．每一行中，不超過三個x；
3.2．每一列中，恰有兩個x；
3. A.1．如果A-聰明 = x，那末A-富有 = x；
3. A.1.0．如果A-富有 = y，那末A-聰明 = y；
3. A.2．如果A-富有 = x，那末A-藝術才華 = x；
3. A.2.0．如果A-藝術才華 = y，那末A-富有 = y；
3. B.1．如果B-漂亮 = x，那麽B-藝術才華 = x；
3. B.1.0．如果B-藝術才華 = y，那末她B-漂亮 = y；
3. C.1．如果C-漂亮 = x，那麽C-藝術才華 = x；
3. C.1.0．如果C-藝術才華 = y，那末C-漂亮 = y；
3. C.2．如果C-富有 = x，那末C-藝術才華 = x；
3. C.2.0．如果C-藝術才華 = y，那末C-富有 = y；
4. 符合問題的解答
女子-特質矩陣的每個元素值除了x就是y。
對女子-特質矩陣元素的賦值符合矩陣的所有規則 當且僅當 賦值所代表的結果符合問題的條件。
“有多少賦值符合矩陣的所有規則？” 也可能是一個有興趣的問題。為了解答本題：她們中誰最窮？我們可以從幾個特殊的賦值作起。
4.1．設A最窮
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A y0 y2 x6 x8
B x1 x3 x6 y7
C x1 x3 y5 x4
0) A-富有 = y；
1) B-富有 = C-富有 = x； 根據3.2．
2) A-聰明 = y； 根據3. A.1.0．
3) B-聰明 = C-聰明 = x； 根據3.2．
4) C-藝術才華 = x； 根據3. C.2．
5) C-漂亮 = y；根據3.1．
6) A-漂亮 = B-漂亮 = x；根據3.2．
7) B-藝術才華 = y；根據3.1．
8) A-藝術才華 = x；根據3.2．
通過一步初始賦值和八步推導，對A、B、C三位出色女子的十二個特質的賦值就完成了。上麵的矩陣每個格也都填上x或y。x或y後麵跟隨的數字說明值是在第幾步被賦的。
接下來就是按矩陣的十二條規則，逐條檢驗對矩陣的賦值。如果十二條規則得到完全符合，則A最窮；否則，A不是最窮。
通過檢驗發現，“B-漂亮 = x， B-藝術才華 = y”，這與規則3. B.1．“如果B-漂亮 = x，那麽B-藝術才華 = x” 不符合。所以，A不是最窮。
4.2．設B最窮
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A x1 y7 x6 x2
B y0 y5 y4
C x1 y7 x6 x3
0) B-富有 = y；
1) A-富有 = C-富有 = x； 根據3.2．
2) A-藝術才華 = x；根據3. A.2．
3) C-藝術才華 = x；根據3. C.2．
4) B-藝術才華 = y；根據3.2．
5) B-漂亮 = y；根據3. C.1.0．
6) A-漂亮= C-漂亮= x； 根據3.2．
7) A-聰明 = C-聰明 = y； 根據3.1．
推導進行了七步，B-聰明的值還沒有定，就發現了問題。在“聰明”一列，A、C均取值y。這一列不可能有兩個x了，從而違背了根據3.2。所以，B不是最窮。
4.3．設C最窮
至此，得出A和B都不是最窮，也就是A和B都是富有的。根據條件1.2，C就不是富有的，而是最窮的。但是，我們還是寧願用4.1，4.2的方法驗證一下，是不有一個對矩陣的賦值，使得C不是富有的，並且符合矩陣的所有規則。如果確有這樣的一個賦值，則C在本題的條件下，確實是最窮的。否則，象4.1，4.2的結論，推出C不是最窮，這表明本題的條件會推導出截然不同的兩個結果，這表明本題的條件存在問題。邏輯上稱之為不協調性。
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A x1 x2
B x1
C y0
0) C-富有 = y；
1) A-富有 = B-富有 = x； 根據3.2．
2) A-藝術才華 = x；根據3. A.2．
到此，僅兩步推導，就發現沒有一個矩陣的規則可運用了。也就是說，僅憑“C-富有 = y”，不象在4.1，4.2，很多女士的特質是無法推導出來的。但我們的目的並不是要從“C-富有 = y” 推導出所有女士的特質，而是尋找一個保證符合矩陣的所有規則，並令“C-富有 = y”的對矩陣的賦值。因此我們可以隨便定義一個女士的特質。例如，
4.3.1．令C-藝術才華 = y
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A x1 y7 x6 x2
B x1 y7 x6 x4
C y0 y5 y3
3) C-藝術才華 = y；強令
4) B-藝術才華 = x；根據3.2．
5) C-漂亮 = y；根據3. C.1.0．
6) A-漂亮 = B-漂亮 = x；根據3.2．
7) A-聰明 = B-聰明 = y；根據3.1．
推導進行了七步，C-聰明的值還沒有定，就發現了問題。在“聰明”一列，A、B均取值y。這一列不可能有兩個x了，從而違背了根據3.2。但這次不能推斷出：C不是最窮。因為這次的前題是：“C-富有 = y”和“C-藝術才華 = y”兩項。所以，可以得出的結論是：C不可以“既是最窮的，又無藝術才華”。這樣，我們可以再隨便定義一個女士的特質。例如，“C是最窮的，但有藝術才華”。
4.3.2．令C-藝術才華 = x
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A x1 y7 x6 x2
B x1 x8 y5 y4
C y0 x8 x6 x3
3) C-藝術才華 = x；強令
4) B-藝術才華 = y；根據3.2．
5) B-漂亮 = y；根據3. B.1.0．
6) A-漂亮= C-漂亮= x； 根據3.2．
7) A-聰明 = y；根據3.1．
8) B-聰明 = C-聰明 = x；根據3.2．
經過對矩陣的規則逐條進行檢驗，我們幸運地發現，這個對矩陣的賦值完全符合十二條規則。因此可以斷言，“C是最窮的，但有藝術才華”在本題條件下是成立的。所以，“C是最窮的”當然也是成立的。
之所以說“幸運地發現”，因為如果這個對矩陣的賦值仍然不能完全符合十二條規則。我們還需審閱其它對矩陣的賦值，看是否保證符合矩陣的所有規則，並令“C-富有 = y”。如果這樣的賦值找到了，則得出“C是最窮的”結論；如果這樣的賦值，找不到，則得出“C不是最窮的” 結論。
那麽，有多少對矩陣的賦值需要審閱呢？女士-特質矩陣有十二個元素，對應於三個女士是否具有四種特質。因此，存在著2^12 = 4096個對矩陣的不同賦值。在4.1，4.2，對一個元素賦值，就可推導出其它十一個元素的值。因此，隻此一個就可得出結論。而在4.3，對一個元素賦值，“C-富有 = y”，隻可推導出三個元素的值，其它八個元素的值不確定。因此，滿足“C-富有 = y”的對矩陣的不同賦值尚有2^8 = 256個。當然，要再滿足3.2，每列比須有兩個元素為x，聰明-列，漂亮-列各有C(3,2)種選擇，藝術才華-列有C(2,1)種選擇，賦值數可降為3x3x2=18個。所以說，我們剛找了兩個，就“幸運地發現”了所需要的賦值。
5．作為本題所代表的模式，至少可以在兩個方麵加以推廣。
5.1. 本題條件可以修改和增減，而成為許多其它不同的題目。修改和增減的空間是很大的。
5.2. 本題作為一個“3 x 4的女士-特質間的二元關係”，可以拓展為“任何 N x M 的任何甲-乙之間的二元關係”。
現有A、B、C三位出色女子，她們中兩人很富有，兩人很聰明，兩人很有藝術才華，兩人很漂亮。每人有不超過三種上述特質。如果A很聰明，那她就很富有；如果B或C很漂亮，那麽她就很有藝術才華；如果A或C很富有，那末她就很有藝術才華。試問：她們中誰最窮？
解：
1．細列條件
1.1．四種特質中，每人有不超過三種；
1.2．三位女子中，每種特質恰有兩位擁有；
1. A.1．如果A聰明，那末她就富有；
1. A.1.0．如果A不富有，那末她就不聰明；
1. A.2．如果A富有，那末她就有藝術才華；
1. A.2.0．如果A沒有藝術才華，那末她就不富有；
1. B.1．如果B漂亮，那麽她就有藝術才華；
1. B.1.0．如果B沒有藝術才華，那末她就不漂亮；
1. C.1．如果C漂亮，那麽她就有藝術才華；
1. C.1.0．如果C沒有藝術才華，那末她就不漂亮；
1. C.2．如果C富有，那末她就有藝術才華；
1. C.2.0．如果C沒有藝術才華，那末她就不富有。
2．女子-特質矩陣
由“女子擁有特質”這一命題可將問題其轉換成“女子-特質”矩陣。
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A x
B y
C
矩陣每一行代表了一個女子擁有哪些特質；每一列代表了一種特質被哪些女子所擁有。上表中，A-富有 = x, 代表了“女子A富有”；B-漂亮 = y代表了“女子B不漂亮”。
3．將女子-特質矩陣所代表的意義應用於本題的條件，得出關於矩陣的相應規則。
3.1．每一行中，不超過三個x；
3.2．每一列中，恰有兩個x；
3. A.1．如果A-聰明 = x，那末A-富有 = x；
3. A.1.0．如果A-富有 = y，那末A-聰明 = y；
3. A.2．如果A-富有 = x，那末A-藝術才華 = x；
3. A.2.0．如果A-藝術才華 = y，那末A-富有 = y；
3. B.1．如果B-漂亮 = x，那麽B-藝術才華 = x；
3. B.1.0．如果B-藝術才華 = y，那末她B-漂亮 = y；
3. C.1．如果C-漂亮 = x，那麽C-藝術才華 = x；
3. C.1.0．如果C-藝術才華 = y，那末C-漂亮 = y；
3. C.2．如果C-富有 = x，那末C-藝術才華 = x；
3. C.2.0．如果C-藝術才華 = y，那末C-富有 = y；
4. 符合問題的解答
女子-特質矩陣的每個元素值除了x就是y。
對女子-特質矩陣元素的賦值符合矩陣的所有規則 當且僅當 賦值所代表的結果符合問題的條件。
“有多少賦值符合矩陣的所有規則？” 也可能是一個有興趣的問題。為了解答本題：她們中誰最窮？我們可以從幾個特殊的賦值作起。
4.1．設A最窮
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A y0 y2 x6 x8
B x1 x3 x6 y7
C x1 x3 y5 x4
0) A-富有 = y；
1) B-富有 = C-富有 = x； 根據3.2．
2) A-聰明 = y； 根據3. A.1.0．
3) B-聰明 = C-聰明 = x； 根據3.2．
4) C-藝術才華 = x； 根據3. C.2．
5) C-漂亮 = y；根據3.1．
6) A-漂亮 = B-漂亮 = x；根據3.2．
7) B-藝術才華 = y；根據3.1．
8) A-藝術才華 = x；根據3.2．
通過一步初始賦值和八步推導，對A、B、C三位出色女子的十二個特質的賦值就完成了。上麵的矩陣每個格也都填上x或y。x或y後麵跟隨的數字說明值是在第幾步被賦的。
接下來就是按矩陣的十二條規則，逐條檢驗對矩陣的賦值。如果十二條規則得到完全符合，則A最窮；否則，A不是最窮。
通過檢驗發現，“B-漂亮 = x， B-藝術才華 = y”，這與規則3. B.1．“如果B-漂亮 = x，那麽B-藝術才華 = x” 不符合。所以，A不是最窮。
4.2．設B最窮
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A x1 y7 x6 x2
B y0 y5 y4
C x1 y7 x6 x3
0) B-富有 = y；
1) A-富有 = C-富有 = x； 根據3.2．
2) A-藝術才華 = x；根據3. A.2．
3) C-藝術才華 = x；根據3. C.2．
4) B-藝術才華 = y；根據3.2．
5) B-漂亮 = y；根據3. C.1.0．
6) A-漂亮= C-漂亮= x； 根據3.2．
7) A-聰明 = C-聰明 = y； 根據3.1．
推導進行了七步，B-聰明的值還沒有定，就發現了問題。在“聰明”一列，A、C均取值y。這一列不可能有兩個x了，從而違背了根據3.2。所以，B不是最窮。
4.3．設C最窮
至此，得出A和B都不是最窮，也就是A和B都是富有的。根據條件1.2，C就不是富有的，而是最窮的。但是，我們還是寧願用4.1，4.2的方法驗證一下，是不有一個對矩陣的賦值，使得C不是富有的，並且符合矩陣的所有規則。如果確有這樣的一個賦值，則C在本題的條件下，確實是最窮的。否則，象4.1，4.2的結論，推出C不是最窮，這表明本題的條件會推導出截然不同的兩個結果，這表明本題的條件存在問題。邏輯上稱之為不協調性。
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A x1 x2
B x1
C y0
0) C-富有 = y；
1) A-富有 = B-富有 = x； 根據3.2．
2) A-藝術才華 = x；根據3. A.2．
到此，僅兩步推導，就發現沒有一個矩陣的規則可運用了。也就是說，僅憑“C-富有 = y”，不象在4.1，4.2，很多女士的特質是無法推導出來的。但我們的目的並不是要從“C-富有 = y” 推導出所有女士的特質，而是尋找一個保證符合矩陣的所有規則，並令“C-富有 = y”的對矩陣的賦值。因此我們可以隨便定義一個女士的特質。例如，
4.3.1．令C-藝術才華 = y
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A x1 y7 x6 x2
B x1 y7 x6 x4
C y0 y5 y3
3) C-藝術才華 = y；強令
4) B-藝術才華 = x；根據3.2．
5) C-漂亮 = y；根據3. C.1.0．
6) A-漂亮 = B-漂亮 = x；根據3.2．
7) A-聰明 = B-聰明 = y；根據3.1．
推導進行了七步，C-聰明的值還沒有定，就發現了問題。在“聰明”一列，A、B均取值y。這一列不可能有兩個x了，從而違背了根據3.2。但這次不能推斷出：C不是最窮。因為這次的前題是：“C-富有 = y”和“C-藝術才華 = y”兩項。所以，可以得出的結論是：C不可以“既是最窮的，又無藝術才華”。這樣，我們可以再隨便定義一個女士的特質。例如，“C是最窮的，但有藝術才華”。
4.3.2．令C-藝術才華 = x
富有 聰明 漂亮 藝術才華
A x1 y7 x6 x2
B x1 x8 y5 y4
C y0 x8 x6 x3
3) C-藝術才華 = x；強令
4) B-藝術才華 = y；根據3.2．
5) B-漂亮 = y；根據3. B.1.0．
6) A-漂亮= C-漂亮= x； 根據3.2．
7) A-聰明 = y；根據3.1．
8) B-聰明 = C-聰明 = x；根據3.2．
經過對矩陣的規則逐條進行檢驗，我們幸運地發現，這個對矩陣的賦值完全符合十二條規則。因此可以斷言，“C是最窮的，但有藝術才華”在本題條件下是成立的。所以，“C是最窮的”當然也是成立的。
之所以說“幸運地發現”，因為如果這個對矩陣的賦值仍然不能完全符合十二條規則。我們還需審閱其它對矩陣的賦值，看是否保證符合矩陣的所有規則，並令“C-富有 = y”。如果這樣的賦值找到了，則得出“C是最窮的”結論；如果這樣的賦值，找不到，則得出“C不是最窮的” 結論。
那麽，有多少對矩陣的賦值需要審閱呢？女士-特質矩陣有十二個元素，對應於三個女士是否具有四種特質。因此，存在著2^12 = 4096個對矩陣的不同賦值。在4.1，4.2，對一個元素賦值，就可推導出其它十一個元素的值。因此，隻此一個就可得出結論。而在4.3，對一個元素賦值，“C-富有 = y”，隻可推導出三個元素的值，其它八個元素的值不確定。因此，滿足“C-富有 = y”的對矩陣的不同賦值尚有2^8 = 256個。當然，要再滿足3.2，每列比須有兩個元素為x，聰明-列，漂亮-列各有C(3,2)種選擇，藝術才華-列有C(2,1)種選擇，賦值數可降為3x3x2=18個。所以說，我們剛找了兩個，就“幸運地發現”了所需要的賦值。
5．作為本題所代表的模式，至少可以在兩個方麵加以推廣。
5.1. 本題條件可以修改和增減，而成為許多其它不同的題目。修改和增減的空間是很大的。
5.2. 本題作為一個“3 x 4的女士-特質間的二元關係”，可以拓展為“任何 N x M 的任何甲-乙之間的二元關係”。
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