四球兩兩相切

現有三個球擺在水平桌麵上，它們兩兩相切，它們的半徑分別是2，3，4。現在三球上麵（中間）放一半徑為1的球。求其球心到桌麵的距離。

1. 兩球相切。球心Oi(xi,yi,zi), Oj(xj,yj,zj), 半徑Ri, Rj。則符合方程
(xi-xj)^2 + (yi-yj)^2 + (zi-zj)^2 = (Ri+Rj)^2。 2*3=6個未知數，列1個方程。

2. 四球，球1, 球2, 球3, 球4，兩兩相切。球心O1(x1,y1,z1), O2(x2,y2,z2), O3(x3,y3,z3), O4(x4,y4,z4), 半徑R1, R2, R3, R4。則有4*3=12個未知數，可列C(4,2) = 6個方程。
按原題，令Ri = i, i = 1,2,3,4。
2.1. 令球4 座落xy平麵原點，O4(0,0,4)。未知數減了三個，為9個。

2.2.令球3 座落xy平麵的x軸正方向，與球4相切，O3(x3,0,3) 。未知數減了2個，為7個。符合方程
(x4-x3)^2 + (y4-y3)^2 + (z4-z3)^2 = (R4+R3)^2。
代入已知數，得
(0-x3)^2 + (0-0)^2 + (4-3)^2 = (4+3)^2
(x3)^2 + 1 = 49
x3 = 4*sqrt3。未知數減了1個，為6個，用了1個方程。

2.3. 令球2 座落xy平麵的第一象限，與球4，球3同時相切，O2(x2,y2,2) 。未知數減了1個，為5個。符合方程
(x4-x2)^2 + (y4-y2)^2 + (z4-z2)^2 = (R4+R2)^2。
(x3-x2)^2 + (y3-y2)^2 + (z3-z2)^2 = (R3+R2)^2。
代入已知數，得
(0-x2)^2 + (0-y2)^2 + (4-2)^2 = (4+2)^2。
(4*sqrt3-x2)^2 + (0-y2)^2 + (3-2)^2 = (3+2)^2。
兩個方程聯立，含2個未知數x2，y2。可求出其值。取正值。
未知數減了2個，為3個，用了2個方程。

2.4. 最後，令球1 座落於球4，球3，球2之上，與球4，球3，球2同時相切，O1(x1,y1,z1) 。符合方程
(x4-x1)^2 + (y4-y1)^2 + (z4-z1)^2 = (R4+R1)^2。
(x3-x1)^2 + (y3-y1)^2 + (z3-z1)^2 = (R3+R1)^2。
(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2 = (R2+R1)^2。
三個方程聯立，含3個未知數x1，y1，z1。可求出其值。取正值。
未知數減了3個，為0個，用了3個方程。
z1的值即為本題之所求：球1球心到桌麵的距離。