您在文章中間反複強調對於一種科學方法，了解其根本涵義，知其然亦知其所以然，這是無疑是非常正確的，當然應該是教育的核心。
不過，用應用題的算術解法和代數解法的區別為例子來說明這個主旨，可能不是最合適的。
從簡單的技術層麵來說，多元一次方程組從根本上統一解決了所有這一類問題，從而揭示了這一類問題的數學本質---這恰恰是學生應該理解的根本涵義所在。算術解法，（順便說一下，這些所謂“巧妙”的算術解法恰是很多小學“奧數”的主要教學內容，我個人非常反對。）恰恰是障目之一葉，以在特例下某種方便為技巧來炫耀，隻是耽誤學生走進真正深刻數學背景之森林的步伐而已。一個很簡單的凸現算術法的局限性和表麵性的辦法就是：考慮一旦這些問題變成實係數的工程問題，哪怕及其簡單，算術法也很容易使人迷惑，同時完全失去其所謂的“美感”或者“巧妙”。而實際上，整係數和實係數在這樣的問題中是沒有實質區別的。這樣非實質的變化使得整個方法失效說明方法本身的問題。
從稍微深一點的層次來說，方程組的引入（以及用字母表示數，表示變量和常量，這種*代數* 方法的引入）為數學在觀點上的提高打好了基礎。線性方程組把一大類問題的共性抽象出來，歸納到同一個數學形式下，從而使數學在這個方向上專門發展成為可能。線性代數從高等觀點上總結這些發展的成果，現代所有線性係統的研究都基於這些成果。然而，所有這些複雜結果的最初出發點都是線性方程組的您所謂的“純粹符號”的高斯消去法解法。為什麽會這樣呢？問題在於您提出那些算術運算的所謂“物理意義”其實並非那個問題的本質所在，沉迷於這些“物理意義”（實際上是表麵現象）的具體形式（這正是現代市場化的“奧數”在教導小學生們的東西）是實實在在的誤導。一個成功的數學模型正是要脫離這些表象的東西，找到係統本質的共性，抽象出來，然後進行“純粹符號”（其實並不是純粹的符號，而是對於係統本質精華的最精確描述）的演算和研究，才能走到更高更強有力的層次上去。
從更加深刻的層麵來說，物理學，數學和數學物理方法的發展曆程是一個不斷交流，分離，獨立發展，再交流的過程。數學能夠獨立於物理學之外自我發展是一個核心的要點。這個觀點當然和小學奧數什麽的已經沒有聯係了，最近和一些老先生們在這個問題上也討論了許久，嗬嗬，老先生們倒是有些很“新潮”的觀點，反倒是我這個年輕後輩象是在堅持“主流傳統”的觀點。這就是題外話了。
倉促之間給您作答，恐怕言語之間不當之處頗多，還望您多多包涵。謝謝 ：）
不過，用應用題的算術解法和代數解法的區別為例子來說明這個主旨，可能不是最合適的。
從簡單的技術層麵來說，多元一次方程組從根本上統一解決了所有這一類問題，從而揭示了這一類問題的數學本質---這恰恰是學生應該理解的根本涵義所在。算術解法，（順便說一下，這些所謂“巧妙”的算術解法恰是很多小學“奧數”的主要教學內容，我個人非常反對。）恰恰是障目之一葉，以在特例下某種方便為技巧來炫耀，隻是耽誤學生走進真正深刻數學背景之森林的步伐而已。一個很簡單的凸現算術法的局限性和表麵性的辦法就是：考慮一旦這些問題變成實係數的工程問題，哪怕及其簡單，算術法也很容易使人迷惑，同時完全失去其所謂的“美感”或者“巧妙”。而實際上，整係數和實係數在這樣的問題中是沒有實質區別的。這樣非實質的變化使得整個方法失效說明方法本身的問題。
從稍微深一點的層次來說，方程組的引入（以及用字母表示數，表示變量和常量，這種*代數* 方法的引入）為數學在觀點上的提高打好了基礎。線性方程組把一大類問題的共性抽象出來，歸納到同一個數學形式下，從而使數學在這個方向上專門發展成為可能。線性代數從高等觀點上總結這些發展的成果，現代所有線性係統的研究都基於這些成果。然而，所有這些複雜結果的最初出發點都是線性方程組的您所謂的“純粹符號”的高斯消去法解法。為什麽會這樣呢？問題在於您提出那些算術運算的所謂“物理意義”其實並非那個問題的本質所在，沉迷於這些“物理意義”（實際上是表麵現象）的具體形式（這正是現代市場化的“奧數”在教導小學生們的東西）是實實在在的誤導。一個成功的數學模型正是要脫離這些表象的東西，找到係統本質的共性，抽象出來，然後進行“純粹符號”（其實並不是純粹的符號，而是對於係統本質精華的最精確描述）的演算和研究，才能走到更高更強有力的層次上去。
從更加深刻的層麵來說，物理學，數學和數學物理方法的發展曆程是一個不斷交流，分離，獨立發展，再交流的過程。數學能夠獨立於物理學之外自我發展是一個核心的要點。這個觀點當然和小學奧數什麽的已經沒有聯係了，最近和一些老先生們在這個問題上也討論了許久，嗬嗬，老先生們倒是有些很“新潮”的觀點，反倒是我這個年輕後輩象是在堅持“主流傳統”的觀點。這就是題外話了。
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