鴨子落到圓形湖中，狐狸在岸邊想吃鴨子。鴨子受傷，無法從水裏起飛，必須遊到岸邊才能起飛。狐狸在岸上跑的速度是鴨子速度的4倍，問鴨子是否可以遊到岸邊起飛跑掉？how?
解：
鴨子在r/4半徑的圓上可保持與狐狸在同一直徑而在中心兩側。此時，鴨子距岸3r/4。然後，鴨子沿直徑向岸遊3r/4=0.75r，同時狐狸須跑半個半徑為r的圓弧，即3.14r，抓鴨子。3.14r/0.75r > 4.鴨子先到岸而起飛。
Mr.guest007提示此解可以進一步優化。優化條件為：
1． 鴨子從離中心r/4處走直線到岸, 狐狸沿岸邊追來。
2． 當鴨子到岸與狐狸沿岸邊的弧距為最大。
當鴨子與狐狸在同一直徑，沿此直徑向岸遊，狐狸可選或左或右任何一邊圓弧追逐鴨子。但一旦鴨子脫離了直徑，比如向左遊去，則狡猾的狐狸一定會選左邊圓弧追去。從這點來看，鴨子脫離了直徑向岸遊顯然不是上策。對於狡猾的狐狸，隻有沿直徑向岸遊才是最優解。
但如果狐狸不夠狡猾，比如當鴨子脫離了直徑向左遊去，不夠狡猾的狐狸卻選右邊圓弧去追鴨子，求鴨子所選的最優方向倒不失為一道有趣數學題。
首先，當鴨子到岸，它與狐狸同在圓形湖岸邊，鴨子和狐狸位置之間除了有一個沿岸邊的弧距，鴨子和狐狸的位置與圓心連線有一個圓心夾角。在同一個圓，圓心角大當且僅當其所對的弧長。所以，問題變成：鴨子選哪個方向使得這個圓心夾角最大。
由於網上難於貼幾何圖形，為了便於敘述，我們把圓形湖置於直角座標係中。
令半徑為r圓形湖圓心O位於直角座標係原點。鴨子初始位置點A座標(r/4, 0), 狐狸初始位置點B座標(-r, 0),也就是，鴨子與狐狸同在的直徑恰在座標係橫軸上。
1. 鴨子選擇橫軸上方的湖岸一點C，直接朝C遊去；而不夠狡猾的狐狸卻沿橫軸下方的圓弧湖岸去追。
令角AOC = alpha。
2. 鴨子從A遊到C的距離為AC。在三角形AOC中，對AC應用餘弦定理，
AC^2 = OA^2 + OC^2 –2*OA*OC*cos(角AOC)
= (r/4)^2 + r^2 –2*(r/4)*r*cos(alpha)
= (17/16)*r^2–(1/2)*r^2*cos(alpha)
AC = r * sqrt(17–8*cos(alpha)) / 4。
3. 在同一時間，狐狸沿橫軸下方的圓弧湖岸以4倍於鴨子的遊速追了4 * AC的距離。
4 * AC = r * sqrt(17–8*cos(alpha)) 。
4. 將狐狸所追距離4 * AC的弧長折合成圓心角beta。
beta = 4 * AC / r = sqrt(17–8*cos(alpha)) 。
5. 令當鴨子到岸時，鴨子和狐狸的位置與圓心連線的夾角為gama。最初，鴨子與狐狸在同一直徑，鴨子和狐狸的位置與圓心連線的夾角為pi;鴨子從A遊到C, 圓心角AOC = alpha,即鴨子逆時針繞圓心移動alpha;同時，狐狸逆時針繞圓心追趕了beta。結果，
gama = pi + alpha – beta
= pi + alpha – sqrt(17–8*cos(alpha))。
我們的目標就是求出當alpha取何值時，gama取最大值。
6. 用典型的求導取零法，求gama的最大值。
d gama / d alpha = 1– ½ * 8*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha))
= 1–4*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha)) 。
7. 令導數為零，求alpha的值。
1–4*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha)) = 0
4*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha)) = 1
4*sin(alpha) = sqrt(17–8*cos(alpha))
16*sin(alpha)^2 = 17–8*cos(alpha)
16*(1–cos(alpha)^2 )= 17–8*cos(alpha)
16*cos(alpha)^2 –8*cos(alpha) + 1 = 0
(4*cos(alpha)– 1)^2 = 0
4*cos(alpha)– 1 = 0
cos(alpha) = 1/4
alpha = arc cos(1/4)
8. gama的最大值。
alpha = arc cos(1/4)時，d gama / d alpha = 0。這是gama取最大值的條件之一。相信其它條件也不難驗證。在此就不再一一贅述。
beta |(alpha = arc cos(1/4))
= sqrt(17–8*cos(alpha)) | (alpha = arc cos(1/4))
= sqrt(17–8*1/4)
= sqrt(15)
max gama
= gama |(alpha = arc cos(1/4))
= (pi + alpha – beta) |(alpha = arc cos(1/4))
= pi + arc cos(1/4)– sqrt(15)
9. 討論：當alpha = arc cos(1/4)時，gama取最大值：pi + arc cos(1/4)– sqrt(15)。此時，
a)鴨子所遊的距離
AC = r * sqrt(17–8*cos(alpha)) / 4|(alpha = arc cos(1/4))
= r * sqrt(17–8*1/4) / 4
= r * sqrt(15) / 4
AC^2 = (15/16)*r^2
b)狐狸所追的距離4 * AC = r * sqrt(15)
c)鴨子逆時針繞圓心移動角：alpha = arc cos(1/4)
d)狐狸逆時針繞圓心追趕角：beta = sqrt(15)。
e)有趣的是，在三角形AOC中，對OC應用餘弦定理，
OC^2 = AC^2 + OA^2 –2*AC*OA*cos(角OAC)
cos(角OAC) = (AC^2 + OA^2 – OC^2) / 2*AC*OA
= ((15/16)*r^2 + (r/4)^2 – r^2) / 2*AC*OA
= ((15/16)*r^2 + (1/16)*r^2 – r^2) / 2*AC*OA
= 0
角OAC = pi/2, AC垂直於OA。鴨子選擇垂直於鴨狐共處的直徑方向，遊向湖岸以取得最優結果。
解：
鴨子在r/4半徑的圓上可保持與狐狸在同一直徑而在中心兩側。此時，鴨子距岸3r/4。然後，鴨子沿直徑向岸遊3r/4=0.75r，同時狐狸須跑半個半徑為r的圓弧，即3.14r，抓鴨子。3.14r/0.75r > 4.鴨子先到岸而起飛。
Mr.guest007提示此解可以進一步優化。優化條件為：
1． 鴨子從離中心r/4處走直線到岸, 狐狸沿岸邊追來。
2． 當鴨子到岸與狐狸沿岸邊的弧距為最大。
當鴨子與狐狸在同一直徑，沿此直徑向岸遊，狐狸可選或左或右任何一邊圓弧追逐鴨子。但一旦鴨子脫離了直徑，比如向左遊去，則狡猾的狐狸一定會選左邊圓弧追去。從這點來看，鴨子脫離了直徑向岸遊顯然不是上策。對於狡猾的狐狸，隻有沿直徑向岸遊才是最優解。
但如果狐狸不夠狡猾，比如當鴨子脫離了直徑向左遊去，不夠狡猾的狐狸卻選右邊圓弧去追鴨子，求鴨子所選的最優方向倒不失為一道有趣數學題。
首先，當鴨子到岸，它與狐狸同在圓形湖岸邊，鴨子和狐狸位置之間除了有一個沿岸邊的弧距，鴨子和狐狸的位置與圓心連線有一個圓心夾角。在同一個圓，圓心角大當且僅當其所對的弧長。所以，問題變成：鴨子選哪個方向使得這個圓心夾角最大。
由於網上難於貼幾何圖形，為了便於敘述，我們把圓形湖置於直角座標係中。
令半徑為r圓形湖圓心O位於直角座標係原點。鴨子初始位置點A座標(r/4, 0), 狐狸初始位置點B座標(-r, 0),也就是，鴨子與狐狸同在的直徑恰在座標係橫軸上。
1. 鴨子選擇橫軸上方的湖岸一點C，直接朝C遊去；而不夠狡猾的狐狸卻沿橫軸下方的圓弧湖岸去追。
令角AOC = alpha。
2. 鴨子從A遊到C的距離為AC。在三角形AOC中，對AC應用餘弦定理，
AC^2 = OA^2 + OC^2 –2*OA*OC*cos(角AOC)
= (r/4)^2 + r^2 –2*(r/4)*r*cos(alpha)
= (17/16)*r^2–(1/2)*r^2*cos(alpha)
AC = r * sqrt(17–8*cos(alpha)) / 4。
3. 在同一時間，狐狸沿橫軸下方的圓弧湖岸以4倍於鴨子的遊速追了4 * AC的距離。
4 * AC = r * sqrt(17–8*cos(alpha)) 。
4. 將狐狸所追距離4 * AC的弧長折合成圓心角beta。
beta = 4 * AC / r = sqrt(17–8*cos(alpha)) 。
5. 令當鴨子到岸時，鴨子和狐狸的位置與圓心連線的夾角為gama。最初，鴨子與狐狸在同一直徑，鴨子和狐狸的位置與圓心連線的夾角為pi;鴨子從A遊到C, 圓心角AOC = alpha,即鴨子逆時針繞圓心移動alpha;同時，狐狸逆時針繞圓心追趕了beta。結果，
gama = pi + alpha – beta
= pi + alpha – sqrt(17–8*cos(alpha))。
我們的目標就是求出當alpha取何值時，gama取最大值。
6. 用典型的求導取零法，求gama的最大值。
d gama / d alpha = 1– ½ * 8*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha))
= 1–4*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha)) 。
7. 令導數為零，求alpha的值。
1–4*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha)) = 0
4*sin(alpha) / sqrt(17–8*cos(alpha)) = 1
4*sin(alpha) = sqrt(17–8*cos(alpha))
16*sin(alpha)^2 = 17–8*cos(alpha)
16*(1–cos(alpha)^2 )= 17–8*cos(alpha)
16*cos(alpha)^2 –8*cos(alpha) + 1 = 0
(4*cos(alpha)– 1)^2 = 0
4*cos(alpha)– 1 = 0
cos(alpha) = 1/4
alpha = arc cos(1/4)
8. gama的最大值。
alpha = arc cos(1/4)時，d gama / d alpha = 0。這是gama取最大值的條件之一。相信其它條件也不難驗證。在此就不再一一贅述。
beta |(alpha = arc cos(1/4))
= sqrt(17–8*cos(alpha)) | (alpha = arc cos(1/4))
= sqrt(17–8*1/4)
= sqrt(15)
max gama
= gama |(alpha = arc cos(1/4))
= (pi + alpha – beta) |(alpha = arc cos(1/4))
= pi + arc cos(1/4)– sqrt(15)
9. 討論：當alpha = arc cos(1/4)時，gama取最大值：pi + arc cos(1/4)– sqrt(15)。此時，
a)鴨子所遊的距離
AC = r * sqrt(17–8*cos(alpha)) / 4|(alpha = arc cos(1/4))
= r * sqrt(17–8*1/4) / 4
= r * sqrt(15) / 4
AC^2 = (15/16)*r^2
b)狐狸所追的距離4 * AC = r * sqrt(15)
c)鴨子逆時針繞圓心移動角：alpha = arc cos(1/4)
d)狐狸逆時針繞圓心追趕角：beta = sqrt(15)。
e)有趣的是，在三角形AOC中，對OC應用餘弦定理，
OC^2 = AC^2 + OA^2 –2*AC*OA*cos(角OAC)
cos(角OAC) = (AC^2 + OA^2 – OC^2) / 2*AC*OA
= ((15/16)*r^2 + (r/4)^2 – r^2) / 2*AC*OA
= ((15/16)*r^2 + (1/16)*r^2 – r^2) / 2*AC*OA
= 0
角OAC = pi/2, AC垂直於OA。鴨子選擇垂直於鴨狐共處的直徑方向，遊向湖岸以取得最優結果。
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