首先,請理解以下較為簡單的結論(證明從略).
(A) 如果在3個球中,有1個球重量異常但已知其過輕(或過重),其它2個球重量正常且相同.用天平稱1次,即可找出那個異常的球.
(B) 如果在9個球中,有1個球重量異常但已知其過輕(或過重),其它8個球重量正常且相同.用天平稱2次,即可找出那個異常的球.
(C) 如果在12個球中,有1個球重量異常但不知其過輕或過重,其它11個球重量正常且相同.用天平稱3次,即可找出那個異常的球, 並指出它是過輕或過重.
用4次稱38個球的方法:
將38個球分為三組.每組中的球可表示為:
X組(13個球): X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,Xa,Xb,Xc,Xd.
Y組(13個球): Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Ya,Yb,Yc,Yd.
Z組(12個球): Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9,Za,Zb,Zc.
(1)第1次稱重:將X組(13個球): X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,Xa,Xb,Xc,Xd放於天平左邊,將Y組(13個球): Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Ya,Yb,Yc,Yd放於天平右邊.
(1a) 如果天平的左右平衡,則重量異常的球在Z組中,利用上述結論(C),共用天平稱4次,即可找出那個異常的球, 且指出它是過輕或過重.
(1b)如果天平的左右不平衡,不妨設天平的左邊較輕,則重量異常的球或在X組(且必定過輕)或在Y組(且必定過重)中,於是進行第2次稱重…
(2) 第2次稱重: 將球Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9,Xa,Xb,Xc,Xd放於天平左邊,再將球Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,Z7,Z8,Z9,Ya,Yb,Yc,Yd放於天平右邊.
(2a) 如果天平的左右平衡,則重量異常的球在X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9中, 並可知異常球過輕,利用上述結論(B),共用天平稱4次,即可找出那個異常的球.
(2b) 如果天平的左邊變得較重,則重量異常的球在Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8,Y9中, 並可知異常球過重,利用上述結論(B),共用天平稱4次,即可找出那個異常的球.
(2c) 如果天平左邊仍然較輕,則重量異常的球在Xa,Xb,Xc,Xd與Ya,Yb,Yc,Yd中, 於是進行第3次稱重…
(3) 第3次稱重: 將Ya,Yb,Yc,Xd放於天平左邊, 再將Za,Zb,Zc,Yd放於天平右邊.
(3a) 如果天平的左右平衡,則重量異常的球在Xa,Xb,Xc中, 並可知異常球過輕,利用上述結論(A),共用天平稱4次,即可找出那個異常的球.
(3b) 如果天平的左邊變得較重,則重量異常的球在Ya,Yb,Yc中, 並可知異常球過重,利用上述結論(A),共用天平稱4次,即可找出那個異常的球.
(3c) 如果天平左邊仍然較輕,則重量異常的球在Xd與Yd中, 於是進行第4次稱重…
(4) 第4次稱重: 將Yd放於天平左邊, 再將Z1放於天平右邊.
(4a) 如果天平的左右平衡, 則重量異常的球為Xd且過輕.
(4b) 如果天平的左邊變得較重, 則重量異常的球為Yd且過重.
依照以上方法,隻用4次稱重即可找出重量異常的球.
