一般情況下,單位圓上一直徑的兩端點A,B與圓外一點P可以構成一三角形.如果點P到圓心的距離為R,那麽點P以圓心為定點,R為半徑,繞行一周.試求點P與A,B構成的三角形的垂心的軌跡.
注意:點P在AB延長線上可視同為特例,包括在軌跡內.
解：
用解析幾何，令單位圓心為座標原點，點A,B,P的座標為：A（-1，0），B（1，0），P（xp，yp）. 因為單位圓外一點P到圓心的距離為R, R > 1 並且
xp ^2 + yp ^2 = R^2 ………………………………………………………………………（1）
三角形ABP的垂心是三角形ABP的任何兩個高線的交點。
要得點A到BP 的高線，首先要知直線BP。通過BP的兩點式方程為：
（yp - 0） / （xp - 1）= （y - 0） / （x - 1）將其整理，得方程
yp * x - （xp - 1）* y – yp = 0
方程的斜率 k1 = yp /（xp - 1）…………………………………………………………（2）
令A到BP 的高線方程斜率為k2，那麽它的斜截式方程為：
y - 0 = k2 *（x + 1）………………………………………………………………………（3）
因為點A到BP 的高線垂直之於BP，兩直線方程斜率乘積為 -1。
k1 * k2 = -1，將k1表達式（2）代入得
k2 = -1 / k1 =（1 - xp）/ yp。將此k2表達式代入（3）得點A到BP 的高線方程
y = （1 - xp）*（x + 1）/ yp。……………………………………………………………（4）
點P到AB 的高線就是通過點P的垂直之於AB（x軸）的直線
x = xp ………………………………………………………………………………………（5）
三角形ABP的垂心座標就是直線方程組（4）和（5）的解。實際上，垂心x座標就是方程（5）所示的xp。
將（5）代入（4）得
y = (1 - xp^2 ) / yp …………………………………………………………………………（6）
垂心y座標就是方程（6）。
從（1）得
yp = +- sqrt(R^2 - xp^2) 將其代入（6）得
y = +- (1 - xp^2 ) / sqrt(R^2 - xp^2)， 根據（5），將xp替換成x就得
y = +- (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2) 。
這就是當點P以圓心為定點,R為半徑,繞行一周,點P與A,B構成的三角形的垂心的軌跡方程。
討論：由於無法畫圖，隻好憑每個人的相像自己畫圖了。
1. 垂心的軌跡包括兩條曲線：
y = (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2) 和 y = - (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2)、
分別對應於點P的y座標yp >= 0和yp <= 0時垂心的軌跡。它們以x軸為對稱。
所以下麵隻討論曲線y = (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2)，也就是點P的y座標yp >= 0的情況。
2. 曲線y = (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2)以y軸為對稱. 所以下麵隻討論0 <= x的情況。
3. 垂心的x座標永遠和點P的x座標xp一致。換言之，垂心永遠和點P在同一垂直線上。在點P以圓心為定點,R為半徑,繞行一周時，其x座標xp活動範圍是[-R，R]，垂心的x座標活動範圍也是[-R，R]。根據討論2.，下麵隻討論0 <= x <= R的情況。
4. x = 0時，y = 1 / R，xp = 0 和yp = R。這意味著當點P位於y軸上，垂心也位於y軸上並位於曲線的最高點。此時，三角形ABP是等腰銳角三角形。
5. 0 < x < 1時，1 / R 〉 y 〉0，0 < xp < 1和R 〉 yp 〉sqrt(R^2 - 1)。這意味著當點P從位於y軸，沿半徑為R的園，向右下滑時，垂心也從位於y軸上並位於曲線的最高點沿曲線向右下滑。此時，三角形ABP保持為銳角三角形。
6. x = 1時，y = 0，xp = 1 和yp = sqrt( R^2 - 1)。這意味著當點P向右下滑到x座標為1時，垂心沿曲線向右下滑到x座標為1的x軸上，也就是點B。此時AB垂直於BP，三角形ABP成為直角三角形。
7. 1 < x < R時，0 〉 y 〉負無窮，1 < xp < R和sqrt( R^2 - 1) 〉 yp 〉0。這意味著當點P從位於x座標為1點，沿半徑為R的園，向右繼續下滑時，垂心從點B沿曲線向右急劇下滑。此時，三角形ABP成為鈍角三角形。
8. x = R時，y = 負無窮，xp = R 和yp = 0。這意味著當點P向右下滑到x軸上時，垂心沿曲線向右下滑，落向無底的深淵。此時點A，B，P三點共線都位於x軸上。
解完。
最後，向樓主致謝！
注意:點P在AB延長線上可視同為特例,包括在軌跡內.
解：
用解析幾何，令單位圓心為座標原點，點A,B,P的座標為：A（-1，0），B（1，0），P（xp，yp）. 因為單位圓外一點P到圓心的距離為R, R > 1 並且
xp ^2 + yp ^2 = R^2 ………………………………………………………………………（1）
三角形ABP的垂心是三角形ABP的任何兩個高線的交點。
要得點A到BP 的高線，首先要知直線BP。通過BP的兩點式方程為：
（yp - 0） / （xp - 1）= （y - 0） / （x - 1）將其整理，得方程
yp * x - （xp - 1）* y – yp = 0
方程的斜率 k1 = yp /（xp - 1）…………………………………………………………（2）
令A到BP 的高線方程斜率為k2，那麽它的斜截式方程為：
y - 0 = k2 *（x + 1）………………………………………………………………………（3）
因為點A到BP 的高線垂直之於BP，兩直線方程斜率乘積為 -1。
k1 * k2 = -1，將k1表達式（2）代入得
k2 = -1 / k1 =（1 - xp）/ yp。將此k2表達式代入（3）得點A到BP 的高線方程
y = （1 - xp）*（x + 1）/ yp。……………………………………………………………（4）
點P到AB 的高線就是通過點P的垂直之於AB（x軸）的直線
x = xp ………………………………………………………………………………………（5）
三角形ABP的垂心座標就是直線方程組（4）和（5）的解。實際上，垂心x座標就是方程（5）所示的xp。
將（5）代入（4）得
y = (1 - xp^2 ) / yp …………………………………………………………………………（6）
垂心y座標就是方程（6）。
從（1）得
yp = +- sqrt(R^2 - xp^2) 將其代入（6）得
y = +- (1 - xp^2 ) / sqrt(R^2 - xp^2)， 根據（5），將xp替換成x就得
y = +- (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2) 。
這就是當點P以圓心為定點,R為半徑,繞行一周,點P與A,B構成的三角形的垂心的軌跡方程。
討論：由於無法畫圖，隻好憑每個人的相像自己畫圖了。
1. 垂心的軌跡包括兩條曲線：
y = (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2) 和 y = - (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2)、
分別對應於點P的y座標yp >= 0和yp <= 0時垂心的軌跡。它們以x軸為對稱。
所以下麵隻討論曲線y = (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2)，也就是點P的y座標yp >= 0的情況。
2. 曲線y = (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2)以y軸為對稱. 所以下麵隻討論0 <= x的情況。
3. 垂心的x座標永遠和點P的x座標xp一致。換言之，垂心永遠和點P在同一垂直線上。在點P以圓心為定點,R為半徑,繞行一周時，其x座標xp活動範圍是[-R，R]，垂心的x座標活動範圍也是[-R，R]。根據討論2.，下麵隻討論0 <= x <= R的情況。
4. x = 0時，y = 1 / R，xp = 0 和yp = R。這意味著當點P位於y軸上，垂心也位於y軸上並位於曲線的最高點。此時，三角形ABP是等腰銳角三角形。
5. 0 < x < 1時，1 / R 〉 y 〉0，0 < xp < 1和R 〉 yp 〉sqrt(R^2 - 1)。這意味著當點P從位於y軸，沿半徑為R的園，向右下滑時，垂心也從位於y軸上並位於曲線的最高點沿曲線向右下滑。此時，三角形ABP保持為銳角三角形。
6. x = 1時，y = 0，xp = 1 和yp = sqrt( R^2 - 1)。這意味著當點P向右下滑到x座標為1時，垂心沿曲線向右下滑到x座標為1的x軸上，也就是點B。此時AB垂直於BP，三角形ABP成為直角三角形。
7. 1 < x < R時，0 〉 y 〉負無窮，1 < xp < R和sqrt( R^2 - 1) 〉 yp 〉0。這意味著當點P從位於x座標為1點，沿半徑為R的園，向右繼續下滑時，垂心從點B沿曲線向右急劇下滑。此時，三角形ABP成為鈍角三角形。
8. x = R時，y = 負無窮，xp = R 和yp = 0。這意味著當點P向右下滑到x軸上時，垂心沿曲線向右下滑，落向無底的深淵。此時點A，B，P三點共線都位於x軸上。
解完。
最後，向樓主致謝！
