黃海懿 - www.huanghaiyi.com
加國財務顧問（保險、基金）
加拿大各省正複工複課，社會上有了相對樂觀的情緒。之前曾想對新冠疫情圖做些說明，但覺得在令人不安的背景下，也許多一分期盼更好吧，事實怎樣又能怎樣呢？如今在心理相對寬鬆的氛圍下，覺得可以探討一下新冠疫情圖中的數學背景，讀懂它們也許會影響咱們當下的選擇。況且Montreal的人們更擅長藝術和那些更形象的美好事物、對枯燥數字沒太大興趣。術業有專攻，作為曾經數學奧校的選手，在下願為朋友們解釋一下這些圖背後的數字技巧。
一、為什麽用半對數圖，而非算術圖？
這是4月9日加國發布的預測模型，注意它的縱軸，從1千到1萬、10萬、百萬，橫軸從第500例那天開始算，算術等距分布，這是半對數圖。
從圖上看，加國處於密集趨勢帶中，顯示的似乎是個尋常走勢。
喜歡問問題的朋友可能要想了：為什麽Y軸要用對數坐標，而非通用的算術坐標呢？
這是因為半對數圖有這樣幾個好處：
（1）運用於股票圖時，上漲和下跌會產生相同的幅度。這個好處跟疫情圖沒多大關係，因為新冠確診總人數是隻會上升、持平而不會下降的曲線。即使有確診者不幸故去，他的這一數值“1”也不會從總確診人數中減去。
（2）適用於長期趨勢。這個與疫情圖也沒什麽關係。新冠傳染性強，幾天內感染人數就快速飆升，數據日新月異。圖中顯示的時間跨度不過是一個多月，40天而已，橫格完全承載得下。正常屏幕看股票的5年日K線圖都沒有問題，何況新冠疫情的幾十天走勢呢~~
（3）簡化數量級數字。“對數”概念由蘇格蘭人納皮爾發明，有人讚之：“對數讓計算時間縮短從而延長了天文學家的壽命”，伽利略說：“給我時間、空間和對數，我可以創造出整個宇宙”，跟阿基米德有一拚，都是馬斯克這種心係外太空的奇俠……他們都在說對數圖能將類似天文數字般量級的都體現在同一張紙上，無論多少級數都簡化為代表級數的數字，視覺上不易引起恐慌……感受一下log10 =Lg，10的8次方是1個億，而對數縱軸上隻顯示了8。
原先在證券領域時，剛入行那會兒很喜歡畫圖，在坐標紙上通過畫一天天的K線圖來感受一下參與者每天或驚喜或驚嚇的心情，後來發現畫出兩三個月的行情後，算術坐標紙上根本就不夠畫的，畫著畫著K線就出去了，漲得太高或跌得太慘，隻好再取張紙拚接上，拚來拚去的挺亂的。如果是在縱軸為對數坐標的紙上畫，就不會有這個問題了，隻要不飛到天上去，什麽都畫得下。
（4）隨之而來的，因為弱化了絕對數字間的差異，半對數坐標上，各國的趨勢看上去非常相似，雖然絕對數值上可能會相當迥異。
二、可以將半對數圖近似看成加速度
咱們可以通過霍普金斯大學“全球疫情地圖”上確診人數的曲線，以它的半對數坐標、算術坐標圖形的對比來感受一下差異。
上半部的圖是半對數坐標圖，橫軸是等距的月份，縱軸從“1K”躍升到“1M”，也就是從“千”升到“百萬”。1K離X軸近容易被誤以為是原點，並不是，縱軸的原點仍然是“0”，隻不過相比於1M，1000會更貼近於零而已，具體鏈接如下
對數相當於“降冪”，冪字不熟的朋友參照楊冪就知道發音了哈~~
幾次方是升冪，對數相當於降冪，是指數的反操作。
在圖的下半部分是算術坐標圖，可以看到全球新冠感染總人數3月初曲線從X軸附近漲起來的時候有一小段曲線，之後的幾十天內近似像是直線了。稍有些遺憾的是這個網站的線條畫得有些太粗了，所以算術坐標下的曲線軌跡看得不是很清晰，這是它是為了鼠標在線上移動時可以看到當天的數據。這樣粗線條的優點是即使那些年長的科學家，手有些抖的也能流暢地用鼠標滑過看到逐日的數據，而不用像京東網站登陸時拚圖那一環節如此變態，即使嚴絲合縫也還得連拚幾十遍也過不去。
通常這種部分曲線部分近似直線的主體是一次函數、二次函數的混合體，不排除夾雜影響因子小的高次函數。而它的規律可通過降冪來看它的近似加速度，就是哪些路段發展速度快，哪些路段發展速度慢，什麽時候加速度降為0了，都顯示在上半部分的半對數圖中：三月之前，加速度呈快速上漲趨勢，就是增加的速度在加速，在2月中上旬加速度減慢了，從3月中下旬開始，繼續開始爬坡，增長速度越來越快，4月中下旬的時候，加速度雖略有減緩，但仍保持在穩定的加速中。
對照看加速度圖（確診人數半對數坐標圖）和速度圖（確診人數算術坐標圖）時有些概念需要澄清一下：
- 加速度為0時，速度會保持勻速上漲（加速度既沒增也沒減）
- 加速度剛剛由正的變為0再變為“負值”時，速度仍然在增長，加速度為“負”隻是說明正在減速，但速度還未為0。
- 新冠感染人數圖跟其他圖有個明顯區別，就是如前（1）所述，在算術坐標上，新冠感染總人數曲線最多就是橫向向右打平，不可能向下。
為了更形象地解釋如何配合著看，咱們先上一些圖，之後再慢慢解釋。
三、多國算術圖、半對數圖的共性 & 特性
下篇更精彩，未完待續~~
