第一章 幾何學史上的哥白尼

第一章 幾何學史上的哥白尼 ——羅巴切夫斯基創立非歐幾何的艱難曆程 　　1893年，在喀山大學樹立起世界上第一個數學家的塑像。這位數學家就是俄國 的偉大學者、非歐幾何的創始人之一羅巴切夫期基（H.N.JIoqaheBCKNN，1792- 1856）。非歐幾何是人類認識史上一個富有創造性的偉大成果，它的創立，不僅帶 來了近百年來數學的巨大進步，而且對現代物理學、天文學以及人類時空觀念的變 革都產生了深遠的影響。可是，這一重要的數學發現在羅巴切夫斯基提出後相當長 的段時間內，不但沒能贏得社會的承認和讚美，反而遭到種種歪曲、非難和攻擊， 使非歐幾何這一新理論遲遲得不到學術界的公認。 　　失敗的啟迪 羅巴切夫斯基是在嚐試解決歐氏第五公設問題的過程中，從失敗走上他的發現 之路的。歐氏第五公設問題是數學史上最古老的著名難題之一。它是由古希臘學者 最先提出來的。公元前3世紀，希臘亞曆山大裏亞學派的創始者歐幾裏得（Euclid， 約公元前330年-前275）集前人幾何研究之大成，編寫了數學發展史上具有極其深 遠影響的數學巨著《幾何原本》。這部著作的重要意義在於，它是用公理法建立科 學理論體係的最早典範。在這部著作中，歐幾裏得為推演出幾何學的所有命題，一 開頭就給出了五個公理（適用於所有科學）和五個公設（隻應用於幾何學），作為 邏輯推演的前提。《幾何原本》的注釋者和評述者們對五個公理和前四個公設都是 很滿意，唯獨對第五個公設（即平行公理）提出了質疑。 第五公設是論及平行線的，它說的是：如果一直線和兩直線相交，所構成的兩 個同側內角之和小於兩直角，那麽，把這兩直線延長，它們一定在那兩內角的側相 交。數學家們並不懷疑這個命題的真實性，而是認為它無論在語句還是在內容上都 不大像是個公設，而倒像是個可證的定理，隻是由於歐幾裏得沒能找到它的證明， 才不得不把它放在公設之列。 為給出第五公設的證明，完成歐幾裏得沒能完成的工作，自公元前3世紀起到 19世紀初，數學家們投入了無窮無盡的精力，他們幾乎嚐試了各種可能的方法，但 都遭到了失敗。羅巴切夫斯基是從1815年著手研究平行線理論的。開始，他也是循 著前人的思路，試圖給出第五公設的證明。在保存下來的他的學生聽課筆記中，就 記有他在1816--1817學年度向何教學中給出的幾個證明。可是，很快他便意識到自 己的證明是錯誤的。前人和自己的失敗從反麵啟迪了他，使他大膽思索問題的相反 提法：可能根本就不存在第五公設的證明。於是，他便調轉思路，著手尋求第五公 設不可證的解答，這是一個全新的，也是與傳統思路完全相反的探索途徑。羅巴切 夫斯基正是沿著這個途徑，在試證第五公設不可證的過程上發現一個新的幾何世界 的。 那麽，羅巴切夫斯基是怎樣證得第五公設不可證的呢？又是怎樣從中發現新幾 何世界的呢？原來他創造性地運用了處理複雜數學問題常用的一種邏輯方法--反證 法。 這種反證法的基本思想是，為證“第五公設不可證”，首先對第五公設加以否 定，然後用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理係統，並由此展開邏輯推演。 假設第五公設是可證的，即第五公設可由其它公理公設推演出來，那麽，在新公理 係統的推演過程中一定能出現邏輯矛盾，至少第五公設和它的否定命題就是一對邏 輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設可證”這一假設，從而也 就間接證得“第五公設不可證”。 依照這個邏輯思路，羅巴切夫斯基對第五公設的等價命題普列菲爾公理“過平 麵上直線外一點，隻能引一條直線與已知直線不相交”作以否定，得到否定命題“ 過平麵上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，並用這個否定命題 和其它公理公設組成新的公理係統展開邏輯推演。在推演過程中，他得到一連串古 怪的命題，但是，經過仔細審查，卻沒有發現它們之間含有任何羅輯矛盾。於是， 遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個“在結果中並不存在任何矛盾”的新公理 係統可構成一種新的幾何，它的羅輯完整性和嚴密性可以和歐幾裏得幾何相媲美。 而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設可證性的反駁，也就是對第五公設 不可證性的邏輯證明。由於尚未找到新幾何在現實界的原型和類比物，羅巴切夫斯 基慎重地把這個新幾何稱之為“想象幾何”。 在冷漠中宣告新幾何誕生 　　1826年2月23日，羅巴切夫斯基於喀山大學物理數學係學術會議上宣讀了他的 第一篇關於非歐幾何的論文《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》。這篇首 創性論文的問世，標誌著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸於世，就 遭到正統數學家的冷漠和反對。 參加2月23日學術公議的全是數學造詣較深的專家，其中著名的數學家、天文 學家西蒙諾夫（A.M.CИMOHOB），有後來成為科學院院士的古普費爾（A.R.KYI- Iφep）以及後來在數學界頗有聲望的博拉斯曼（H.Д.Бp-aшMah）。在這些人的心 目中，羅巴切夫斯基是一位很有才華的青年數學家。可是，出乎他們的意料，這位 年輕的教授在簡短的開場白之後，接著說的全是一些令人莫明其妙的話，諸如三角 形的內角和小於兩直角，而且隨著邊長增大而無限變小，直至趨於零；銳角一邊的 垂線可以和另一邊不相交，等等。這些命題不僅離奇古怪，與歐幾裏得幾何相衝突 ，而且還與人們的日常經驗相背離。然而，報告者卻認真地、充滿信心地指出，它 們屬於一種邏輯嚴謹的新幾何，和歐幾裏得向何有著同等的存在權利。這些古怪的 語言，竟然出自一個頭腦清楚、治學嚴謹的數家教授之口，不能不使與會者們感到 意外。他們先是表現現一種疑惑和驚呆，不多一會兒，便流露出各種否定的表情。 宣講論文後，羅巴切夫斯基誠懇地請與會者討論，提出修改意見。可是，誰也 不肯作任何公開評論，會場上一片冷漠。一個具有獨創性的重大發現作出了，那些 最先聆聽到發現者本人講述發現內容的同行專家，卻因思想上的守舊，不僅沒能理 解這一發現的重要意義，反而采取了冷談和輕慢的態度，這實在是一件令人遺憾的 事情。 會後，係學術委員會委托西蒙諾夫、古普費爾和博拉斯曼組成三人鑒定小組， 對羅巴切夫斯基的論文作出書麵鑒定。他們的態度無疑是否定的，但又遲遲不肯寫 出書麵意見，以致最後連文稿也給弄丟了。 權威的譏諷與匿名者的攻擊 　　羅巴切夫斯基的首創性論文沒能引起學術界的注意和重視，論文本身也似石沉 大海，不知被遺棄何處。但他並沒有因此灰心喪氣，而是頑強地繼續獨自探索新幾 何的奧秘。1829年，他又撰寫出一篇題為《幾何學原理》的論文。這篇論文重現了 第一篇論文的基本思想，並且有所補充和發展。此時，羅巴切夫斯基已被推選為喀 山大學校長，可能出自對校長的“尊敬”，《喀山大學通報》全文發表了這篇論文。 1832年，根據羅巴切夫斯基的請求，喀山大學學術委員會把這篇論文呈送彼得 堡科學院審評。科學院委托著名數學家奧斯特羅格拉茨基（M.B.OCTPOГPAДCKИ Й，1801-1862）院士作評定。奧斯特羅格拉茨基是新推選的院士，曾在數學物理、 數學分析、力學和天體力學等方麵有過卓越的成就，在當時學術界有很高的聲望。 可惜的是，就是這樣一位傑出的數學家，也沒能理解羅巴切夫斯基的新幾何思想， 甚至比喀山大學的教授們更加保守。如果說喀山大學的教授們對羅巴切夫斯基本人 還是很“寬容”的話，那麽，奧斯特羅格拉茨基則使用極其挖苦的語言，對羅巴切 夫斯基作了公開的指責和攻擊。同年11月7日，他在給科學院的鑒定書中一開頭就 以嘲弄的口吻寫道：“看來，作者旨在寫出一部使人不能理解的著作。他達到自己 的目的。”接著，對羅巴切夫斯基的新幾何思想進行了歪曲和貶低。最後粗暴地斷 言：“由此我得出結論，羅馬切夫斯基校長的這部著作謬誤連篇，因而不值得科學 院的注意。” 這篇論文不僅引起了學術界權威的惱怒，而且還激起了社會上反動勢力的敵對 叫囂。名叫布拉切克（C.A.БypaЧek）和捷列內（C.И.ЗeЛeHbiЙ）的兩個人， 以匿名C．C在《祖國之子》雜誌上撰文，公開指名對羅巴切夫斯基進行人身攻擊。 匿名者在題為《評羅巴切夫斯基的著作《幾何學原理》一文中，開始就不懷好意地 寫道：“甚至難以理解，羅巴切夫斯基先生是如何用數學中最簡明的幾何學，建立 起晦澀的、不可思議和神秘莫測的學說的。”文中嘲弄道：“為什麽不能把黑的想 象成白的，把圓的想象成方的，把三角形內角和想象成小於兩直角，把同一個定積 分值想象成既等於π/4，又等於∞？非常、非常可能，盡管理智是不能理解這些的。 ”在文章的結尾處，作者更加放肆地譏諷道：“為什麽不寫成，例如對幾何學的諷 刺，幾何學漫畫等什麽的，來代替標題《幾何學原理》？” 針對這篇汙辱性的匿名文章，羅巴切夫斯基撰寫了一篇反駁文章。但《祖國之 子》雜誌卻以維護雜誌聲譽為由，將羅巴切夫斯基的文章扣壓下來，一直不予發表。 對此，羅巴切夫斯基極為氣憤。 《祖國之子》雜誌刊登攻擊科學家的匿名文章並非偶然，而是有一定的政治背 景的。原來這家雜誌的把持者布爾加林（Ф. В. БyjiГapИH）和格列奇（M.И. ГpeЧ）同沙皇秘密政治組織“第三廳”有著聯係，他們靠“第三廳”的資助維持 雜誌，並且充當幫凶，專門監視和打擊先進的思想家和具有革命傾向的科學家。明 顯表現有無神論和唯物主義傾向的喀山大學校長羅巴切夫斯基，自然要被他們列為 危險對象加以監視。借歪曲、詆毀科學新成果，來壓製、打擊具有進步思想的科學 家，是一切反動勢力的慣用伎倆。 　　在孤境中奮鬥終生 　　羅巴切夫斯基開創了數學的一個新領域，但他的創造性工作在生前始終沒能得 到學術界的重視和承認。就在他去世的前兩年，俄國著名數學家布尼雅可夫斯基 （В.Я.БyhЯkobckИЙ，1804－1889）還在其所著的《平行線》一書中對羅巴切夫 斯基發難，他試圖通過論述非歐幾何與經驗認識的不一致性，來否定非歐幾何的真 實性。英國著名數學家莫爾甘（Morgan，1806－1871）對非歐幾何的抗拒心裏表 現得就更加明顯了，他甚至在沒有親自研讀非歐幾何著作的情況下就武斷地說：“ 我認為，任何時候也不會存在與歐幾裏得幾何本質上不同的另外一種幾何。”莫爾 甘的話代表了當時學術界對非歐幾何的普遍態度。 在創立和發展非歐幾何的艱難曆程上，羅巴切夫斯基始終沒能遇到他的公開支 持者，就連非歐幾何的另一位發現者德國的高斯（Gauss，1777－1855）也不肯公 開支持他的工作。高斯是當時數學界首屈一指的學學巨匠，負有“歐洲數學之王” 的盛名，早在1792年，也就是羅巴切夫斯基誕生的那一年，他就已經產生了非歐幾 何思想萌芽，到了1817年已達成熟程度。他把這種新幾何最初稱之為“反歐幾何”。 後稱“星空幾何”，最後稱“非歐幾何”。但是，高斯由於害怕新幾何會激起學術 界的不滿和社會的反對，會由此影響他的尊嚴和榮譽，生前一直沒敢把自己的這一 重大發現公之於世，隻是謹慎地把部分成果寫在日記和與朋友的往來書信中。當高 斯看到羅巴切夫斯基的德文非歐幾何著作《平行線理論的幾何研究》（1840年）後， 內心是矛盾的，他一方麵私下在朋友麵前高度稱讚羅巴切夫斯基是“俄國最卓越的 數學家之一”，並下決心學習俄語，以便直接閱讀羅巴切夫斯基的全部非歐幾何著 作；另一方麵，卻又不準朋友向外界泄露他對非歐幾何的有關告白，也從不以任何 形式對羅巴切夫斯基的非歐幾何研究工作加以公開評論。他積極推選羅巴切夫斯基 為哥延根皇家科學院通訊院士，可是，在評選會上和他親筆寫給羅巴切夫斯基的推 選通知書中，他對羅巴切夫斯基在數學上的最卓越貢獻－－創立非歐幾何卻避而不 談。 高斯憑任在數學界的聲望和影響，完全有可能減少羅巴切夫斯基的壓力，促進 學術界對非歐幾何的公認。然而，在頑固的保守勢力麵前他卻喪失了鬥爭的勇氣。 高斯的沉默和軟弱表現，不便嚴重限製了他在非歐幾何研究上所能達到的高度，而 且客觀上助長了保守勢力對羅巴切夫斯基的攻擊。 晚年的羅巴切夫斯基心情更加沉重，他不僅在學術上受到壓製，而且在工作上 還受到限製。按照當時俄國大學委員會的條例，教授任職的最高斯限是30年，依照 這個條例，1846年羅巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，請求免去他在數學教研室 的工作，並推薦讓位給他的學生A.Φ.波波夫。人民教育部早就對不順從他們意誌辦 事的羅巴切夫斯基抱有成見，但又找不到合適的機會免去他在喀山大學的校長職務。 羅巴切夫斯基辭去教授職務的申請正好被他們用以作為借口，不僅免去了他主持教 研室的工作，而且還違背他本人的意願，免去了他在喀山大學的所有職務。被迫離 開終生熱愛的大學工作，使羅巴切夫斯基在精神上遭到嚴重打擊。他對人民教育部 的這項無理決定，表示了極大的憤慨。 家庭的不幸格外增加了他的苦惱。他最喜歡的、很有才華的大兒子因患肺結核 醫治無效死去，這使他十分傷感。他的身體也變得越來越多病，眼睛逐漸失明，最 後終於什麽也看不見了。1856年2月12日，偉大的學者羅巴切夫斯基在苦悶和抑鬱 中走完了他生命的最後一段路程。喀山大學師生為他舉行了隆重的追悼會。在追悼 會上，他的許多同事和學生高度讚揚他在建設喀山大學、提高民族教育水平和培養 數學人材等方麵的卓越功績，可是誰也不提他的非歐幾何研究工作，因為此時，人 們還普遍認為非歐幾何純屬“無稽之談”。 羅巴切夫斯基為非歐幾何的生存和發展奮鬥了三十多年，他從來沒有動搖過對 新幾何遠大前途的堅定信念。為了擴大非歐幾何的影響，爭取早日取得學術界的承 認，除了用俄文外，他還用法文、德文發現了自己的著作，同時還精心設計了檢驗 大尺度空間幾何特性的天文觀測方案。不僅如此，他還發展了非歐幾何的解析和微 分部分，使之成為一個完整的、有係統的理論體係。在身患重病，臥床不起的困境 下，他也沒停止對非歐幾何的研究。他的最後一部巨著《論幾何學》，就是在他雙 目失明，臨去世的前一年，口授他的學生完成的。 曆史是最公允的，因為它終將會對各種思想、觀點和見解作出正確的評價。18 68年，意大利數學家貝特拉米（Beltrami，1835－1899）發表了一篇著名論文《非 歐幾何解釋的嚐試》，證明非歐幾何可以在歐幾裏得空間的曲麵（例如擬球曲麵） 上實現。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾裏得幾何命題，如果 歐幾裏得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。人們既然承認歐幾裏是沒有 矛盾的，所以也就自然承認非歐幾何沒有矛盾了。直到這時，長期無人問津的非歐 幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由 此得到學術界的高度評價和一致讚美，他本人則被人們讚譽為“幾何學中的哥白尼”。 在科學探索的征途上，一個人經得住一時的挫折和打擊並不難，難的是勇於長 期甚至終生在逆境中奮鬥。羅巴切夫斯基就是在逆境中奮鬥終生的勇士。同樣，一 名科學工作者，特別是聲望較高的學術專家，正確識別出那些已經成熟的或具有明 顯現實意義的科這成果並不難，難的是及時識別出那些尚未成熟或現實意義尚未顯 露出來的科學成果。我們每一位科學工作者，既應當作一名勇於在逆境中頑強點頭 的科學探索者，又應當成為一個科學領域中新生事物的堅定支持者。 (轉載)