關於平行線相交的問題，答 trivial 和 Numero

我說的一個故事

 Lobachevsky上中學的時候，發現可以讓平行線相交 建立新的幾何學。被老師斥責無可救藥。他苦惱至死，死後12年公認 - 兄貴 

我寫了這麽一句後，被兩個網友質疑：

• 更正一下：是線外過一點可以有不止一條平行線。任何幾何學中“平行線”的定義都是不相交的線。 - trivial - 

你那個Lobachevsky的典故理解錯了，給你批判一下 LOL

來源: Numero 於 2023-03-20 13:23:04 [檔案] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀： 44 次 (469 bytes)

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任何幾何學中平行線的定義是：如果兩條線沒交點則稱為平行。

歐氏幾何中是這樣：“過線外一點有且隻有一條線和已知線平行”

而非歐氏幾何（Lobachevskian geometry），也就是雙曲幾何，平行線多了而已

是這樣的： “過線外一點至少有兩條不同的線和已知線平行“

其實可以有無數多條。。。

這兩位應該是大學數學教授，所以我覺得應該回答一下。

首先我說的是 一個眾所周知的事實，不知道他們反對什麽，網上可以查，類似的很多：

https://k.sina.com.cn/article_6501934712_1838ba67800100rviq.html?from=science 

首先我說的沒有錯。再來看他們的論點：

trivial說的，任何幾何學中“平行線”的定義都是不相交的線 反而是錯的，諾巴切夫斯基和黎曼都是從質疑平行線是否相交開創的非歐幾何的研究，而且平行線相交也是一種流行說法，見：

Numero 給了歐幾裏得幾何和雙曲幾何的平行線定義。歐幾裏得幾何是處處曲率為1 的特別特殊的幾何，雙曲幾何是無數非歐幾何中一種特別的幾何，羅巴切夫斯基重點研究了雙曲幾何，黎曼重點研究了橢圓幾何。這些都是一些特例，隨便說一句，雙曲幾何可以引無數條平行線。你給的兩個特例定義，完全不能否定從平行線相交的質疑。而且橢圓幾何的平行線，確實是相交的，如地球經線相交在南極北極。

在非歐幾何中，不存在直線的概念，所以，我從來不用平行線這個詞。非歐幾何中最短的是測地線，距離的係數是度規，從度規可以計算曲率，各個地方的曲率可以完全不同，甚至難以計算。歐幾裏得幾何的平行線，在微分幾何中，平行線相當於是曲麵或者流形上的於測地線成90度角的係列線，因為測地線是曲率最小的曲線，沿著測地線平移的向量的大小和方向不會改變，對於給定的度規張量，這些“平行線”可以通過求測地線的微分方程來求解。

所以，Numero 的兩個定義是可取的，但是不全麵，更沒有動搖我的說法。而trivial是完全不靠譜的。

 

所有跟帖： 

• 你引的那個故事是人杜撰出來的，沒有任何證據發生過。trivial 說的一點沒錯，你的解釋有概念錯誤 -STEMkid- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:41:00

• trivial 明顯錯了。橢圓幾何的平行線就是相交的 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:44:28

• 橢圓幾何裏沒有平行線。直線就是歐式幾何中的測地線 -STEMkid- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:46:00

• 1）你看過黎曼的文章嗎？ 2）你學過現代微分幾何嗎？ 你應該都沒有 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:48:07

• 平行線不是通過不相交定義的，而是通過和測地線垂直定義的。 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:49:37

• 你也可以計算微分幾何中，流形平行線的解，是容許相交的。這是最基本概念。 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:47:01

• 所謂這三種幾何的公理，不是指在流形中描述，而是在單聯通空間描述 -STEMkid- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:51:00

• 也就是球麵，歐氏平麵，和雙曲平麵 -STEMkid- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:53:00

• 這些都是理想簡單化的特例。實際的世界，各點的曲率是由質量分布決定的，可正可負，隨時隨地變化也可 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:55:46

• 是的，沒有平行線的概念了 -STEMkid- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:57:00

• 我一開始就說，不要使用平行線概念。 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:18:09

• 不存在三種幾何。微分幾何一統天下。黎曼幾何、雙曲幾何和歐氏幾何一樣，都是一種特例 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:53:29

• 這是另外一個問題了，微分幾何裏沒有平行線這一說法 -STEMkid- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:55:00

• 你的邏輯好奇怪。我從諾巴切夫斯基質疑平行線說的，說到平行線這個詞不好，你回到我的想法了。但是微分幾何是有平行線概念的 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:57:44

• 類比歐氏幾何，微分幾何的平行線，就是都和測地線垂直的線 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:58:44

• 你肯定是把parallel transport的概念和平行線搞混了 -STEMkid- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:00:00

• 類比歐式，平行線是看著研曲線parallel transported，方向不變傳輸的結果 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:10:56

• 平行線來自歐氏平行公理，雙曲幾何打破平行公理，已經沒有平行線的說法了。沒有人在歐氏幾何以外用“平行線”這個詞，隻有類比平行線 -STEMkid- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:19:00

• 同意你這說法。但你不能因此說法 去質疑諾巴切夫斯基和黎曼對平行線的曆史性質疑。所以我說trivial沒懂概念的曆史性意義 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:28:20

• 這不是拿知識砸人嘛，哈哈 -大西洋裏來的人- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:57:00

• 別人先砸我的。而且追著我砸。每次我發個貼，都被砸 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 15:59:30

• 哈哈，這個問題太高深了，我去查了一下微分幾何中有木有平行線，一堆豆芽菜出來，頓時眼冒五角星伴隨著耳鳴，罷了罷了。。。 -Midwestrural- ♂ (259 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:04:09

• 你可以查有沒有 諾巴切夫斯基和黎曼對平行線相交的思考。這個很簡單，也是爭論點。我已經附了很多這樣查詢的截圖了 -兄貴- ♂ (164 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:13:17

• 諾巴切夫斯基根本不知道有微分幾何。也不能用微分幾何去質疑他的質疑。反對事實的人很可笑 -兄貴- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:14:39

• 謝謝指點。。。 -Midwestrural- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:19:13

• 這麽喜歡較真，大概是男的 -avw- ♀ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:07:29

• 革命最堅決最徹底的往往是女同學，參見各種運動中的女性表現，所以法國大革命的繪畫中是自由女神帶領大夥，而不是男神。。哈哈 -Midwestrural- ♂ (767416 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:12:38

• 數學計算機方麵大多是男性，哈哈 -兩女寶媽- ♀ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:43:48

• 這，這，這。。。。 -Midwestrural- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:44:50

• numero也是男的？ -avw- ♀ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:54:20

• 所以她說的不算多，一看就是媽媽 -兩女寶媽- ♀ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:55:50

• 她結果是女的？ -avw- ♀ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:57:45

• 她結了2個果實，一女孩一男孩吧 -兩女寶媽- ♀ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 17:02:55

• 兄貴威武！先是挑戰計算機語言，而後是挑戰金融，現在又挑戰數學， -寶馬奔馳- ♂ (313 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:14:19

• 確實厲害，佩服佩服。。 -Midwestrural- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:15:19

• 隨便擴張定義，當然不保證。1+1也不一定等於2啊，這你總能理解吧 -avw- ♀ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:22:44

• 1）不能用Wikipedia質疑曆史人物，2）Wikipedia說的也很好，和L質疑完全一致，你再讀一下文中這句： -兄貴- ♂ (289 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:37:47

• wiki的可靠性還是欠缺點，不能作為正式的引用來源 -兩女寶媽- ♀ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:45:35

• 現在我得出結論，這位，可能許多東西，都學了，但理解得似是而非 -tibuko- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:49:12

• 是你說的不對，主要是第一次表達不夠嚴謹，但還可以理解為對，但辯解就更不對了，經線不平行 -tibuko- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:33:47

• 爭論個啥， 這些AMC AIME, AMO..都不考 哈哈 -青裁- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:35:00

• 是你說的不對。你引用的這些都是科普性的東西，作者自己就不大懂，全是錯的。 -gyarados- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 16:45:09

• 是不是先要說一句：牛頓誤人不淺。 -其樂無窮- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 17:00:10

• 所以叫什麽真呢？ -其樂無窮- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 17:08:58

• 這裏沒有牛逼頓啥事，全是歐幾裏得的錯 lol -gyarados- ♂ (0 bytes) () 03/20/2023 postreply 17:14:00

• 居然拿篇報紙上的文章證明你的民科。 連歐氏幾何和非歐幾何的爭論點是什麽都沒搞清楚 -trivial- ♀ (2118 bytes) () 03/20/2023 postreply 17:17:22