居然拿篇報紙上的文章證明你的民科。 連歐氏幾何和非歐幾何的爭論點是什麽都沒搞清楚

我沒時間給你科普太多， 就基本幾條。

平行是幾何概念，既不依賴於坐標係，也不依賴於任何測度。平行線的定義就是線不相交。（這裏也沒有所謂直線曲線之分）。

歐氏幾何起源於Euclid的Elements，主要圍繞卷1-4 和6的plane geometry， 其中包括5條公理。爭議點在於第五公理，也就是平行公理，是獨立存在還是可以從其他公理證明。平行公理的內容是： For any line l and any point P not on l, there exists a unique line m through P and parallel to l. 

近兩千年來數學家的重點都集中在試圖證明平行公理可以證明上。所說的non-Euclidean plane geometry, 是指承認Euclid 前四條公理的情況下，平行公理可否不成立。 

Elliptic geometry 中任兩條線相交，也就沒有平行線。但是它不全滿足前麵四條歐式公理，所以不需考慮。

前麵四條歐式公理可以推出平行線的存在性，所以問題在於唯一性。 

Hyperbolic parallel property is: for any line l and any point P not on l, there are more than one line through P and parallel to l. 

Hyperbolic geometry = a geometry with Euclidean's first four postulates and hyperbolic parallal property. 

Lobachevsky 的貢獻在於他論證hyperbolic geometry 可以存在。 他不是唯一的一個，與他思路類似的還有幾乎同期的匈牙利數學家Janos Bolyai。 他們的工作當時沒有被迅速接受，因為他們都沒給出實例。 第一個例子是1868年Eugenio Beltrami 構造的。

（至於你說什麽拿垂直測地線定義平行， 了解一下Lambert quadrilateral,  這個四邊形有三個內角是直角，另一個不是。 按你的定義，對邊是平行還是不平行啊？ 

https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_quadrilateral ）