對第一題進行比較嚴格的計算和證明。正三角形邊長為 sqrt(8 - 4 sqrt(3))。

單位正方形內可以放最大多大的正三角形？

解：正三角形三個點應位於正方形的三個邊，否則，如有一點位於正方形內，這個正三角形在正方形內可以膨脹更大，或者說就不是正方形內可以放的最大的正三角形。

用解析幾何，令單位正方形ABCD的頂點座標如下：
A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（1，0）。

令正三角形XYZ的頂點座標如下：
X（x， 1），Y（y，0），Z（0，z）.
這意味著X在BC上，Y在DA上，Z在AB上. 0 <= x, y, z <= 1.

正三角形三邊相等：邊長S = XY = YZ = ZX，所以S^2 = XY^2 = YZ^2 = ZX^2。
XY^2 =（y - x）^2 +（0 - 1）^2 =（y - x）^2 + 1
YZ^2 =（0 - y）^2 +（z - 0）^2 = y^2 + z^2
ZX^2 =（x - 0）^2 +（1 - z）^2 = x^2 +（1 - z）^2

因為XY^2 = YZ^2，得方程，
（y - x）^2 + 1 = y^2 + z^2
將其展開並作兩邊抵消，得方程（1）
x^2 - 2xy + 1 = z^2 ……………………………………………………………………（1）

因為YZ^2 = ZX^2，得方程，
y^2 + z^2 = x^2 +（1 - z）^2
將其展開並作兩邊抵消，得方程
y^2 = x^2 + 1 - 2z，移項得z的表達式（2）
z =（x^2 - y^2 + 1）/ 2 ………………………………………………………………（2）

將（2）代入（1）得隻含x，y，不含z的方程
x^2 - 2xy + 1 =（x^2 - y^2 + 1）^2 / 4
將其展開整理，得方程（3）
4x^2 - 8xy + 4 =（x^2 - y^2）^2 + 2（x^2 - y^2） + 1
（x^2 - y^2）^2 - 2（x^2 + y^2）+ 8xy - 3 = 0
（x^2 - y^2）^2 - 2（x - y）^2 + 4xy - 3 = 0 ………………………………………（3）

現在,作變量替換，令 A = x + y, D = x - y,這樣
x^2 - y^2 = (x + y）*（x - y）= A * D
x - y = D
4xy = (x + y）^2 -（x - y）^2 = A^2 - D^2
將以上三式代入（3），得方程（4）
（A * D）^2 - 2 D^2 + A^2 - D^2 - 3 = 0 ……………………………………………（4）

將其整理，得方程（4）的解
（A * D）^2 - 3 D^2 + A^2 - 3 = 0
（A^2 - 3）D^2 + A^2 - 3 = 0
（D^2 + 1）*（A^2 - 3）= 0
D^2 + 1 = 0和/或A^2 - 3 = 0
D^2 + 1 = 0 是不可能的。
從A^2 - 3 = 0 得 A = x + y = sqrt(3)

從S^2 = XY^2 =（y - x）^2 + 1, |y - x|越大，則S也越大。期望y 和 x的差為最大。
但受限於0 <= x, y <= 1 ，也就是max(x) = max(y) = 1，和x + y = sqrt(3).所以
max|y - x| = max| 2x -（x + y）| = | 2*max(x) -（x + y）| = |2 - sqrt(3)| = 2 - sqrt(3) 或
max|y - x| = max| 2y -（x + y）| = | 2*max(y) -（x + y）| = |2 - sqrt(3)| = 2 - sqrt(3)
所以要使S為最大，即|y - x|為最大，
x = max(x) = 1，y =（x + y）- x = sqrt(3) – 1或
y = max(y) = 1，x =（x + y）- y = sqrt(3) – 1。
將此二組解帶入z的表達式（2），得方程的二組解
x = 1，y =sqrt(3) – 1，z = 1/2 +（sqrt(3) – 3/2）= sqrt(3) –1 或
x =sqrt(3) – 1，y = 1，z = 1/2 -（sqrt(3) – 3/2）= 2 - sqrt(3)。

因為S^2 = YZ^2 = y^2 + z^2，用第二組解
S^2 = 1 + ( 2 - sqrt(3) ) ^2 = 8 - 4 sqrt(3)
邊長S = sqrt ( 8 - 4 sqrt(3) )。

結論：
I．單位正方形內可以放的最大的正三角形XYZ的頂點座標如下：
X（1， 1），Y（sqrt(3) – 1，0），Z（0，sqrt(3) – 1）. 或
X（sqrt(3) – 1， 1），Y（1，0），Z（0，2 - sqrt(3)）.

正三角形的一個頂點位於正方形的某一頂點。構成這一點的正三角形的兩邊與構成同一點的正方形的兩邊分別成15度夾角。正三角形的另外兩個頂點分別位於正方形的另外兩邊。

顯然，應該還有另外兩個可以放在單位正方形的最大的正三角形。由於初始設置正三角形的三個點位於正方形的三個邊，隻能求出兩個解。如選擇正方形的不同的邊，則可求出其它兩個解。

II. 單位正方形內可以放的最大的正三角形的邊長S = sqrt ( 8 - 4 sqrt(3) ) = 1 / cos(15度)。

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• 回複：對第一題進行比較嚴格的計算和證明。正三角形邊長為 sqrt(8 - 4 sqrt(3))。 -jinjing- ♀ (165 bytes) () 04/24/2010 postreply 12:02:16

• 讚 -guest007- ♀ (0 bytes) () 04/28/2010 postreply 12:04:23

• 謝 -皆兄弟也- ♂ (0 bytes) () 04/28/2010 postreply 21:30:10

• 簡化一點? -wushuihe- ♂ (464 bytes) () 04/29/2010 postreply 05:11:39

• 回複：簡化一點?更正 -wushuihe- ♂ (36 bytes) () 04/29/2010 postreply 05:25:52

• 回複：簡化一點? -皆兄弟也- ♂ (581 bytes) () 05/08/2010 postreply 06:50:30