平凸雜談
才高五鬥不覺恥，水灌一壇隻作癡。凸情不枉君付意，子誌難琢我化石。
滿貫、大滿貫和超級大滿貫
在美本申請上，一直有一個神秘兮兮的問題，即cross-admission。每年有多少拿到多藤、加上斯坦福、甚至加上麻理工的滿貫、大滿貫的得主呢？這問題可以猜，卻沒法回答。
一個人能拿到所有哈、耶、普的Offer，叫做滿貫。如果是哈、耶、普，外加斯坦福，叫大滿貫。如果是哈、耶、普、斯，再加上麻理工，就叫超級大滿貫。2015年以後，越來越多的拿下多藤的近滿貫、滿貫的申請人把自己的經曆放到YouTube分享。而且每年藤校放榜日後，也總那麽有一篇滿貫文書火爆網絡。
有人 Po，有人火，熱鬧歸熱鬧。但那個問題，還是沒人回答得了。誰也不知道每年能有多少（1）超級大滿貫、（2）大滿貫、和（3）滿貫得主。那就更別提下麵這一連串更專業點的問題了。
4）每年，有多少哈-耶雙連得主？
5）那，哈-普雙連得主呢？
6）那，哈-斯雙連得主呢？
7）那，哈-麻雙連得主呢？
8）那，耶-普雙連得主呢？
9）那，耶-斯雙連得主呢？
10）那，耶-麻雙連得主呢？
11）那，普-斯雙連得主呢？
12）那，普-麻雙連得主呢？
13）那，斯-麻雙連得主呢？
如果雙黃問題不夠刺激，我們再把專業度提高一層：
14）哈-耶-斯三連得主呢？
15）哈-耶-麻三連得主呢？
16）哈-普-斯三連得主呢？
17）哈-普-麻三連得主呢？
18）哈-斯-麻三連得主呢？
19）耶-普-斯三連得主呢？
20）耶-普-麻三連得主呢？
21）耶-斯-麻三連得主呢？
22）普-斯-麻三連得主呢？
而且，這問題還沒完呢，再加上下麵這四個：
23）哈-耶-普-麻四方連呢？
24）哈-耶-斯-麻四方連呢？
25）哈-普-斯-麻四方連呢？
26）普-斯-耶-麻四方連呢？
解開這一連串的問題，就能解開T5招生的一個秘密。這個秘密，T5們不說，人們都隻能當Gossip一樣瞎猜瞎傳。這樣的話，哈斯普耶麻就可以一邊任由各種錄取奇跡騙取你的感情，另一邊拿連年慘跌的錄取率來霸占你的勞動。
從 Frosh Survey 說起
錄取數據這個秘密，是T5的底褲。他們會習慣性地捂著它，除了每年露個錄取率來營造一下市場氣氛。底褲捂得最嚴的，是哈、斯、麻。他們仨在T5各據市場細分的一極，所以對賴在其他T5的競爭最不敏感。但耶、普兩家就稍有不同，他們各自的細分價值稍顯模糊，再麵臨著哈斯麻的競爭壓力，難免要更不淡定一些。所以會再多露一些底出來，從而勾引市場的興趣。
這其中，有一份普林斯頓的Frosh Survey。Frosh是大學一年級新生，跟Freshman同義。每個學校都會有這種Survey，但隻有普林會在Survey裏公布Cross Admission的統計數據。其他學校的Frosh對於Cross Admission問題，要麽是有數據但不公布，要麽就是幹脆沒數據。
斯坦福的Survey也應該有Cross Admission數據，但是從不公布。可是有一次，僅有一次，不知道是哪個校辦的秘書手潮，還是網管忘了加牆，讓Stanford Faculty Senate Minutes的記錄漏出網上，被人把數據記下來了。這是一個亞裔Lawrence Chiou，他是Harvard'14，Stanford PhD'18，他現在斯坦福做Data Scientist。讓我們一起感謝Lawrence Chiou。
從這些數據，我做了一個基礎數據表格。這篇的聚焦在T5，所以其他藤校的數據先暫時忽略，以後有時間再跟大家做更深入的推演。 從這個表格裏的基礎數據出發，我們就可以相當準確地計算出以上所有問題的答案，即各種哈耶普斯麻組合下的Cross Admission的人數。
從多藤到超級大滿貫的數據合成
關於這個數據計算的詳細過程，我就不囉嗦太多了。我隻簡單說一下合成其他空白數據的原則。首要原則就是對稱原則，即以對角線為對稱軸的兩個格子的數據，反映著同一對學校之間的交叉offer人數，這樣的人數（注意不是錄取概率）應該相等。次要原則是等比例原則，即構成矩形的四個小格的數據應該橫豎兩個方向都成比例。我們通過這兩個原則，就可以合成出其他所有空白格的數據。這就是雙錄取的全部概率分布情況。
根據以上的數字，再加上各校年均招生的人數，我們就可以算出各種搭配下的雙錄取人數，這就是下麵的雙連表。所有的雙連錄取數字就此得解。請注意，雙連總人數2175，少於所有雙連數字相加的結果2537。為什麽呢？請讀者自己思考。要是想不明白的話，Top 20就不要申請了。但是哈佛和耶魯還是可以申的，因為他們都不會要求你達到嫩麽的quant。
人數不少哇！看見這個的人會首先感歎一下。我們來仔細分析一下。重合數字最高的是耶魯-普林的427，這說明兩校之間再招生價值的重合度最高，因為校際價值越重合，就會共同向越多的申請者發出offer。這並不在於他們官宣的價值，而在於他們看到同樣價值的申請者的真實反應（即發offer的概率）。其次普林-斯坦福之間、哈佛-斯坦佛的重合度也都很高。這就間接的證明了一點，斯坦福實際上在與東部院校全線展開競爭的。
更有意思的是，哈耶普斯四校與麻理工之間的重合度都很低。這說明麻理和大家的重合度都低得很，最低的是再哈-麻這兩所同城之間，每年的共同offer人數隻有50這個量級。隻有各自招生規模的2-3%而已。與麻理工重合度最高的，反而是遠在西岸的斯坦福，這符合我們的常識經驗。
下麵我們來解決三連的人數問題。根據雙連概率表，再加上條件概率的計算公式，就可以很方便計算出三聯數字。比如我們已經知道哈佛錄取人裏有耶魯錄取的概率，也知道耶魯裏有普林的概率，兩者相乘，就得到了哈-耶-普三聯的概率。如此，算出的三聯表格如下。我隻填了對角線以下的表格。對角線以上的表格，可以參考對稱原則來計算。
用三連概率表格，我們同樣可以計算出何種搭配下的三連錄取的人數：
三連的人數就變少得可憐了，362人，隻有二連總數的15%（六分之一）。以哈-普-斯三連的人數最多（76），比藤校滿貫的哈-耶-普都更多出十幾個人來。這麽看來，人們習慣隻把哈耶普而不是哈普斯叫做滿貫，還是有道理的。哈-耶-斯、普-耶-斯的三連人數都差不多，在60人以上。有麻理工的三連裏，普-斯-麻的人數最多。同時具有哈-麻的三連都少得可憐。從前麵的哈麻雙連就知道，沾上哈氣兒的人，基本上就很難再混進麻團兒裏了。但無論如何，這些能在哈耶普斯四校之間拿下任意三個的，都是絕對頂尖的學生了。
還有更頂尖的四方連。我就不羅嗦算法了，直接上四連的概率表格和人數。能拿到T5中四連錄取的總人數在20人的數量級。我個人認為這個數字算的有點偏低，但數量級基本上靠譜，再多也不會超過50人。除了大滿貫哈-耶-普-斯之外，其他任何的四方連（即帶上麻理工的四連）就少得可以當沒有了。麻是最難進的（不是隻看錄取率數字那麽簡單），敢申的人就少的很，即使你是有哈耶普斯裏三連實力的人。
最後，超級大滿貫，HYPSM五張通知書集齊的人，我算出來的結果是零。也許有，但這人數非常稀少了。我上次見還是2017年，我記得北達科塔州的一個白人小夥。極少數了，除了讓我們感歎一下，其實他對我們的申請沒什麽借鑒價值。被一群價值觀完全不同的學校都錄取，這個純屬運氣。
這些，對申請有什麽用？
滿屏的Gossip說完，哈喇子流了一地。這有什麽用呢？有用的話在下麵！
對於大多數T5申請人來說，都是有實力、但沒信心的人。要申請都是碰運氣，不申呢又白不申吧。所以你要是能拿到offer，也就是撞上一家的運氣而已。T5總共發出9700張左右的offer，給到7300人手中。這其中拿到僅僅一張offer的人，一共有5350人。看上去很多是吧，但其實裏麵有3870張是早申拿下的，而且這些人裏麵的70%有Legacy的。剩下的1480張single offer，會在19萬份Regular中找到主人，相當於0.7%的錄取概率。這跟媒體報道的3-5%RD概率之間相差甚遠。
各家的情況如何呢？先說哈佛吧。他每年給出約1900張offer，其中1192張是給到了隻拿到哈佛的人的手裏了。這些哈佛single offer的學生，有858人其實在早申中拿到的，80%以上的人有Legacy，沒有legacy的早申offer也就不到200個人而已。對比早申數1萬多人數，如果你沒有Legacy，那麽你的早申錄取率其實隻有2%，根本不是宣傳的7%（2020年早錄）更不會是13%（2019年早錄）那麽高。在Regular階段去申的話，沒有Legacy的錄取率其實都不到0.6%。
耶魯和斯坦福的錄取率和哈佛類似，而且非Legacy錄取率更低。最慘的其實在普林。沒有Legacy的人在Regular階段去申普林其實就跟心理安慰差不多，他給你的single offer本來就很少。這基本上可以看出來，普林是一個招生價值觀相對更傳統和封閉的學校。他在識別申請者的時候，更多的會關注到傳統的精英價值觀上去。當你仿著對哈佛斯坦佛的那一套，把自己做成進步主義的profile給普林的時候，你可能已經走在了一條自裁的路上。
讀了這滿篇的數字分析，請大家不要把上麵的數字絕對化。這些事合理計算的結果，可以作為很好的定性參考。我想讀到這裏的同學，會自然地想到各校招生價值觀的差異化問題。關於這個問題，我們過去在美本文書講座和講座之後的文稿裏詳細闡述過。你可以去翻我的博客。
中一個都是麻煩