數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
有人曾經說過，人類所發明的隻不過是一堆記號而已：僅僅是一堆用來表示物體狀態的符號。很多人對此不以為然，因為我們在學校裏所受到的教育是，必須循規蹈矩。化學元素的符號不能亂寫，化學反應的方程式更不能杜撰；數學上的運算符如求和記號隻能寫成∑；物理中的量綱隻能是某個名人名字的首寫字母，等等等等。直到1998年我去Carleton大學訪問時，遇到了來自美國的Huard教授，他寫數式可是隨意得很，字母與數字混合著使用。我小心翼翼地問，這能行嗎？他說行，隻要你說明其含義即可。
從遠古的石書竹簡，到後來的造紙術，再到今日的打字軟件，人類可謂進步神速。我在Carleton寫論文時，還不知道怎麽用電腦，隻是用筆在紙上做演算，整理好之後再交給某個學生去用Latex打出來。現在，我的小女兒已經是大學計算機科學的四年級學生了，她也用Latex寫作業，但總是抱怨說命令太多很難記。我也不知道Latex是誰開發的，怎麽如此繁瑣？發明不是應該更簡便的嗎？為了把文字從手寫體變成印刷體，難道就沒有更簡便的工具嗎？
下麵我就按照胡教授的做法，把四個均值不等式的初等證明用鍵盤上的僅有符號敲出來。這組不等式是高中數學的基礎，其證明一般要用到微積分的知識，一般的中學數學老師是不可能證明出來的。在加拿大的九年級，盡管要用來求最優值，但是沒有一個數學老師知道怎麽求；他們隻知道把已有的結論搬出來，讓學生們去記住。
給定一組正數a1, a2, …, an，它們的算術平均值定義為Am = Am(a1, a2, …, an) = (a1 + a2 + … + an)/n, 幾何平均值為Gm = Gm(a1, a2, …, an) = (a1*a2*…*an)^1/n. 其中，*是普通乘法，/表示除法，^則是冪。我們有結論：Am >=Gm, 等號=當且僅當所有正數ai相等時成立。
我們用數學歸納法來證明。當n=1時，結論是顯然的。假設結論對於某個正整數n=k成立。對於n的下一個取值k+1, 我們需要證明結論也成立。
為了簡便起見，我們記A = Am(a1, …, ak), G = Gm(a1, …, ak)，k+1 = n, an = a。所要證明的不等式等價於 (kA + a)/n >= [G^k * a]^1/n, 也就是，{[(n-1)A+a]/nG}^n >= a/G. 應用歸納假設A >=G, 隻要證明 {1 + [g – 1]/n}^n >=g 即可，其中g = a/G > 0. 進一步做變量代換g – 1 = x > -1, 隻要證明 {1 + x/n}^n >= 1 + x 即可。
應用二項式定理，上述不等式左邊可以展開為1 + x + nC2*(x/n)^2 + … + nCk * (x/n)^k + … + (x/n)^n. 其中，nCk是二項式係數。如果x >=0, 它顯然>=1 + x； 如果 0 > x > -1, 展開式從第三項開始為交錯級數，而且各項nCk * (-x/n)^k單調減少，因此總和為正，不等式成立。
要使等式成立，必須有A = G，而且x = 0，由歸納假設可知，a1 = … = ak = G = a. 證畢。
在算術-幾何平均值不等式中，如果把各正數換成它們的倒數，就可以得到幾何平均大於或等於調和平均。如果引進對數的概念，不等式兩邊取對數，那就得到了對數函數的凸性，進一步就可以推廣到Jensen不等式。
這才是人類的推理之道：從最初的觀察，記錄事物的形態及含意，找出它們之間的關聯或規律，再通過一些公認的準則如歸納、演繹、反推、類比等去加以驗證，最後推廣到整個領域。規律是人類通過大腦的思考悟出來的，它們不是人類的創造，因為它們是客觀存在的，即使沒有人類，那些規律還在那裏。
不知道人類能不能造出一台機器，它能夠模擬人類大腦的思維全過程，能夠知錯改錯、自我完善，還能夠與所有物體溝通：不管是有生命的、還是沒生命的。可是反過來想一下，如果真有這樣的機器，那人活著又還有什麽意義？
