數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
有人說，磁力就是生命，這話該如何理解？一個學生曾經問到：究竟什麽是磁場？磁鐵隨處可見，磁懸浮列車都運行多年了，那還不簡單？可仔細一想，問題並不簡當。我翻遍了教科書，沒有找到答案；搜遍了網絡，隻有一知半解。於是隻能與引力場、電場、磁場作類比，推出了神子的存在，這樣，世界的全貌就揭曉了。
首先，磁現像是吸鐵石對周圍鐵質物體的吸引。早在公元前800年，希臘Magnesia省的人們發現了一種石頭，四氧化三鐵（Fe3O4），可以吸引鐵釘鐵屑。1296年，Pierre de Maricourt把鐵針放在一塊球狀磁鐵附近各處，發現針的指向總是平行於球體的一條固定的直徑。這兩個固定端被稱為磁極。進一步的試驗表明，不論磁鐵的形狀如何，它總有兩極；即使切分成再小的塊，也總是兩極（Dipole）。而且，其中兩極相斥，而當一塊磁鐵反轉後的兩極便相吸。
1600年，William Gilbert試驗了各種材料，發現在常溫下，有三種元素具有永磁性（Permanent Magnetism）：鐵（Fe）、鎳(Nickel)、鈷（Cobalt）。基於羅盤中的指南針總是指向固定的方向，他建議地球本身就是一個大磁場。現在，人們把一塊磁鐵與地球的地理北極相對應的一端稱為北極，另一端稱為南極。其實，地理北極是地球磁場的南極。天文觀察表明，地球磁極會發生周期性的翻轉；地球上的生靈便會經曆一次重新適應的過程。有研究表明，近100年來，地球的磁場正在逐漸減弱。地球磁場未來將如何演變，無疑關乎著人類的未來。因為磁場阻止了地球的大氣層被太陽風剝離，磁場也是生物形成的前提。
1819年，Hans Oersted發現，羅盤的指針在通電導線附近會發生偏轉，即電流會產生一種力場。緊接著，Andre-Marie Ampere發現電流之間也像磁鐵一樣吸引或排斥；他建議，形成磁鐵的基本磁偶（magnetic dipole）是充分小（分子級別）的電流環路。對於一個電流為I~的閉合電路C，如果它所圍的平麵區域麵積為A，則磁偶矩（Magnetic moment）M~定義為 AI，方向與平麵區域垂直，與r~及I~滿足右手螺旋法則。如果C是一個半徑為r的圓，取觀測位為圓心，r~是從圓心指向C上某處的位移向量，則有M~ = Pi r^2 I (n^), n^是單位法線向量，M~ = ½ Integral {r~ × J~ dL} 。對於多重線圈形成的環流，還要乘上匝數。對於三維空間裏的電流密度分布J~，M~ = ½ Integral {r~ × J~ dV} ，r是從觀測處到電量分布處的位移向量，dV為體積微元。
1820年，Jean Baptiste Biot和Felix Savart，確定了一根導線附近的磁場強度：B~ = K Integral {r~ × I~ dL/|r~|^3}, 此曲線積分沿著導線，K為比例係數，值為10^(-7); dL是曲線的長度微元，r~是從觀測點到曲線微元dL的位移向量，這裏用X~表示向量, × 表示矢量積。I~為電流強度，其數值為I = dq/dt，q為電量，t為時刻，方向為電荷的流動方向。
據此，我們把它拆分為關於點電荷的磁場公理：對於一個點電荷q，假設它的運動速度矢量為v~，那麽它所產生的磁場強度為B~ = K q(r~ × v~)/|r~|^3。這與Biot-Savart定律是一致的。
對於導線某個截麵P處的一組自由電子，各自帶電量為e，速度vi，它們在位置O處產生的磁場為dB~ = Ke Sigma {OP~ × (vi)~/|OP|^3} = Ke OP~ × N(vd)~/|OP|^3，其中，(vd)~為平均漂移速度，N為帶電粒子（即電子）總數。設導線內自由電子的體密度為miu（單位體積內的自由電子個數，是材料內那些離域電子（de-localized）），導線截麵積為A。在一段長度為dL的導線內的自由電子個數為N = miu*AdL；dB~ = Ke miu*AdL OP~ × (vd)~/|OP|^3 = Ke OP~ × I~dL/|OP|^3，因為I~ = emiu*A(vd)~。在此長度dL內，再取次級長度微元dx, 內部電量dq = emiu*Adx，從而I~ = emiu*Adx/dt = emA(vd)~。
B~也可以表為B~ = K d{Integral [ r~ × qdL~/|r~|^3]}/dt, dL~沿曲線的切線方向，q為曲線上某點處的運動電量。如果電量分布在一個曲麵上，可以引進電流密度的概念：J~ = I~/A = em(vd)~，即單位麵積上的電流強度, 它是一個矢量。B~可表示為一個曲麵積分：B~ = K {Integra [r~ × J~ dA/|r~|^3]}, 其中dA為麵積微元。對於分布在一個空間區域裏的電荷，J~為電流的體密度, B~則表為一個三重積分：B~ = K Integral{r~ × J~ dV/|r~|^3}。
由此可知，要增加磁場強度，可以縮短距離，或者增加電流密度。後者可以增加電子密度、或者平均漂移速度。任何能夠分離出自由電子的裝置，稱為發電機或者電源。分離的方式有：（1）通過化學反應；（2）光電效應；（3）電磁感應原理。要增加其漂移速度，可以用正電荷/陽離子的牽引，但因為電子的運動是隨機的，主要還是得把每個電子的運動速度vi齊向化；這需要調轉其自轉方向，而這需要一個外部強磁場來實現。
現在的高壓發電都是基於電磁感應原理。1820年，Faraday和Joseph Henry發現，當一塊磁鐵相對於一個線圈A運動時，或者附近另外一個線圈B內的電流強度發生改變時，線圈A中會出現電流，也就是A附近會出現感應電場；其電勢差emf與磁通量（B~穿過線圈A所包圍的麵積的流量）的時間變化率成比例。1834年，Heinrich Lenz根據能量守恒的原理，確定了感應電流的方向：感應電流所生成的磁場B1~，與原磁場B反向；或者B1產生的磁通量要抵消B的磁通量。
Faraday感應定律、Biot Savart定律，加上Coulomb電力公式，就構成了近代電磁學的基礎；通過一些微積分的運算，便可推出Maxwell的五大方程。Ampere還推出了兩根導線之間的作用力的大小：F = K I1*I2 /d，d為導線間的距離。
試驗表明，一段長度為L、電流強度為I~的導線，在磁場B~中，所受到的磁力為 F~ = L I~ × B~。由此可公理化為，一個帶電離子q，以速度v~在磁場B~中運動時，所受力為 F~ = q(v~ × B~)。由於受力方向與運動方向垂直，磁力對離子不作功。功隻是力沿路徑的環流量（Circulation，標量積），丟失了力的方向信息；還需要考慮扭矩（torque）T~ = r~ × F~，r~是從參照（觀測）點到著力點（運動物體所在處）的位移矢量。扭矩的量綱與能量（或功）相同，隻是帶有方向。
對於一個質量體，按照牛頓第二定律，F~(合力) = m dv~/dt，m為物體質量，v~為線性運動速度, 有T~ = r~ × mdv~/dt = d(mr~ × v~)/dt – mdr~/dt × v~ = d(M~ × v~)/dt，第二項為零是因為dr~/dt 與v~平行，這裏假設質量m不隨時刻改變。M~ = mr~稱為靜力矩，M~ × v~則為線性動量L~。對於一個連續質量分布的物體，在一個力場F~ = dm * g~，g~為單位質量的物體所受到的力，其扭矩為積分：T~ = Integral {r~ × g~dm} = dL~/dt, L~ = Integral{r~ × v~ dm}。
對於一個在空間中連續分布的電量Q，它們形成一個電場E~ (單位電荷所受的力)；其扭矩定義為 T~ = Integral{ r~ × E~dq}, dq是電量微元。我們可以定義一個電動量D~ = Integral {r~ × u~dq} ，矢量u~的時間變化率du~/dt = E~。dq r~可以理解為靜電矩，u~則為電量的擴散速度，也就是電流強度I~，因此有 dI~/dt = E~; 也就是說，dJ~/dt = E~ dG，dG是分布空間的幾何微元（長度、麵積或體積）。這就是為什麽有人假設J~與E~成正比的原因。
對於一個長度為d，兩端電量為±q的電極（如極性共價鍵）來說，其偶極矩(Dipole moment) 定義為 qd~，d~的方向是從負極指向正極。在一個外部電場E~中，它所受到的扭矩為 T~ = qd~ × E~ = d~ × qE~ = d~ × F~，qE~即是電極所受到的電場力。在一個極性分子內，它的扭矩等於各個鍵的扭矩的矢量和。
如果把一個磁偶矩M~放到一個外部磁場B~中，它會受到一個扭矩的作用：T~ = M~ × B~ = sN~ × B~ = N~ × sB~, N~是一個向量，sB為磁偶矩在磁場B~所受力的大小，沿磁力線的方向。s稱為磁量，最小的基本單位稱為磁子（Magneton）。對於一塊磁鐵，也就是一些電流回路的集合，它的磁扭矩等於所有回路的磁扭矩的矢量和。可以定義一個磁動量S~(叫spin angular momentum也行)，使得 dS~/dt = T~ = Sigma{N~ × sB~}, 也就是說，S~ = Sigma{N~ × sw~}，dw~/dt = B~，磁場就是磁子的擴散速度。
一個物理係統永遠處於一個外部力場、電場和磁場之中，它所受到的力矩等於各個成員在各種場中所受力矩的矢量和。在場中的勢能U = --M~ 
E~，E~為場強；這是一種負能量。一個物理係統的內能，等於各成員的勢能，加上扭矩的模，還有兩種動能，即自轉動能和線性位移動能mv^2/2。
在微觀世界裏，粒子的運動都是隨機的; 除了質量、電量和磁量保持不變外，其它的量都是隨機變量，包括時間。所謂的不確定性準則指的是，在各種動量的表示中，兩個因子的標準方差的乘積，大於或等於一個常數h/4Pi，h為Planck常數。
物質世界的理論似乎是完美地統一了，可增加磁場的辦法，聽起來似乎陷入了死循環，人們什麽都做不了。自然界的量都有一定的範圍，還有一些常量或守恒定律，讓它們不隨時刻而改變。真正變化的量叫做熵，自然界裏誕生出生靈的目的，正是為改變。可別不信神，真正偉大的科學家都歸依了神。
