物理數學方程（4）

本文討論一個宇宙內個天體的運動情況。眾所周知，無數個星團（Galaxy）構成一個宇宙，而一個宇宙是一次曠世大爆炸形成的（要不然，還有別的解釋嗎？）；當爆炸產生的輻射逐漸冷卻下來時，它們也就慢了下來，形成了電漿、氣體、液體、固體塵埃、冷凝態（絕對零度附近）等各態物質。物質分布是不均勻的，有的地方多，有的地方少。由於質量體之間的固有引力，多的越多，少的越少；直到那個多者產生了自旋，便在周圍形成了一個暫時的平衡。但物者永遠是大魚吃小蝦，這個過程永遠不會停止。時刻永恒；時間則是因觀察者而異，是觀察者記錄兩個事件間隔的一個參數。直到大爆炸之初的所有能量再被聚集，再開啟一個新的宇宙。空間無限大；維度隻是觀察者描述事件所需要的獨立變量的個數。

一顆恒星（Star）的形成是由於一片氣體及塵埃的區域，經過重力的拉扯、高壓高溫、內爆外擴的反複較量，直到熱核反應的出現而發出光（輻射）。在一片區域，可能同時生成兩顆、甚至三顆恒星，視物質的多少及機緣巧合而定。雙星係統應該是更普遍的存在，因為這更容易解釋行星橢圓軌道的雙焦點。有人想像太陽原來也是有一顆伴星的，隻是不知被銀河係裏的哪個大力神拉走了；現在它每隔2700萬年與太陽一聚，導致地球生物的大量滅絕。

先考慮一個恒星係統X，首先要指出，係內每一個天體都受到六個力的作用，絕非隻有引力。係內天體P的中心位置也用P表示，它的質量記為MP，最大直徑為DP。如果MP/DP > c^2/4G, （c為光速，G為萬有引力常數），那麽P就是一個黑洞（光線不能逃離）。用·RP表示P的體密度，表麵溫度用TP表示；它的輻射強度（單位時間內、單位立體角內釋放出的能量）為IP = σ(TP)^4；係數σ與它的結構有關，與時刻t也相關。

P附近的其它天體Q會受到P的輻射力RF，其大小與P的輻射強度IP成正比，與Q的密度RQ、表麵積AQ成正比，與距離的平方成反比，方向由P指向Q；可以表示為 RF = ε (IP) (AQ) (RQ) (PQ)/|PQ|^3。比例係數ε物體的結構有關。任何物體都有輻射能力，強弱而已，何況天體。

任何兩個有質量的物體之間都有引力，Q受P的引力為 YF = -G (MP)(MQ) PQ/|PQ|^3。引力子(Gravitons)就像履帶一般纏住雙方，讓物體有了角動量、從而自轉。正如小孩子玩的打陀螺遊戲，用一根軟鞭以適當角度抽擊陀螺，就可讓陀螺保持旋轉；最初的轉動需要一個扭矩。恒星形成時的一噴，給了其它天體一個初始扭矩，引力子履帶就像小孩子的軟鞭。

設天體P的旋轉角速度為WP，方向與旋轉軸平行，與切向運動速度垂直並滿足右手螺旋法則。附近的天體Q受到Coriolis力 CF = – 2(MQ)(WP × VQ)的作用，VQ是天體Q的直線速度。速度都是相對的，隻有光線除外。因為位移都是相對的，這裏我們取星團的質量分布中心G作為參照點：沒有絕對靜止的參照係，隻求有個落腳處—這是一切描述的起點。

當P的角速度WP隨著時刻t變化時，其它天體Q還會受到歐拉力 EF = – (MQ)( (del WP/delt × PQ)的作用。

任何由質子和電子構成的物質都有磁場，因為那些電子總是在動。磁場強度BP與質量、密度溫度、角速度有關。在P附近的Q處，它產生的磁場強度的大小與距離的平方成反比，與P的直線速度|VP|、P的總電量EP= 價電子 (Valence Electron) 個數 × e成正比, 可記為BP (Q, t) = M EP (VP × PQ)/|PQ|^3；磁化係數M與P的狀態函數有關。磁力線的方向從P的北極經R指向南極，再從P內回到北極。Q所受的電磁力為 MF = EQ (VQ × BP) = M EQ EP [VQ × (VP ×PQ)]/|PQ|^3。

還有第六種力的存在，可以解釋為引力波。既然帶電 體的運動可以產生磁場，磁場與電場的交互作用產生電磁波；質量體的運動也會產生一個感應場，用來保證兩個物體不會無限接近，以維持暫時穩定的局麵。這個感應場與引力場的交互作用就是引力波。當兩個物體的中心距離小於它們的半徑之和時，碰撞/合並就會發生。P對Q的排斥力的大小與其質量、距離成正比，可以表示為 R = K (MP)(MQ) PQ。P對Q的感應場強 H = K MP (VP × PQ), Q所受排斥力為 ZF = MQ (VQ × H) = K MQ MP [VQ × (VP × PQ)]。引力係數G和磁化係數M都是通過Torsional Balance求出的，比例係數K也可以用類似的辦法求出；這就是愛因斯坦在他的引力場論方程中加的那個常數項：正是此項導致了宇宙的膨脹。

按照牛頓第二定律，天體P所受到的力之和FP，等於其動量的時間變化率(MP)del VP/delt, 約掉質量MP，可得方程 del VP/delt = Sigma { ε (IQ) (AP/v(P) QP/|QP|^3 -G (MQ) QP/|QP|^3 – 2(WQ × VP) –  (del WQ/delt × QP) + M (EQ) (EP/MP) [VP × (VQ × QP)]/|QP|^3 + K MQ [VP × (VQ × QP)])

= Sigma {[ε (IQ) (AP/v(P) -G MQ) QP/|QP|^3 – 2(WQ × VP) – (del WQ/delt × QP) +

MQ [M (EQ/MQ) (EP/MP)/|QP|^3 + K] [VP × (VQ × QP)]} ，其中，v(P)是P的體積，EP/MP是P的電量與質量之比，Sigma表示對係內所有天體Q求和。

由此可知，一個天體的運動狀況與兩個比值有關：表麵積與體積的比，這表現了它的緊密程度；電量與質量之比，表現它的能動程度。為了求解方程，還需要知道質量分布情況；人類沒有辦法去實地測量，目前隻能通過收到的電磁波去作光譜分析，大致估算而已。理論上，我們可以假設常數G，M，K的值通天適用，用太陽係的數據去推算其它星係。

如果把係內所有天體所受到的力相加，引力、電磁力和排斥力是相互的，總和為零；輻射力、Coriolis力、歐拉力是不對等的，不可能抵消；因此星係總有一個淨力，它決定了本星係在星團內的運動狀況。為了寫出各星係的運動方程，隻要加入係外行星、雲團的分布狀況，結果是類似的。各星團在宇宙內的運動情形亦然。這就像一棵洋蔥，一層套一層。Einstein的場論方程隻是上述方程的特例；引力加速度是不能完全用張量表示的。

回到星係X內，假設行星P繞主星S（可能多個）作周期運動，我想知道它的軌道周期與自轉周期的比值。各行星如何選擇運行軌道？這不是“上帝之手”決定的，而是利益最大化原則：星係要以最小的能量、在最短的時間內去占領最大的空間；行星為了適者生存，就要選擇能耗最小的閉路L，也就是積分 Integral{FP * dr：位置矢量r落在L上} 的值要達到最小。按照變分法的原理，這不難求出。

如果FP是保守力，根據Stokes公式，這個積分恒為零；也就是選什麽路徑無所謂，但實際情況肯定不是隨機選的。這時，像愛因斯坦所做的，要求路徑最短，即積分Integral{ |VP| |dr|}的值最小。模|VP|難於計算，可以改為 Integral {VP * VP |dr|} 的極小化。過程中需要用到角動量。物體P的角動量的定義是，JP = MP (SP × VP) ，SP是從S指向P的位移矢量。JP的時間變化率 del JP/delt = MP (del SP/delt × VP) + SP × del VP/delt) ，del SP/delt 是P相對於S的速度，可以表為 VP – VS；另一方麵，MP (del VP/delt) = FP，所以 del JP/delt = SP × FP – MP (VS × VP) 。

按照牛頓的萬有引力定律去計算星團邊緣的恒星速度，結果應當是，恒星離中心G越遠，它的運動速度應該越小；可實際觀察結果卻是，星係邊緣的恒星的運動速度幾乎沒有差異。於是就有人提出暗物質的概念；宇宙中應該有某種暗黑物體，對恒星施加了影響。根據速度偏差圖（又稱旋轉曲線），Kelvin在1884年估計了黑暗物體的數量。1933年，瑞士天文物理學家Fritz Zwicky 根據Virial定理，推出不可見質量（他稱之為暗物質）大約為可見質量的400倍。又根據Lamda-CDM模型的估計，我們的宇宙裏僅有5%的通常物質和能量，27%為暗物質，68%是暗能量。

如果不把黑洞當作暗物質的話，根據我上麵的方程式，速度沒有偏差。有人寫了一本書，《Calculating the Universe》，可是書中沒有一個計算的式子，讓人失望至極。今天我把想法寫下來，那就一切都可計算了，隻差輻射力、Coriolis力、歐拉力對光子的影響。