數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
在超微觀世界裏，動的根本原因是電流：電子無處不在，隻要有一個導體，它們便會流動。根據我們對原子結構的理解，為了達成一種穩定的結構，原子外層的電子總有趨於飽和的傾向，electric fluids 就是原子的外層電子發生了轉移，從而形成了陰陽兩種離子。同性的離子互相排斥，而異性離子互相吸引，物界就永恒在動。即使是一個中性的物體，正電量等於負電量，其原子內部的質子和電子也是在不停運動著: 盡管質子的組合體有同等數量的電子來達成中性，但由於質量上的懸殊，還需要一定數量的中子來維持穩定。穩定的實體，能耗最低。
考慮一·個原子或離子內部的世界，所有粒子的集合記為S；它包含a個質子，b個中子，c個電子，其它亞原子粒子先忽略不計（壽命大多隻有幾納秒）。一般說來，奇數個外層電子（Valence Electrons）的結構是不穩定的，它必須丟掉或獲取奇數個電子形成離子才能穩定。最穩定的結構是電子軌道達到飽和：s2, p6, d10, f14。通常而言，當核子數為2，8，20，50， 82，126時，原子更為穩定。這幾個數被稱為魔法數。原子與離子再通過共享電子（即所謂的化學鍵或電子對）形成穩定的分子，這是我們對物質的基本認識。
記一個粒子P的質量為MP，電量為EP（質子電量為e = 1.6 × 10^(-19) C, 電子電量為-e，中子電量為0）。在時刻t，粒子P的位置也記為P或P(t)；線性速度（矢量）為VP，角速度（矢量）為AP (方向上與VP滿足右手螺旋法則) 。兩個粒子P與Q之間的位移矢量記為PQ（從P指向Q），而PP = 0（零向量）。兩個粒子之間的引力為 MP * MQ * g(|PQ|) PQ，|PQ|表示矢量的大小，函數g(d) = C + K/d^3，C與K為常數，即與距離d和時刻t無關。兩個粒子之間的電力為EP * EQ * f(|PQ|) PQ, f(d)= C’ + K’/d^3，C’, K’為非零常數。
粒子都是有自旋的，我們還應當考慮Euler力和Coriolis力。歐拉力是當旋轉參照係具有角加速度時，附近（位移矢量r指向物體）有質量（m）的物體會感受到的力：Fe = ?m delw/delt × r，w是參照係的角速度，方向與旋轉平麵垂直並滿足右手螺旋法則。科裏奧利力的表達式為 Fc =-2m (w × v) ，v是運動物體的線性速度。這些力不能說是虛擬的，隻要能夠被感受到就是真實的存在。
按照牛頓第二定律，一個粒子的運動方程是，動量的時間變化率，等於它所受的合力。S中一個粒子P所受到的合力為 F = EP Sigma{EQ * f(|QP|) QP} - MP Sigma{MQ * g(|QP|) QP} ? MP Sigma{ delAQ/delt × QP} - 2MP Sigma{AQ × VP}，其中的Sigma表示，對係統S中的所有異於粒子P的粒子Q求和，QP是從Q指向P的位移矢量。因此有，
DelVP/delt = RP Sigma {EQ*f(|QP|) QP} - Sigma {MQ*g(|QP|) QP} ? Sigma {delAQ/delt × QP} - 2 Sigma {AQ × VP} ，其中，RP = EP/MP是粒子P的電量與質量的比值。如果是中子，則此項為零。
如果不考慮Euler力和Coriolis力，係統內部的合力為零，因為作用力是相互的，因此，把所有方程加起來，係統的總動量為零。但是我們知道，在一個分子內部，原子之間也是有相互作用力的，一個原子的總動量不應為零，除非是單原子分子。在實際上，氫原子也不能單獨存在，至少得形成氫氣分子才會穩定下來。再往上，分子之間也是有作用力的，一個分子的總動量更不應該為零。
這些方程可解嗎？甚至其正確性可否驗證都成問題。一個原子的質量小於內部所有粒子的質量之和；核物理的解釋是，這部分缺失的質量按照公式Δm * c^2 = E轉化成了結合能。結合能也不是呆在那裏一動不動的，它必然對各粒子的運動產生影響。其二，當一個電子吸收或釋放適當的能量時，它的軌道會發生改變。這些能量又是從哪裏來的？其它短壽命粒子的衰變？粒子之間的碰撞/散射？反粒子的存在？電磁輻射無處不在、在宇宙形成之初（大爆炸）就充滿了整個空間。第三，分子的運動都是毫無規則、完全隨機的，怎麽才能定量地描述這些微小粒子的運動呢？應該說是微粒的波動，隻能用能量的概率分布。
能量是一個間接的物理量，是一個物體作出改變的能力；它與物體的溫度有關。最早是在19世紀下半葉，Ludwig Boltzmann和 James Clerk Maxwell等人通過一個簡單的分子運動模型解釋了氣體分子的性質。他們假設氣體分子都是無形狀、無體積、有質量、小而堅固的點；分子間的距離相對於其大小而言是極大的；分子們在永恒地隨機運動，隻通過相互碰撞施加作用。
考慮一個體積為V的容器，其中充滿了N個氣體分子，一個分子的質量為m。定義其均方速度為 v^2 = Sigma {vj ^2: j = 1, 2, …, N}/N；引進一個坐標係xyz，假設均方速度在三個維度的分量相等；根據動量守恒定律，可以得出：氣體內單位麵積上的壓力（即壓強）為P = mN v^2/3V。再按照Boyle等人通過實驗得出的理想氣體方程式：PV = kNA T，k為Boltzmann常數，值為 1.38 × 10^(-23)，NA為Avogadro常數，即12克碳-12裏的碳原子的個數；得出：mv^2/2 = 1.5kT，即一個分子的動能與溫度成正比。這裏，沒有考慮分子間的勢能，還有實際氣體的方程。
任何熾熱的物體都會釋放出所有波長的光線：持續不斷地加熱，它會由紅到白。一個物體單位時間內單位表麵上接收到的能量，與它到熱源的距離的平方成反比。為了描述輻射強度，物理學家們用了“黑體”（Blackbody）的概念，假設它能夠理想化地吸收所有進入的電磁射線，並連續不斷地、沿著所有方向，釋放出各種頻率的射線（你可以打開一個小孔去觀察）；釋放的速率隨著溫度而增加，與材質無關，但不會無限增加，因為它也會吸收。在達到平衡時，單位時間內、單位表麵積釋放出的能量可以表示為 Integral{ I(λ, T)dλ: λ屬於所有波長}。
從實驗數據出發，我們有Stefan-Boltzmann定律：一個熾熱的物體（表麵溫度為T）在單位時間內，沿著所有的波長，單位表麵積所釋放出來的能量與其溫度T的4次方成正比：Integral{ I(λ, T)dλ} = σT^4，σ為比例係數。Wien據此推出，輻射強度I(λ, T)具有形式 f(λT)/λ^5；但是函數f不能僅從熱力學的角度來確定。根據試驗數據所錄得的強度曲線顯示，I在λ = 0.002898/T時達到最大值。Wien推出，f(x) = c^4 Exp(- 5 × 0.002898/x)；但這與試驗結果不符，尤其是當λ趨向於零的時候。
Planck花了六年多的時間，找到了一條吻合度更好的曲線：f(x) = 2πhc^2/[Exp(hc/kx) – 1] 。他作了兩條假設：（1）釋放射線的振蕩分子（振子Oscillators）具有離散的能量 nhf，n是一個正整數，h為Planck常數，值為6.626 × 10^(-34)，f是振子的頻率 = c/λ。具有能量hf的振子稱為一個光子。（2）一個n對應於一個量子態；振子可以釋放或者吸收整數倍的hf的能量而改變量子態。
假設在時刻t，在一個體積為V、環境溫度為T的無窮小的空間區域S（黑體）內，具有頻率f（或波長λ= c/f）的光子數為N(f)。N是一個隨機變量，取值從0到O(S) = 域內振子的最大可能數目；它的概率分布函數記為Pf(N = n)(未知)。因此，區域S的平均能量為 E’ = Sigma{nhf Pf(N = n): n = 1, 2, 3, …}，總能量E = E’ × O(S) = A Integral{ I(λ, T)dλ}，A是S的表麵積。
在化學反應中，為了開啟反應，必需一個啟動能量Ea；當分子碰撞開始後，可能形成一些臨時的、不穩定的過度產品，直到最終的穩定產品。產品形成的速度與現有反應物的濃度的某個次冪成比例，而比例係數等於分子有效碰撞（以正確的方向碰撞）的頻率乘以一個指數因子 Exp(-Ea/kT) [Arrhenius方程]。Planck假定，概率函數 Pf(N = n)與 Exp(-nhf/kT)成比例，否則達不成熱平衡。
還要計算振子的個數O(S)，為簡單起見，設想S是邊長L的正方體，即V = L^3。Maxwell的四個電磁場方程 Grad × ε = -delB/delt, Grad * ε = 4πρ, Grad * B = 0, Grad × B = (1/c^2) delε/delt + 4πKm J
[Grad 為梯度算子，ε是電場強度，ρ是電量密度，J是電流密度，B是磁場強度，Km為磁場係數] 的一般解為 ε = （-1/c）delu/delt – Grad(U), B = Grad × （u/c）, u 是一個矢量函數，滿足波方程 del2u/(delt)^2 = c^2 Grad2(u)；U是任何一個二階可微的標量函數。波方程的有界解可表示為
u(x, y, z, t) = Sigma{[C(l, m, n) Cos(2π(lx + my + nz)/c) + D(l, m, n)Sin(2π(lx + my + nz)/c)] [A(f)Cos(2πft) + B(f)Sin(2πft)]}, 其中，求和是對所有實數l, m, n, f進行，隻要滿足條件l^2 + m^2 + n^2 = f^2，f是頻率，取正實數。C，D為常矢量，A，B為常標量。
為了滿足邊界條件，也就是函數u具有周期性：當x, y, 或z改變L的一個整數倍時，u都取相同的值。為此，x, y, z的係數 2π(l, m, n)/c隻能是2π/L的整數倍：2π(α，β，γ)/L。式子 2π(lx + my + nz)/c表示點積【k1, k2, k3】 * [x, y, z]，k = [k1, k2, k3] = 2π[l, m, n]/c= 2π[α，β，γ]/L是波的傳播矢量，波長λ = 2π/sqrt{(k1)^2 + (k2)^2 + (k3)^2}= c/sqrt[l^2 + m^2 + n^2] = c/f。每一個給定的|k|值，由|k| = 2π/λ 可以得到一個波長，也就是說，每一組給定的整數值 (α，β，γ)，滿足 α^2 + β^2 + γ^2 = (fL/c)^2都對應一個振子。
由於振子數目太大，我們可以把它看作是一個連續型的隨機變量。在頻段[f, f + df] 這個區間，振子總數為 8π(L/c)^3 f^2 df；此頻段內的光子的總能量為 E = 8πhVf^3/c^3 * 1/[Exp(hf/kT) – 1]，這就是Planck的能量分布式，也是量子力學的開端。
對於一個粒子的波方程, del2u/(delt)^2 = v^2 Grad2(u)，其中，u是位移，v是波速，它的所有解為u(x, y, z, t) = Sigma{A(l, m, n) Exp(2πi(lx + my + nz)/v) Exp(2πift)}，對所有實數l, m, n求和，頻率f = sqrt(l^2 + m^2 + n^2)，A(l, m, n)是矢量，依賴於l, m, n但與x, y, z, t無關。這種連續和式是不收斂的，數學上要把它積分化：通過Fourier變換。
對於傳播向量 k = 2π[l, m, n]/v = 【kx, ky, kz】, 積分化之後的解可以表為 u(x, y, z, t) =
Integral {A(kx, ky, kz) Exp(i[k * r – ft]) dkxdkydkz}。此函數式滿足微分方程 （Schrodinger 方程）delu/delt = iK Grad2(u), K為常數，與Planck常數及粒子的質量有關。
這種函數式稱為波函數，它的模的平方代表了概率密度；即粒子在時刻t落入空間區域S的概率與積分 Integral{ |u(x, y, z, t)|^2 dxdydz: (x, y, z)屬於S}成比例。這種積分式可以被稱為概率，是因為它滿足概率的三公理：（1）在整個三微空間上的積分為1，（2）在任意區域上的積分值介於0與1之間，（3）可列可加性：在可數個不相交區域上的積分值等於各區域上的積分之和。
接下來，要寫無質量的光子，還有無光的暗粒子的運動方程了。
“最艱難的數學猜想都被我解決掉”
我的理解是，物理是個圖景，用數學很難得到一個框架。從諧振子入手，可以得到localized的認識，從粒子推廣到凝聚態或宏觀，都是一個線索，振動和耦合。
Get back to life: 多做實驗，多發明新的研究技術！
是發錯地方了吧？