最短總距離

在n維歐氏空間中，給定任意p( > 2)個點Pk，k = 1， 2，…, p, 我們需要找到一個點Q，使得它到每個點Pk的距離之和最小。這種點Q一定存在，可要具體找出來，卻是很難很難。多麵體的形心（centroid）不一定是Q點，某種加權平均或許能行。微積分的方法要解含有p個根式的方程，可是去掉平方根式後的高次多項式方程是無法解的。
當n=1時，問題很簡單：把PK按順序排列（可以重複），中間的任何一點都是解（當p為奇數時，隻有一個解，p為偶數時有無窮多個解）。對於一般的n，如果采用絕對值（格點）距離，即定義兩點P= (x1, x2, …, xn)，Q = (y1, y2, …, yn) 之間的距離為 sigma{|xi – yi|: i = 1, 2, …, n}，那麽，還是找Pk的各個分量（坐標）的中位值即可。可偏偏人類習慣的卻是歐氏距離，這還是Minkowski距離的特殊情形：d(P, Q) ^ r = sigma{ |xi – yi|^r, r = 1, 2, …, n}, r ≥ 1.
對於n = 2，即坐標平麵的情形，p = 3時的解稱為Fermat點：如果三角形有一個角至少是120度，那麽，這個頂點就是要找的點。如果所有角都小於120度，Fermat點可以按如下方式作出：以任何一條邊AB為邊長，在三角形外部作一個等邊三角形ABD；再作此等邊三角形的外接圓。連接原三角形ABC的頂點C和D；CD與外接圓的交點就是Fermat點。其證明需要用到圓內幾何的知識，如Ptolemy定理。
對於平麵四邊形的情形，如果是凸四邊形（即每個內角都小於180度），那麽，兩條對角形的交點就是要找的點；這可以用三角形不等式很容易地證明。對於凹四邊形，即有一個內角大於180度，那麽，此頂點就是要找的點；這可以用餘弦定理以及Heron公式來證明。一般地可以證明，對於一個鈍角三角形，鈍角處的兩條鄰邊之和，小於其對邊與2倍對邊上的高之和。
對於平麵上的其它m邊形，為了找到一點Q = (x, y)，使得它到各點Pk的距離之和 S =: sigma{|QPk|: k = 1, 2, …, p} 達到最小，可以對x和y分別求偏導數，讓它們等於零，得到兩個根式方程。即使是p = 3，平方兩次以消去根式後，得到的是x和y的12次方程組，那是很難解出的。Minkowski不等式，
sigma{sqrt[(x – xk)^2 + (y – yk)^2]: k = 1, 2, …, p} ≥ sqrt{[sigma|x – xk|]^2 + [sigma|y – yk|]^2} 
可以給出和式S的一個下界估計。右邊的根式，當x取xk的中位值，y取yk的中位值時，達到最小。但是，這個最小值隻有當|x - xk|與|y – yk|都成比例時才能夠達到。AIME在1991年就出個一種特殊情形的問題，即要求使和式 sigma{sqrt[(2k-1)^2 + (ak)^2]: k = 1, 2, …, n} 最小，其中正實數ak之和等於17。用上述不等式，很容易得出答案。
假設點PK處具有質量（或電量）mk；那麽這個質點係的質量中心是點Po = sigma{mkPk: k = 1, 2, …, p}/M，其中，M = sigma(mk)。由此，我們可以構造集合C = {sigma[ckPk]: ck 非負, 且和為1} 。質量中心是此集合中的一點。C是凸集，即對其中任意兩個點P和Q，對任意的實數t在0與1之間，tP + (1-t)Q還在集合C中 。設P*是一個中位值點（當p為奇數時，此點唯一）；如果P*在凸集C中，則它就是要找的點。否則，我們找出P*到C的最短距離：min{d(P*, P): P ∈ C} = d(P, Q)，Q ∈ C，那麽此點Q就是要找的點。這個結論的證明較難，我隻能把它當作一個猜想；您若有興趣的話，可以試著去證明或否定它。