數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
一個變量x的多項式指的是形如a0 + a1x + … + anx^n= P(x) 的式子，其中n為正整數，an非零，n稱為多現式的次數（或者度數）；諸係數ak與x無關。這在所有的數學表達式中是最簡單的，其它式子如果具有無窮階導數，可以展開為x的冪級數；如果僅有有限個極點的話，則可以展開為Lauren級數。這些式子的個數是可數的；所有函數式子的個數（基數）為2^c，其中c為連續基數。
研究多項式的主要目的是求它的零點（或根），也就是解方程P(x) = 0，或者分解成一次因式。當n = 2時，通過配平方，很容易得出二次方程的求根公式。關於n=3時的求解，有一段很長的故事。最早是意大利數學家Luca Pacioli 在1494年，出書記錄了對一元三次方程解法的艱辛探索，並斷言在當時的數學，求解一元三次方程是根本不可能的。
在1505年左右，意大利數學家Scipione del Ferro解決了形如x^3 + mx = n的方程，但並沒有發表自己的成果，而是對解法保密，隻是告訴了自己的學生。在1535年，Ferro的學生菲奧爾向數學家Niccolo Tartaglia挑戰，後者用兩個小時解決全部30個問題，贏得了比賽，並在1541年終於完全解決了一元三次方程的求解問題。與費羅相同的是，Tartaglia同樣選擇保守解法的秘密。同樣研究一元三次方程的意大利醫生、哲學家和數學家 Girolamo Cardan在允諾不公開的條件下，1539年從Tartaglia那裏得到了他的解法；然而Cardan卻背棄諾言，把Tartaglia的結果發表在了自己的著作《Ars magna》中。現在人們隻知道三次方程的Cardan公式。
他們的解法如下：對x^3 + ax^2 + bx + c = 0, 先配完全立方，消去二次項，得到形如y^3 + py + q = 0的方程；再作變量代換y = z + k/z，選取參數k，使方程化為 (z^3)^2 + q(z^3) – p^3/27 = 0 形式。這是關於z^3的二次方程，有公式解；再開立方（需要單位1開立方的複數公式），代入y中，即得全部的三個根。
四次方程很快就被Tartaglia的學生Lodovico Ferrari解出。Ferrari的解法思路是這樣子的：對x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，配完全平方，使它成為
(x^2 + ax/2 + y)^2 = (a^2/4 – b + y)x^2 + (ay/2 – c)x + (y^2/4 – d) 的形式；再選取參數y，使得右邊是關於x的完全平方，而這隻要右式的判別式為0即可。從此得出一個關於y的三次方程；任取其一解，可得關於x的兩個二次方程，因此，四次方程的根便可全部解出。
這還可以用另一簡單的方式來描述：先配成關於x的完全四次方，以便消去三次項，得到形如 y^4 + py^2 + qy + r = 0的方程；再用待定係數法把它分解為兩個二次多項式之積。其中的係數會出現一個三次方程，用Tartaglia·的方法解之，就化為了兩個關於y的二次方程。
當次數n>4時，人們一直沒能找出一般的解法。法國數學家Franciscus Vieta研究了根與係數的關係；這可以因式分解之後再展開，與原多項式比較係數而得。n個根的基本（初等）對稱多項式，各等於相應的係數（帶符號），這就是Vieta公式。牛頓恒等式揭示了根的各個k次冪之和與係數的關係；當冪次k大於次數n時，還有遞推公式。
在1770年，Lagrange發表了《關於代數方程解法的思考》，指出二、三、四次方程的解法對五次及以上的方程不可行。他考慮了全部n個根用1的n次根的各種線性組合（預解式），以此為根構造一個新的方程；按照根與係數的關係，這個新方程的係數可以用原方程的係數的有理式表示出來。若新方程根式可解，則原方程亦然。然而經過他如此頑強的努力之後，用根式解高次方程的問題仍然未解決，它好像是在向人類的智慧挑戰。
1824年，挪威青年Abel（1802-1829？）證明了：當次數n > 4且項數>2時，任何以係數構成的有理式的多重根式，都不可能是方程的根。原來，數學家們幾百年努力的問題根本就沒有解。
接下來的問題是，哪些方程可以用根式求解？這個問題由法國青年 Évariste Galois (1811-1832, 20歲時死於決鬥) 徹底解決。Galois的想法與Lagrange相似，考慮n個x1, x2, …, xn的一次線性組合式L = k1x1 + k2x2 + … + knxn，係數kj不是單位根，而是使得L遍曆n個根的全部n! 個排列 。以這n! 個組合式為根的多項式 G(x)的係數都是有理數。
Galois引進了有理數域上不可約多項式的概念。假設G(x)已經分解為有理數域上一些不可約多項式之積；g(x)是其中之一，其次數為m。g(x)就是m個一次因式 x – Lk 之積；把這些Lk舔加到有理數域Q中，得到一個擴張域F = Q(L1, L2, …, Lm)，或稱為g(x)的分裂域。F可以看成Q上的一個向量空間，其維數為m。F中保持Q中元素（有理數）不變的自同構的全體，稱為g(x)的Galois群，記為Gal(F/Q)。Galois定理說，原方程P(x) = 0根式可解的充要條件是，每個Galois群都是可分的；也就是說，G = Gal(F/Q)可以分解為一個下降的群鏈：G > G1 > … > Gk = {e}，使得商群Gi/G(i+1)為可交換群（Abel群）。
用根式求解等價於通過一係列變量代換，化為一係列的二項方程：x^n + m = 0。在不能根式求解的方程中，能不能化為三項方程呢？1861年，Cayley證明了，一個一般的5次方程，可以用Tschirnhausen 變換，化為y^5 + y + a = 0的形式。Tschirnhausen變換就是y = b0 + b1x + … bmx^m，m < n為某個正整數。由P(x)的n個根，算出n個y值；以此構造一個關於y的n次方程：y^n + c(n-1)y^(n-1) + … + c1y + c0 = 0。按照根與係數的關係，可以選取參數bj，使得盡可能多的係數ck為零。1858年，Hermite用橢圓函數表出了這種五次方程的解。
由於求解的困難，數學家們轉向了另外三個方向的研究。一是根的存在性；是否任意一個次數n > 0的多項式都有根（實或複數）？答案是肯定的，這就是代數基本定理。它的證明是十分困難的。在17世紀後半期，D’Alembert給出了一個閉區間上連續函數最小值的證明，但這一事實也是需要證明的。真正嚴格的證明，是在Gauss 1799年在哥廷根大學的博士論文中給出的；現在已有200多個證明。Gauss使用的是複變函數的模的極小值定理。這些分析學的方法，還給出了重根的判斷條件：與導函數有公共根。這可以用Euclid輾轉相除法來進行。
第二個問題，是實係數多項式的實根個數的確定。由連續函數的介值定理，如果實係數多項式P(x)在某兩個不同實數a, b處有不同的符號，它在a與b之間必有一個實根（奇數次實多項式至少有一個實根）。Descartes符號法則指出，如果一個實多項式的所有根都是實數，那麽正根的個數（重數計算在內）就等於它的係數序列的變號數；如果有複根，則正實根的個數等於變號數減去一個偶數（包括0）。
瑞士數學家Liouville Sturm的方法可以給出兩個實數之間實根的個數。對於一個沒有重根的多項式，用它與它的導函數去作輾轉除法，得到一個多項式序列；由於無重根，P(x)與P’(x)互質；多項式序列的最後是一個非零常數。假設a < b不是P(x)的根，將這兩個數代入多項式列中，得到兩個實數列。它們的變號數之差，就是多項式P(x)在a, b之間的實根個數。
在複平麵上的區域中，根的個數可以由幅角原理確定。在複變函數中，通過計算一個解析函數f(z)的對數留數Int{f’(z)/f(z)dz: z 沿圍道C}/2iPi, 可以得出：當z沿C的正方向繞行一周時，f(z)的幅角增量Δ(argf(z)),等於2Pi乘以它在所包圍的區域D內的零點個數，減去極點個數。由此可以推出，一個多項式P(z)在一個由閉曲線C所包圍的區域D內的根數，等於當z繞C運行一圈時，P(z)繞坐標原點的圈數（在另一複平麵上）。
第三個問題，是實根的近似計算問題。按照介值定理，當P(a)P(b) < 0時，P(x)有一實根c在a, b之間。我們可以用二分法或者牛頓的切線法，去逐步逼近c的值。二分法中，根的存在性由閉區間套定理保證；切線法中，要按照P(x)的單調與凹凸性確定起始切線，由二階導數的界確保數列的收斂性。第三種方法是俄羅斯數學家羅巴切夫斯基在1834年發表的方法。設P(x)為首一多項式且各根的模互不相同：|x1| > |x2| > … > |xn|。構造以各根的平方為根的另一多項式，次數為2n：隻要把P(x)與P(-x)相乘，結果隻含x的偶次冪；再把x^2換為新的變量z，得到P1(z)，次數還是n；依此運算，得到以xk的4次方、8次方、16次方。。。為根的一係列n次多項式。在計算了N次之後，所得多項式的係數帶上符號+， -， + ， - 。。。之後，開2^N次方，就非常接近原方程的根。
我的歐氏方法如下。對於給定的多項式P(x)，可假設常數項不為零。先用歐幾裏德輾轉相除法，求出gcd(P(x), P’(x)) = g(x)；用g(x)去除P(x)，以消除重根。令f(x) = P(x)/g(x), 可提出非零的常數項，f(x)/c = 1 + xh(x)。f(x)的零點，就是其倒數R(x) = (1 + xh(x))^(-1)的極點。用多項式定理把R(x)展開為x的冪級數（係數為rk），它的收斂半徑就是模最小的那些極點所在的圓的半徑。如果隻有實根的話，則絕對值最小的一個或兩個根已經求出；再從係數rk中減去此根的k次冪，再開k次方，去計算極限，可得其它根。
對於實係數多項式的複數根，可以分離出它的實部與虛部，寫成x + yi，y非零。展開後可得兩個關於x, y的多項式方程；按照變量y的次冪排列，由低到高，可以逐次消項，最後降為單變量的多項式方程，隻求實根。
多項式方程的根，總是可以解出的，盡管有的沒有一個顯式表達。對於無窮級數，如Dirichlet級數的根，如何求解，那才是真正挑戰人類的智慧。不過，我已經會解黎曼Zeta·函數的根了。
