Pell方程

Pell方程指的是形如 x^2 – dy^2 = 1的不定方程，其中d是不含平方因數的正整數，也就是一些不同質因數之積；要求正整數解（x, y）。此方程以英國數學家約翰·佩爾命名，它的所有整數解都已求出；但求解過程是由一些大數學家完成的。整數解的存在性，是拉格郎日完成的，用的是實數的有理逼近。

對於任何一個無理數r = sqrt(d)，總存在無窮多對正整數(m, n)，使得 |m – nr| < 1/n。這可以由r的連分數表達式的各個漸近分數得出。由此推出，m + rn < 1/n + 2nr, |m^2 – dn^2| < 1/n (1/n + 2nr) < 1 + 2r. 對於給定的d，比1 + 2sqrt(d)小的非負整數的個數有限，因此，必定存在一個非零整數k，|k| < 1 + 2r，使得 m^2 – dn^2 = k 有無窮多組正整數解 (m, n)。

這其中，必有兩組解(m. n) 和 (j, l)，滿足 m = j (modk)，n = l (modk)。配平方得，k^2 = (m^2 – dn^2)(j^2 – dl^2) = (mj – dnl)^2 – d(ml – nj)^2，由於mj – dnl 及 ml – nj都能被k整除，令 mj – dnl = kx, ml – jn = ky，則有 x^2 – dy^2 = 1。整數解的存在性證明完畢。

設（a, b）為最小的正整數解。給定任意正整數N, 由 (a + br)^N 的二項式展開，確定兩個正整數x, y，使得 x + yr) = (a + br)^N；取共扼可得，x – yr = (a – br)^N，從而有 x^2 – dy^2 = 1。即(x, y)也是Pell方程的解。

再用反整法可以證明，除上述解之外，再無其它解。如若不然，設(x, y)是一組正整數解，那麽，必有一個正整數s,使得 (a + br)^s < (x + yr) < (a + br)^(s + 1)，兩邊除以 (a + br)^s，或者乘以 (a – br)^s，可得 1 < (x + yr)(a – br)^s < a + br。中間的式子做二項展開後，也得到一組正整數解。這與 (a, b) 為最小解相矛盾。

Pell方程的最小解可以通過r = sqrt(d)的連分數展開式得出。在數學中，連分數是被遺忘了的內容；因為它對中學生來說太難，對大學生來說又太簡單。但連分數具有很多奇妙的性質，如歐拉數e，圓周率pi，在連分數表示下是有規律的；而且，隻有平方根的連分數表示是循環的。在函數逼近論中，連分式逼近必多項式逼近要快得多！

方程x^2 – dy^2 = 1在幾何上就是一條雙曲線；它的參數方程很容易寫出來：x = sec(t)，y = tan(t)/r。對哪些角度t，x和y都是正整數呢？在已知最小正整數解（a, b）的條件下，我們可以用二項式級數展開：

任給一個實參數z, (a + br)^z = a^z (1 + cr)^z，其中，c = b/a < 1/r。我們有

（1 + cr）^z = sigma{zCj (cr)^j: j = 0, 1, 2, …}，其中zCj是二項式係數 z(z – 1)…(z – j+1)/j!. 在和式中分j為偶數與奇數，定義 x = a^z sigma{zCj (cr)^j: j = 0, 2, 4, …}，y = a^z sigma{zCj c^j r ^ (j – 1): j = 1, 3, 5, … }。這些 (x, y)都是Pell方程的解。隻有當z為正整數時，x和y為正整數。

由此，三角函數sec(t)，tan(t)/r中的參數t，與這裏的指數參數z存在某種對應關係：借助於某個特定的平方根r = sqrt(d)，我們可以把三角式表示為指數式！通過解一個簡單的不定方程，我得到了一個重大發現：原來這個世界這麽小，一切表現形式都是互相關聯的！