非歐幾何學

非歐幾何學是一門大的數學分支，一般來講，有廣義、狹義、通常意義這三個方麵的不同含義。所謂廣義是泛指一切和歐幾裏得的幾何學不同的幾何學，狹義的非歐幾何隻是指羅式幾何來說的，至於通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。

歐幾裏得的《幾何原本》提出了五條公設，長期以來，數學家們發現第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那麽顯而易見。有些數學家還注意到歐幾裏得在《幾何原本》一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以後再也沒有使用。也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題。因此，一些數學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依照前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關於“平行線理論”的討論。

由於證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對,第五公設到底能不能證明？到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題, 用它來代替第五公設，然後與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理係統，展開一係列的推理。他認為如果這個係統為基礎的推理中出現矛盾，就等於證明了第五公設。我們知道，這其實就是數學中的反證法。

但是，在他極為細致深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最後，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：第一，第五公設不能被證明。第二，在新的公理體係中展開的一連串推理，得到了一係列在邏輯上無矛盾的新的定理，並形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。從羅巴切夫斯基創立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。

幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何學的同時，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親——數學家鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶·雅諾什堅持為發展新的幾何學而辛勤工作。終於在1832年，在他的父親的一本著作裏，以附錄的形式發表了研究結果。

那個時代被譽為“數學王子”的高斯也發現第五公設不能證明，並且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發表自己的研究成果，隻是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。

羅式幾何

羅式幾何學的公理係統和歐式幾何學不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由於平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。

我們知道，羅式幾何除了一個平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義。下麵舉幾個例子加以說明：

歐式幾何

--同一直線的垂線和斜線相交。

--垂直於同一直線的兩條直線或向平行。

--存在相似的多邊形。

--過不在同一直線上的三點可以做且僅能做一個圓。

羅式幾何

--同一直線的垂線和斜線不一定相交。 垂直於同一直線的兩條直線，當兩端延長的時候，離散到無窮。

--不存在相似的多邊形。

--過不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓。

從上麵所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習慣的直觀形象有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實沒有象歐式幾何那樣容易被接受。但是，數學家們經過研究，提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅式幾何是正確的。

1868年，意大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嚐試》，證明非歐幾何可以在歐幾裏得空間的曲麵（例如擬球曲麵）上實現。這就是說，非歐幾何命題可以 “翻譯” 成相應的歐幾裏得幾何命題，如果歐幾裏得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。

人們既然承認歐幾裏是沒有矛盾的，所以也就自然承認非歐幾何沒有矛盾了。直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致讚美，他本人則被人們讚譽為“幾何學中的哥白尼”。

黎曼幾何

歐氏幾何與羅氏幾何中關於結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，隻是平行公理不一樣。歐式幾何講 “過直線外一點有且隻有一條直線與已知直線平行” 。羅氏幾何講 “過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行” 。那麽是否存在這樣的幾何 “過直線外一點，不能做直線和已知直線平行” ？黎曼幾何就回答了這個問題。黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。

黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平麵內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限演唱，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當 “改進” 的球麵。

近代黎曼幾何在廣義相對論裏得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論裏，愛因斯坦放棄了關於時空均勻性的觀念，他認為時空隻是在充分小的空間裏以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和複變函數論等方麵。

三種幾何的關係

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體係，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確的。

在我們這個不大不小、不遠不近的空間裏，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表麵研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。