抽象代數中的基本概念

抽象代數研究符號運算的性質、代數係統之間的關係以及分類。究竟有多少種運算？那要看運算的對象。我們已經有了實數、複數、四元數/2^n元數、向量、矩陣、張量、集合、範疇，也許還會有別的新發現；而運算可以是完全抽象的，你隻要能把一個對象變成另外一個對象，或是把兩個或者更多個對象捏成一個對象都算。一個m元運算指的是，對於對象集S中的任意m個元素，按照一個給定的規則，都確定了一個S中的唯一的一個元素。

給定一個非空集合，我們可以在其中任意地定義運算，但這些運算需要滿足一些特定的性質，才能形成某種結構。如果把一元運算理解為幾何形體的變換，人們自然希望能保持某種幾何特性。在點集拓撲學中，形狀即是點集；如何把一個/多個集合變成另一個集合，有五種基本方式：（1）找子集或投影，（2）作集合的並、交，（3）作Descartes乘積、也就是構造有序組，可以定以一個更大的集，（4）按照一種運算生成，（5）按等價關係構造商集。

一個集合M上的二元關係R稱為是等價的，如果它滿足三個條件：（1）自反性：對於M中的任意x，有xRx；（2）對稱性：xRy → yRx，（3）傳遞性：xRy，yRz → xRz。記R(x)為所有與x等價的元素的集合，則對於任意的x, y，R(x)和R(y)要麽相等，要麽不相交。所有這些等價類的集合，就稱為M關於R的商集，記為M/R。等價關係等同於滿射。

格定義在一個偏序集M上。M中的一個關係«稱為一個偏序關係，如果它滿足以下三條公理：

自反性：對M中的任何元素a,都有a«a；

恒等性：若a«b, b«a,那麽a = b;

傳遞性：若a « b, b « c,那麽，a « c.

具體的例子有，實數的小於/等於關係，集合的包含關係，命題的蘊含關係等。

如果任何兩個元素a, b都有唯一的最小公共大元c，即a « c, b « c, c就叫a與b的和，M稱為上半格；如果任何兩個元素a, b都有唯一的最大公共小元d，d就叫a與b的積；M叫做下半格。既是上半格又是下半格的偏序集，就叫做一個格。

群G是具有一個二元運算（稱為乘法*）的集合，要求其運算滿足三條公理：

結合律：對G中任意三個元素a, b, c，a*(b*c) = (a*b)*c;

單位元e：對任何G中元素a，e*a = a*e = a;

逆元：對G中任何元素a，都存在G中唯一的一個元素b，滿足a*b = b*a = e.

如果乘法運算滿足交換律，這個群就叫做交換群。如果集合G隻有有限個元素，就叫有限群，否則就是無限群。如果隻要求結合律，就稱為一個半群。

在一個群內部，元素還可以分類，如共軛元素類、生成元；如果是有限群，每個元素都有有限的階數。一個子集，如果在給定運算封閉，就形成了一個子群。再定義陪集、不變子群的概念，就可以構造出商群。給定有限個群及各自的運算，作Descartes乘積；對於交換群，則是直和。這些就是成群的基本方式。

群的種類數之不盡。已被深入研究的群有：置換群（所有排列組成的群）、變換群（如反射、旋轉）、晶體群（表示晶體的所有結構）、伽羅瓦群、李群、拓撲群、基本群、扭結群等。在兩個不同的群之間，有同構、同態的概念。同構是兩個群之間保持運算的一一對應，而同態不要求一一對應，隻要是單值的、保持運算的對應即可。可以證明，任何一個有限群都與它的元素集合的某個置換群同構。

在同態的概念下，群有n階矩陣表示：如果對於群G的每個元素g,都有一個確定的n階可逆矩陣A(g)與之對應，使得A(gh) = A(g)A(h)。【事實上，複數域上的所有n階可逆矩陣在矩陣乘法下構成一個群】。群的矩陣表示有無窮多個，可以用矩陣的等價來定義表示的等價關係；也可以用分塊對角矩陣把兩個表示“合並”起來；這樣，利用等價的對角型矩陣，就有了可約與不可約表示的概念。

對於具有兩個運算的係統，我們有域和環。

一個域具有兩個二運算，分別叫做叫法和乘法，在每種運算下都是一個交換群，而且乘法對加法滿足分配律。常見的數域有，有限域F（p^k）(p為質數，又稱Galois域)，有理數域Q，實數域R，複數域C。我們可以“添加”一些線性無關的元素到一個已知域中，得到一個更大的數域；但是，比C更大的數域不存在：四元數等不滿足交換律。

一個環具有加法，要求形成交換群；一個乘法，滿足對加法的分配律（不要求有逆元、也不要求滿足交換律或結合律）；例如，n階矩陣的集合構成一個環。如果乘法滿足交換律，就叫交換環。一個環的理想子環，是環的一個子集，它本身在給定的加法和乘法下構成一個環。對每個理想子環，可以構造商環。

一般的環中可能具有零因子。沒有零因子的可交換環叫做整環；比如所有整數的集合Z構成一個整環；R【x】也是一個整環。在整環中，可以引進素元的概念，但是，素因子分解的唯一性定理不一定成立。

一個域F上的結合代數係統S，具有三種運算：F中的數乘以S中的元素，結果仍在S中；S中的元數具有加法和乘法兩種運算。兩個元素相加還在S中；相乘的結果，可以是一個數，也可以是S中的元素。這些運算需要滿足以下公理：

S中元素加法滿足交換律、結合律，有零元；

S中的乘法對加法滿足左、右分配律；零元乘以任何元素得零元；

F中的數乘對S中的加法滿足分配律；F中的加法對S的數乘也有分配律；

F中的數乘對S中的乘法有結合律；F中的乘法對S的數乘也有結合律。

S中存在一個基底。

結合代數可以同態於矩陣代數。如果不要求S中的乘法，這就定義了F上的一個線性空間S。在非結合的代數係統中，最有趣的是李代數，它與李群（即連續群）有密切的聯係。它的乘法運算滿足：ab = -ba , a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0. 每一個李代數都存在一個同構的矩陣代數。

代數學中沒有連續性的概念，這是它的客觀性質。離散與連續是辯證的統一：連續是由離散構成的，而在連續性中不收斂的對象，就看作一個個的離散體好了。分析研究的是變換，是一元運算；代數研究的二元運算；有三種運算的係統，就等同於內積空間或者矢量積空間了。在一般的距離空間中，集合的完備化可以通過等價關係實現；如果是有限維的，還可以展開分析學。