數論人生
數論是一門學科，也是我的人生。有人把酒論英雄，我用數字描天下。
一個學生是否參加競賽，完全是自願的、憑興趣。結果卻是，考不好沒關係，考好了就大有關係，哪怕是憑運氣得來的好成績。當我還是一個學生時，隻要有機會，是競賽就必定參加，成績也是十二分的靚麗。有個獲獎證書，你的履曆就會很漂亮，也會有大學、機構免試錄取你。對於指導者來說，也是一個雙贏：我真行，能教出這麽棒的學生！競賽對師生雙方都是穩賺不賠的買賣。可怎麽才能拿到前幾名呢？那可是有技巧的。
首先要熟悉考題的格式與時間限製；這隻要事先做一、兩套過去的考題就知道了。對於多項選擇題的競賽，一般隻有一個正確答案，平均每題1.5到2、3分鍾。題目的編排順序大都是先易後難；大部分（80%）的人隻能做出前麵80%的題，最後20%的難題才是競賽獲勝的關鍵。很多人考AMC的目的，是為了拿到進入AIME的資格，以便申請大學之用；能做對前麵80%的題，基本上也就過關了。
對於要寫過程的競賽，如CMC的Fryer、Galois、Hypatia、Euclid；CIMC、CSMC，AIME等，時間更充裕，但過程必須清晰，方法上最好有創新。沒有過程、甚至表述不清的，答對了也得不到滿分；有過程、答錯了可得部分分數。寫過程也不是連1 + 1 = 2都要寫出來的（否則根本就沒有時間做完），隻要寫出主要步驟即可，數值可以心算。在加拿大，除COMC外，什麽競賽都可用計算器（可編程、上網的除外），數值計算不必在意。在CIMC/CSMC中，要求保持準確答案，小數值四舍五入是要扣分的。對於CMO，5道題4.5小時，USAMO以及其它的什麽XMO，3道題4.5小時，第二天再做3道；時間很多，缺的是解題思路。
其次是知識儲備。整個中學階段學的隻是初等數學：算術、代數、幾何，最終歸結到函數（包括數列）；微積分在中學數學競賽中一般用不上，當然，如果有極限概念的話，肯定更勝他人一籌。在算術中，隻要知道數的六種運算即可：從自然數、整數到有理數、實數。AMC12中，要求知道複數的運算及應用，CMC中從來就沒有出現過複數。六種運算中的加、減、乘、除，大家都是無所不知的；但是，冪及其反運算、指數及對數，就讓很多人頭痛；第六種代入，甚至是無窮次的迭代，那就成了大多數人的噩夢：循環小數、連分數、嵌套的根式，普通的教學大綱裏根本就沒有。出題者要增加難度，正好從此處給你下套。
初等代數中，要做三件事情：變量（符號）的運算、構造表達式，寫/解方程，還有不等式的求解與證明。人類能夠想到的數學表達式，由易到難，依次是：多項式、有理式、根式、指數式、對數式、三角式、階乘式。盡管可以定義任意的運算，但總得滿足一些運算規律才有價值。最基本的是結合律，否則三個或以上的對象很難運算。然後是交換律；中學裏學的不滿足交換律的隻有矢量積，當然有的人可能知道矩陣的乘法。如果同時定義了兩種運算，人們還希望它們滿足分配律；為了解方程，還得有消去律。遺憾的是，運算律這種名詞，很多中學生聽都沒有聽過，盡管他每天都在用。還有很多學生隻知道運算運算，算到天昏地暗，卻不知道變量代換，完全喪失了代數學的本意。把一個重複出現的式子、把一個多層嵌套的式子裏的下一層，用單獨一個字母來表示，那是多麽的簡單啊！
代數學的難點在於列方程，或者找到相關變量之間的關係。對於人為構造出來的問題，關係式大多已在字裏行間了；隻要把數量詞用字母代替就可以了。如若不然，就用兩種不同方式，去計算同一個量即可。當然，這得需要記住相關的公式或定律。至於解方程呢，現在已知的、可解的方程，其解法基本是固定的，隻要做過一、兩道練習題，自然就清楚了。
中學幾何學習圖形的度量和基本性質。角度、長度、麵積、體積的計算公式，隻對一些基本形狀給出，如直角形、圓形；其它圖形要用拆分或拚接的辦法算出。當涉及到邊與角的關係時，需要三角學的基本公式，如正、餘弦定理，和/差角公式。如果找不到想要的方程，就引進坐標係，隻需要五個公式：定比分點的坐標、兩點間的距離（能記住點到直線的距離便天下無敵）、斜率（及其與斜角的關係）、多邊形麵積的鞋帶公式、點的平移/旋轉公式，便可寫出任何曲線的方程。如果能夠把坐標與向量統一起來，直邊形的問題都可以很快解決。涉及到圓與多邊形的關係的證明題，需要知道圓內角與弦、切線的五個關係定理（這在加拿大的中學裏是不教的）。
中學函數部分隻學習五種函數（冪、指數、對數、三角、反三角）的初等性質，包括對稱性、單調性、有界性、周期性、凹凸性；而且都是憑經驗、沒有解釋，因為單調性與凹凸性要用到微積分。為了能夠求出函數的值域（最大/最小值），最好能知道幾個平均值不等式（如算術、幾何、調和、平方平均值），還有凹/凸函數的Jensen不等式。普通大綱裏還缺失隱函數及其參數表示、一般函數方程的求解方法、替推數列的求解方法，這些內容在競賽中是常考的；也許正是因為出題者知道普通學校不教。
以上內容都是有目共睹、耳熟能詳的，競賽中是被用來充數湊分的，隻出現在前麵80%的問題中。要想競賽得高分，還得知道一些大綱之外的內容。首先是初等數論，盡管可以把它歸入到算術或代數中，它研究整數性質的特有方法，是需要專門體會的。Gauss引進的模運算、同餘式的概念，是研究整除性、解不定方程的特定方法。勾股數、海倫數（Heronian triples）、Pell方程的解公式，是二次不定方程的三個最著名的例子，其解法是需要領會的。證明某類整數的存在性的構造性方法，更是值得仔細推敲。
還有計數（組合學），是我最不能理解加拿大中學數學大綱的地方：盡管每個老師都知道學生們都不會數數，大綱卻是幾百年不作改變！中國小學三、四年級就學計數的加法、乘法原理了，這裏卻是12年級在《數據管理》中才提起，結果卻是一大半的學生把課程Drop掉。至於鵲巢原理、替歸計數法、映射計數法、生成函數計數法，提都沒人提起；讓加拿大學生去做競賽中的組合問題，比趕鴨子上樹還難。還有邏輯推理題、幾何證明題、遊戲問題、找規律，做夢吧！至於什麽是循環論證的邏輯錯誤，幾乎無人能懂。
第三是解題的方法與技巧。題目是做不完的，但題型是有限的；如果能夠把遇到過的題型都分門別類，再給出相應的解法，那就沒有任何競賽（考試）得不到90%的分數。如果能夠自創某種更快捷的技巧，冠軍非你莫屬；不過先得知道已有的方法。一般的解題策略，不外乎就是：猜猜試試、倒著來、反證法，畫個圖、符號化，作個假設、引進未知量，簡單化、找規律，回到定義去、給出個等價的表示方式。一般性的數學方法有，（1）待定係數法，用於多項式、冪級數等任何具有固定形式的表達式的確定、運算和求根；（2）配方法；通過配平方、立方等，把式子化簡。在微積分中，還要配全微分呢！（3）換元法，把一個複雜的式子換成別的變量；（4）類比法，把其它類似情形下的結論套用過來；（5）窮舉法；（6）反演法；比如數列求和的反演、Mobius反演等；（7）分部求和法；等等。還有一些特殊的技巧，隻是針對特定的題型。比如（1）數列求和的拆項法，（2）求最大公因式（數）的歐幾裏德算法，（3）解不定方程的最速下降法（Fermat），（4）圖論中求最短路徑的Dijkstra算法，（5）用圖論中的關聯矩陣表示狀態，握手定理揭示關係；（6）平麵上求最短路線的反射法、直紋麵上的直線化方法，等等。
最重要的是大腦進行聯想的能力，當然這與記憶的能力是相關的。解題就是搭起已知與未知之間的一座橋梁，材料就是個人的知識儲備，手段即是解題方法與技巧，使用何種手段靠的是大腦的聯想能力，這表現在三個方麵：洞察力（insight）、獨創性（ingenuity）、靈感（inspiration）。給定一個問題，你能看得多深入？能用一種等價的、確定的、更簡單的形式表達出來嗎？在代數、幾何、函數中，這不難做到；可在數論、組合、邏輯中，問題往往沒有一種確定的表示形式；你需要構造出一種形式（記號）去表示。可能是用數組/矩陣/數集去表示狀態，然後找出一種計量的方式；也可能是作出一些輔助的東西，如幾何圖形的輔助線，再證明它具有某種性質。還可能是用鵲巢原理、中值定理等去證明某種東西的存在性，甚至是像數學建模那樣，構造出一種全新的模型。
方法上的創新就更具挑戰性。我曾經遇到過一些計數問題，要求進行線對線的計數；要知道乘法原理隻是點對點的。線對線能行嗎？三維空間裏還有麵對麵的呢，不推廣肯定不行。在許多武俠神話中，必須要能融合已有戰技，在功法上實現突破，才能立於不敗之地。能夠激發數學方法創新的，隻有遇到了強敵—XMO中出現的超難問題。靈感是實現創新的唯一手段，可它卻是觸摸不定的、無法培養的；它可能是長期磨難的水到渠成，也可能是一時的天上掉餡餅。也許隻有神靈才能控製人的靈感？幸運的是，普通競賽中出現的問題，都是被人做過了的、有確定答案的，並不需要超靈。
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