函數方程

函數方程指的是含有一個或多個未知函數的方程；微分方程，積分方程都是一些特例。微分方程來自於變化率，比如，一個容器內某種物質的時間變化率，等於流入的速率減去流出的速率。積分方程也是來自環流量與通量。一個矢量沿著某條路徑的環流量就是一個圍道積分；它通過某個曲麵的通量（單位時間內流經該曲麵的淨流量）是一個曲麵積分。物質守恒定律就是，一個空間內物質的時間變化率，等於內部新增物質的速率，減去流出邊界的淨速率。微分方程的求解，形成了兩個分支：常微分方程、偏微分方程（還有一門數學物理方程）；解法要針對具體類型而定。

我們這裏要討論的是一些初等函數的方程；可以分為兩大類。一是含有一個自變量x、一個函數f的方程；也就是出現f(x)與f(g(x)) 的一個關係式 E(f(x), f(g(x))) = 0，其中g(x)為給定的函數。例如，f(mx) = af(x), f(x) + f(a – x) = b², f(a + x) × f(a – x) = a² – x². 對於具有對稱性的方程如f(x) = f(-x)，是有無窮多解的：任何偶函數都行。如果是模形式的定義方程，如f((az +b)/(cz + d)) = (cz + d)^k f(z), 可以構造複平麵上的雙周期函數。最簡單的情形式，f(x)被指定為多項式函數，如xP(x – a) = (x – b)P(x), 或者Q(x^k) – x^j Q(x) = G(x) (已知)，可以用因子定理或者待定係數法求解。

一般的解法是做變量代換：令g(x) = t, 解出x用t表示，代入原方程；再繼續迭代下去。如果g(x)是重複的，也就是說它自身複合幾次後成了恒等函數（I(x) = x），則f(x)可以求出；如果無窮次迭代都不重複，那就要取極限了。例如，在f(x + a) = 1/2 + sqrt[f(x) – f²(x)] （a ≠ 0）中，換x為x + a, 可得出f(x + 2a) = f(x),一個周期函數。

Laplace使用有限差分的方法來求解. 例如，在f(mx) = af(x) 中，令x = u(t), g(x) = mx = u(t + 1); f(x) = v(t), f(g(x)) = v(t+1); 按等比數列求出u(t) = Am^t = x, 以及v(t) = Ba^t = f(x)，再消去參數t, 找出x 與 f(x)的一個關係式。

第二大類是含有兩個自由變量x和y、一個未知函數f的方程：包含f(x)、f(y)、以及f(x + y) 或f(xy)、或f(x^2 + y^2)等的一個等式（或不等式）。最基本的是Gauss方程：f(x + y) = f(x) + f(y) 對所有實數x, y成立。用歸納法可以推出，f(x) = f(1)x 對所有有理數x成立；加上連續或單調的條件，可以推出此式對所有實數成立。基於此方程，冪函數、指數函數和對數函數都可以用其特征方程給出：f(xy) = f(x)f(y); f(x + y) = f(x)f(y); f(xy) = f(x) + f(y)。三角函數在複變量表示下，其實就是指數函數的組合，但也可以用其和角公式來作為特征方程；比如，滿足 f(x + y) = [f(x) + f(y)]/(1 – f(x)f(y)) 的函數，一定是正切函數。

含有f(x + y)與f(x), f(y)的方程，最簡單的解法是求導數，化為微分方程; 如f(x + y) + f(x – y) = f(x)f(y)，可導出f”(x) = Cf(x), C 為常數。如果含有f(xy)，可以先作變量代換x = e^s, y = e^t (x, y > 0)。但是，在數學奧林匹克中，是沒有連續、可導的概念的；為了把問題複雜化，就加入複合函數。例如，f(f(m) + f(n)) = m + n 對所有自然數m, n成立；g(x² + g(y)) = y + g²(x) 對所有實數 x, y成立；(x + y)h(yh(x)) = x²(h(x) + h(y)) 對所有正實數x, y成立。這些函數都是一對一的，通過把裏層的函數記號用一個新的變量代換出來，所有的解便可很快得出。

這類方程的一般解法是，把一些特別的x, y值代入，以找出某種規律。如2002年的USAMO第四題，f(x² – y²) = xf(x) – yf(y) 對所有實數x, y成立；代入x = y, 可得f(0) = 0, y = -x 可得f 為奇函數；y = 0 可得f(x^2) = xf(x)。由此進行無窮次迭代，根據f的連續性可得f(x) = xf(1).

如果推不出函數是一對一的，可以先看看它的值域。如EGMO的一個問題，f(xf(x) + y) = f(y) + x² 對所有有理數x, y；記xf(x) = z，f(z + y) = f(y) + x^2. 換y為y + z, 用歸納法可推出，f(y + nz) = f(y) + nx^2；換y為y – z, 可推出f(y – z) = f(y) – x^2；因此，f(y + mz) = f(y) + mx^2對所有整數m成立。給定y值，可知f可以取到所有的有理數; 再取f(c) = 0, 可推出c=0, f(x) = x對所有x.

又如1999年的IMO第六題，f(x – f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) – 1 對所有實數x, y；記f(0) = a, z = f(y) (在f的值域中)，f(x – z) = f(z) + f(x) + xz – 1; 從而f(z) = (a + 1 – z^2)/2。如果x也在值域中，則有f(x – z) = a – (x – z)^2/2. 如果固定z, 由f(x – z) – f(x) = f(z) + xz – 1可知，任一實數均可表為f的值域中的兩數之差：r = f(z) + xz – 1 (取某個x) = f(x-z) – f(x)。在上式zhon1取r = x – z, 則對任何實數r都有f(r) = a – r^2/2. 又，當r在值域中時，f(r) = (a + 1 – r^2)/2，比較可知a = 1。

較難的方程是定義在整數集甚至隻是在正整數集上的函數方程。如2002年CMO的一道題：f: N = {0, 1, 2, …} → N，xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x^2 + y^2)。記f(0) = a；取y = 0, 得f(x^2) = a。當（x, y，z）為勾股數時，即x = 2mnk，y = (m^2 – n^2)k (m > n)時， [xf(y) + yf(x)]/(x + y) = a為常數。左邊的式子介入f(x)和f(y)之間，比入f(x) ≤a≤f(y)；這表明，嚴格的不等式不可能成立，f隻能是常數。

有的出題者更刁鑽了，所給的函數方程根本就沒有確定形式的解。如2021年CJMO的Canadian函數：gcd（f(f(x)), f(x + y)）= gcd (x, y)對所有正整數x, y成立；就連f(1)的值都確定不了，隻知道它是1或者某個質數。更一般的是數論中的積性函數，f(xy) = f(x)f(y)對所有互質的正整數x, y成立。可以推出f(1) = 1, 其它所有函數值由它在質數冪處的值確定，就無法再進一步了；這種函數無窮多，根本就沒由一個確定的表示。問題來了，給定f(2) = 2, 你能推出 f(4)f(13) ≥ [f(7)]² 嗎？

函數方程是可以隨意杜撰的，能不能解得出來、甚至是有不有解，就成問題了；但這不正是數學研究的目的所在嗎？